(共48张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直(一)
观察图中立柱与地面,立柱与天花板面之间是怎样的位置关系
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.
2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．
1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；
3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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堂
探究点1 直线和平面垂直的定义
阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
A
B
α
提示：旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.
事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.
A
B
α
C
B
B1
C1
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
直线l的垂面
A
垂足
直线和平面垂直的画法
α
P
注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
l
若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？
解：不一定
如图：
B
C
B
C
l
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③ 等价于对任意的直线 ，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
【提升总结】
C
A
B
如图，空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定
B
【即时训练】
l
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
P
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.
A
B
C
D
【动手操作】
探究点2 直线和平面垂直的判定定理
A
B
D
C
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
解：当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
B
D
C
A
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD，直线AD所在的直线与桌面垂直.
m
n
P
直线与平面垂直的判定
定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
直线和平面垂直的判定定理
m
n
P
符号表示：
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直 线面垂直
定理补充
已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下列四个说法:
①m∥n,m⊥α n⊥α;②α∥β,m α,n β m∥n;
③m⊥n,m∥α n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α n⊥β.
其中正确说法的序号是 ( )
A.①③ B.②④
C.①④ D.②③
C
【即时训练】
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 .
如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面α内作两条相交直线m，n．
∵直线a⊥α，∴a⊥m，a⊥n.
∵b∥a，∴b⊥m，b⊥n.
又 是两条相交直线，
∴b⊥a.
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
【变式练习】
D
一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角.
探究3 如何求直线与平面所成的角？
O
P
A
α
斜线
斜足
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°.
一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.
【提升总结】
直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
分析:关键是找出直线A1B在平面A1DCB1内的射影.
O
下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线
与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
B
【变式练习】
直线与平面垂直
判定定理及应用
定义
直线与平面所成的角
转化思想：线面垂直 线线垂直
定义
判定定理
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
C
【证明】连接BD，∴AC⊥BD.
又∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC，
又∵DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面D1DB，
又∵BD1 平面D1DB，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥AB1，
又∵AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面ACB1.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。(共30张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直（二）
各柱均与地面垂直，各柱所在的直线有何位置关系？
路灯线杆和信号灯线杆与地面垂直，两线杆所在的直线有何位置关系？
1.掌握直线与平面垂直的性质定理及应用.
2.能运用性质定理解决一些简单问题.
3.了解垂直与垂直，垂直与平行间的相互联系．
1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化.
2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.
3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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堂
探究点1 线面垂直的性质
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
提示：垂直 平行
c
β
如图，已知直线a,b和平面α，如果 a⊥α,b⊥α,那么，直线a,b一定平行吗？
b’
.
O
提示：平行
证明：假设a与b不平行.
记直线b和α的交点为O,
则可过O作 b′∥a.
直线b 与b′确定平面β， 设α∩β=c,
因为a⊥α , b⊥α所以a⊥c,b⊥c,
又因为b′∥a，所以这样在平面β内过点O有两条直线b和b′都垂直于直线c , 这不可能!
所以a∥b.
反证法的步骤
1.否定结论
2.正确推理
3.导出矛盾肯定结论
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
作用：判断线线平行
线面垂直
线线平行
线面垂直的性质定理
平行于同一条直线的
两条直线平行
垂直于同一个平面的
两条直线平行
空间中的平行
【提升总结】
直线n⊥平面α,n∥l,直线m α,则l,m的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
D
【即时训练】
设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？
提示：a，b满足下面条件中的任何
一个，都能使a∥b.
（1）a，b同垂直于正方体一个面；
（2）a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
（3）a，b平行于同一条棱.
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
探究2 与定理有关的重要结论
交换“平行”与“垂直”
a⊥α,b⊥α a∥b
a
b
α
l
△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
B
【即时训练】
例5 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
证明：过直线l上任意两点A，B分别做平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1.
设直线AA1, BB1确定的平面为β,β∩α=A1B1.
∵l∥α，∴l∥A1B1，∴四边形AA1B1B是矩形，∴AA1=BB1.由直线A,B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。
由例题可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
例2 推导棱台的体积公式
其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥。过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O′，O，则PO垂直于棱台的上底面。从而O′O =h.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′，
高为h′.则PO′=h′于是
所以棱台的体积
由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
①
所以
代入①，得
若l,m,n表示不重合的直线,α表示平面,则下列说法中
正确的个数为( )
①l∥m,m∥n,l⊥α n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α l∥n;
③m⊥α,n α m⊥n.
A.1 B.2 C.3 D.0
C
【变式训练】
3
1
2
4
逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题
线面垂直的判断方法：
（1）基本事实4；
（2）线面平行的性质定理；
（3）面面平行的性质定理；
（4）线面垂直的性质定理；
直线与
平面垂直（二）
（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想
（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用
性质定理
平行平面间的距离
直线到面的距离
应用
核心素养
易错提醒
核心知识
方法总结
o
m
n
1
2
5.已知m、n是两条相交直线，l1、l2 是与m、n都垂直的两条直线，且直线l与l1、l2都相交.
求证：
o
m
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博闻，不自满者受益。
