湖北省武汉市2025-2026学年下学期年高三3月月考数学试卷（含解析）

武汉市 2026 届高中毕业生三月调研考试 数 学 试 卷
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 的实部与虚部相等,则实数 的值为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
3. 记半径为 的球体的表面积和体积分别为 和 ,记某底面半径为 的圆锥的表面积和体积分别为 和 ,若 ,则
A. B. C. D.
4. 设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 记等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则正整数 的值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得 -1 分，记总得分为 ,则
A. B. C. D.
7. 若存在正实数 ,使得函数 是定义在 上的奇函数,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 是双曲线 的左右顶点, 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点,记 ,若 和 都是等差数列且公差相等,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 现有 10 个数据为:3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,对于该组数据,下列说法中正确的有
A. 众数是 4 B. 平均数是 4 C. 极差是 3 D. 中位数是 4.5
10. 如图,在正三棱柱 中,点 分别是 , 的中点,则下列说法中正确的有
A. 平面
B.
C. 平面
D. 与 相交
11. 定义在 上的函数 满足当 时, ,其中 ,则下列说法中正确的有
A.
B. 当 时,若 在区间 内恰有两个零点,则 的取值范围是
C. 存在正实数 和 ,使得 时,有
D. 当 时,若 在区间 内恰有两个极值点,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 平面向量 满足: ,则 与 的夹角的余弦值是_____.
13. 平行于 轴的直线交抛物线 于点 ,交抛物线 于点 ,记抛物线 和 的焦点分别为 和 ,若 ,则四边形 的面积为_____.
14. 如图,已知 ,在函数 的部分图象中, 其图象上的点 是同一直线上的三点,且该直线与 轴交于点 ,若 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在数列 中, ,且 是等差数列.
(1)求 ；
(2)证明: .
16. (15 分)
如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ，点 ， 分别是棱 ， 上的点，且直线 平面 .
(1)求 的长；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 有极小值，且 ，求 的取值范围.
18. (17 分)
曲线 与直线 交于点 ,过点 且与 垂直的直线交曲线 于另外的点 ,设线段 的中点为 ,定点 的坐标为 .
(1)用 表示点 的坐标；
(2)证明: 为定值；
(3)是否存在某条直线始终与以 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程； 若不存在, 请说明理由.
19. (17 分)
有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列. 对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1. 取出最左边的卡片,记其标号为 ;2. 剩余卡片中,标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空); 3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作,称为一次“完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列,当 时,证明: .
武汉市 2026 届高中毕业生三月调研考试 数学试卷 答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
结合选项可知 ,故 错误; ,所以选项 错误.
故选择:
2. 已知复数 的实部与虚部相等,则实数 的值为
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
【答案】A
由 ,又复数的实部与虚部相等,所以 ,解得 .
故选择:
3. 记半径为 的球体的表面积和体积分别为 和 ,记某底面半径为 的圆锥的表面积和体积分别为 和 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
设圆锥的母线长为 ,高为 ,则由 ,可得 ,所以 ,
则 ,从而 .
故选择:
4. 设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
根据射影定理可得 ,整理得 , 又根据正弦定理的 ,所以 ,从而 .
故选择:
5. 记等比数列 的前 项和为 ,若 ,且 ,则正整数 的值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】A
根据 ,可得 ,所以 , 从而由 ,可得 ,所以 ,从而 .
故选择:
6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得 -1 分，记总得分为 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
设 8 次抛掷中正面向上的次数为 ,则反面向上次数为 ,
总得分 ,且 ,
又 ,
则 .
故选择:
7. 若存在正实数 ,使得函数 是定义在 上的奇函数,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
考虑特殊情形, 时, 时, ,
由 是奇函数,则 ,得 .
故选择:
8. 已知 是双曲线 的左右顶点, 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点,记 ,若 和 都是等差数列且公差相等,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
,设 ,则 ,
记直线 的倾斜角为 ,则 ,
由两数列公差相等,则 ,即 .
故选择: D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.
9. 现有 10 个数据为:3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有
A. 众数是 4 B. 平均数是 4 C. 极差是 3 D. 中位数是 4.5
【答案】BC
A 项: 众数为 3 , 错误;
B 项: 平均数 ,正确;
C 项: 极差 ,正确;
D 项: 中位数为 4,错误.
