北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质 课时训练（参考答案）
一、选择题
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A.3 B.4 C.1 D.2
【答案】A
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD＝S△ABC，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD＝AC·DE，S△ABC＝AC·BF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF＝CD，BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF＝BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选A.
2.如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长( )
A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm
【答案】D
【解析】∵ ABCD的周长是28 cm，
∴AB＋BC＝14 (cm)，
∵△ABC的周长是22 cm，
∴AC＝22－(AB＋BC)＝8(cm)，
故选D.
3.下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项A.
故选A.
4.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
【答案】C
【解析】A.因为AD∥BC，AD=BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B.因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C.AB=DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D.因为AD∥BC得到∠ADB=∠CBD，又因为∠A=∠C，BD=DB，所以△ABD≌△CDB（AAS），得到AD=CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意.
故选：C．
5.如图所示，M是 ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是( )
A.S＞S1＋S2
B.S＝S1＋S2
C.S＜S1＋S2
D.S与S1＋S2的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
设AB边上的高为h,△CMD，△CBM，△ADM的高都等于平行四边形的高h,
∵△CMD的面积为S＝CD·h，
△CBM的面积为S1＝BM·h，
△ADM的面积为S2＝AM·h，AB=CD,
∴S1＋S2＝BM·h＋AM·h＝(BM＋AM)·h＝AB·h＝CD·h＝S，
则S，S1，S2的大小关系是S＝S1＋S2.
故选B.
6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH.若GD＝BH，则图中的平行四边形有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形，
∵GD＝BH，AD＝BC，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形.
故选D.
7.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A.AB=AD，CB=CD
B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC
D.AB∥CD，AD=BC
【答案】C
【解析】A.若AB=AD，CB=CD，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；
B.∠A=∠B，∠C=∠D，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；
C.AB=CD，AD=BC，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确；
D.此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误．
故选：C．
8.平行线之间的距离是指( )
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
9.如图，在 ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A.62° B.64° C.66° D.68°
【答案】D
【解析】如图，取DE中点H，连接AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC=66°，AF⊥BC，
∴∠BAE=24°，∠EAD=90°，
∵点H是DF中点，
∴AH=DH=EH=DE，
∵DE=2AB，
∴AB=AH=DH=EH，
∴∠ABH=∠AHB，∠ADH=∠HAD，∠HAE=∠HEA，
∵∠AHB=∠HAD+∠HDA=2∠HDA，
∴∠ABH=2∠HDA=2∠CBD，且∠CBD+∠ABH=∠ABC=66°，
∴∠CBD=22°=∠ADH，
∴∠AED=90°-∠ADH=68°，
故选：D．
10.如图， ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠EFO=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABC=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=30°，
∴AE=AD=3，
∴BE=AB+AE=4+3=7，
∵∠EOF=90°-∠ABC=30°，
∴EF=OE=，
∴OF===，
∴点E的坐标为（-,），
故选：C．
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【答案】A
【解析】如图，连接BD，
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠DBE =∠CBE =α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠CBD=2α，
∵FB=FD，
∴∠FBD=2α，
∴∠AFB=∠FBD+∠FDB=4α.
故选：A．
12.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A.11+ B.11+或1+ C.11+或11- D.11-
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD =AB =5，AD = BC =6，
①如图，
由平行四边形面积公式得BC· AE=CD· AF=15，
解得AE=，AF=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2=AE2+BE2，
把AB=5，AE=代入，解得BE=，
同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如图），
∴ CE=6-，CF=3-5，
即CE+CF=1+；
② 如图，
由①得BE=，
同理DF=3，∴CE=6+，CF=3+5，
∴CE+CF=11+．
故选：B．
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________．
【答案】8
【解析】连接EF，AE与BF交于点O，
如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8.
14.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是________________．
【答案】①②或①③或①④或③④
【解析】如图，
①②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而可得DO＝BO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而可得AO＝CO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；③④根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形．
15.如图，A，B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n.
以下说法：
①△ABC的周长不变；
②△ABC的面积不变；
③△ABC中，AB边上的中线长不变；
④∠C的度数不变；
⑤点C到直线m的距离不变．
其中正确的有__________(填序号)．
【答案】②⑤
【解析】∵当点C运动时，AC＋BC的值不固定，∴△ABC的周长不确定，∴①错误；
∵m∥n，∴C到AB的距离相等，设距离为d，则△ABC的面积＝×AB×d，∴△ABC的面积不变，∴②正确；
∵当点C运动时，连接点C和AB的中点的线段的长不确定，∴③错误；
∵当点C运动时，∠ACB的大小不确定，∴④错误；
∵m∥n，∴点C到直线m的距离不变，∴⑤正确.
16.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
又∵∠CEG=∠G-∠GCE=30°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝＝＝.
17.如图，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．
【答案】1
【解析】如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF＝CP＝b，a2＋b2＝22＝4，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴ED＝PB＝CP，同理可得△APB≌△DCB(SAS)，∴EP＝AP＝CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积＝EP×CF＝a×b＝ab，又∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2≥0，∴2ab≤a2＋b2＝4，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1.
三、解答题
18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
20.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．
【答案】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°.
∴在平行四边形ABCD中，
∠C＝∠BAD＝50°，
∠B＝180°－∠C＝130°.
21.如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求 ABCD的面积.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，BC=AD=2.5，
∴∠DPA=∠BAP，∠CPB=∠ABP，∠DAB+∠CBA=180°，
∵AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，
∴∠DAP=∠BAP=∠DAB，∠CBP=∠ABP=∠CBA，
∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，∠BAP+∠ABP=（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴PD=AD=2.5，PC=BC=2.5，∠APB=90°，
∴AB=DC=2.5+2.5=5，
∵AP=4，
∴BP===3，
∴S△ABP=AP BP=×4×3=6，
∴S ABCD=2S△ABP=2×6=12，
22.在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB=AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
(1)填空：与∠CAE相等的角是 ；
(2)求证：BE=AE+ME；
(3)利用前面的结论，EM=，AE=6，求AD的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠CAE，
故答案为：∠ABE.
（2）证明：在BE上截取BF=AE，连接FM，AM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵点M为BC的中点，
∴AM⊥BC，AM=BM=CM=BC，∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠MAC=45°，
∵∠ABE=∠CAE，
∴∠MBF=∠ABC-∠ABE=∠MAC-∠CAE=∠MAE，
在△MBF和△MAE中，
∴△MBF≌△MAE（SAS），
∴MF=ME，∠BMF=∠AME，
∴∠EMF=∠AMF+∠AME=∠AMF+∠BMF=∠AMB=90°，
∴EF===ME，
∵BE=BF+EF，
∴BE=AE+ME．
（3）解：∵EM=，AE=6，
∴BF=AE=6，EF=EM=×=2，
∴BE=BF+EF=6+2=8，
∴AB===10，
∴AC=AB=10，
∴AD=BC===10，
∴AD的长是10．北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质 课时训练
一、选择题
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A.3 B.4 C.1 D.2
2.如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长( )
A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm
3.下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
5.如图所示，M是 ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是( )
A.S＞S1＋S2
B.S＝S1＋S2
C.S＜S1＋S2
D.S与S1＋S2的大小关系无法确定
6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH.若GD＝BH，则图中的平行四边形有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
7.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A.AB=AD，CB=CD
B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC
D.AB∥CD，AD=BC
8.平行线之间的距离是指( )
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
9.如图，在 ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A.62° B.64° C.66° D.68°
10.如图， ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
12.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A.11+ B.11+或1+ C.11+或11- D.11-
二、填空题
13.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________．
14.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是________________．
15.如图，A，B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n.
以下说法：
①△ABC的周长不变；
②△ABC的面积不变；
③△ABC中，AB边上的中线长不变；
④∠C的度数不变；
⑤点C到直线m的距离不变．
其中正确的有__________(填序号)．
16.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
17.如图，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．
三、解答题
18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
20.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．
21.如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求 ABCD的面积.
22.在 ABCD中，∠ACD＝90°，AB=AC，点M为BC的中点，以AB为斜边作Rt△AEB，∠AEB＝90°，连接EM，如图．
(1)填空：与∠CAE相等的角是 ；
(2)求证：BE=AE+ME；
(3)利用前面的结论，EM=，AE=6，求AD的长．