故选择: BC
10. 如图,在正三棱柱 中,点 分别是 的中点,则下列说法中正确的有
A. 平面 B.
C. 平面 D. 与 相交
【答案】ACD
A 项: 取 中点 ,连接 ,易得四边形 为平行四边形,故 ,则 平面 , 正确;
B 项: ,故 ,故 与 不垂直,错误;
C 项: 易得 平面 ，故 平面 ，正确；
D 项: 连接 ,易得 ,故 与 相交,正确.
故选择: ACD
11. 定义在 上的函数 满足当 时, ,其中 ,则下列说法中正确的有
A.
B. 当 时,若 在区间 内恰有两个零点,则 的取值范围是
C. 存在正实数 和 ,使得 时,有
D. 当 时,若 在区间 内恰有两个极值点,则 的取值范围是
【答案】ACD
当 时, ,因为 ,此时 的符号由 的奇偶性决定,因为 ,所以 ,所以 , 又 , ,所以 ,即 正确;
令 ,则 或 ,若 在 内恰有两个零点,则 ,所以 , 当 时,则 ; 当 时,则 ,故 错误;
当 时, ,当 时, ,故 正确;
因为 ,则 ,令 ,则 或 ,所以当 时, ,故 在
内恰有两个极值点,则极值点是 和 ,所以 ,当 时,则 ; 当 时,则 ,故 正确.
故选择: ACD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 平面向量 满足: ，则 与 的夹角的余弦值是_____.
4 答案
由已知 ,可知 ,即 .
故答案为:
13. 平行于 轴的直线交抛物线 于点 ,交抛物线 于点 ,记抛物线 和 的焦点分别为 和 ，若 ，则四边形 的面积为_____.
【答案】3
设平行于 轴的直线方程为 ,将 代入 得 ,则 ,
将 代入 得 ,则 ,
由已知条件 ,可列方程 ,解得 ,
当 时,各点坐标为 ,所以面积为 3 .
故答案为: 3
14. 如图,已知 ,在函数 的部分图象中,其图象上的点 是同一直线上的三点，且该直线与 轴交于点 ，若 ，则 _____.
【答案】
设点 为 ,则 为 为 为 , 其中 都大于 0,且平方和为 1 .
点 三点代入函数可得:
由①+②=0,得 或者 ,
若前者 成立,点 也是零点, 重合,不符合题意,舍去.
所以只能后者 成立,所以 ,
因为 , 所以 ,所以 .
再根据②式 ③式，得:
因为: ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则 .
故答案为:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在数列 中, ,且 是等差数列.
(1)求 ；
(2)证明: .
(1)由题可设 ，
则
即 为二次函数型, 设 ,
所以 ,故 .
(2) ，所以 .
16. (15 分)如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 点 分别是棱 上的点,且直线 平面 .
(1)求 的长；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(1) 面 ，则 且 ， 由余弦定理 ， 故 .
(2)由(1)知 ，故 ，
(3)取 中点 ， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 垂直底面直线为 轴建系，
则 ,
由 是 中点知 ,由 知 ,
则 ,
取面 法向量 ,设 与面 所成角为 ,
则 .
17. (15 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 有极小值，且 ，求 的取值范围.
(1)当 时， ， ,代入 ,即 .
(2) ，定义域 ，
若 ,则 在 上单调递增;
若 ,则由 ,解得 在 上单调递减, 上单调递增.
(3)由(2):当 时， 有极小值，考虑 ，
当 时, 在 上单调递减, 上单调递增,故 ,
,即
当 时, ,而 关于 递增,故 .
18. (17 分) 曲线 与直线 交于点 ,过点 且与 垂直的直线交曲线 于另外的点 ,设线段 的中点为 ,定点 的坐标为 .
(1)用 表示点 的坐标；
(2)证明: 为定值；
(3)是否存在某条直线始终与以 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.
(1) ,
即 , 所以 .
(2) ， ， ，则 ，所以 ，
联立 ,整理即 ,
故 ，
,
(这是由于 ,故 ,故 ) 于是 .
(3)存在直线 满足条件， 下证之.
设圆心为 ,半径 ,直线 交 于 ,连接 ,则 , ,设 为 与 之间得距离, , ,由 (2) , 所以圆心 到 的距离 ,故 与 相切, 满足条件.
19. (17 分) 有 张编号分别为 1 到 的卡片,横向随机排列. 对于这 张卡片,初始状态下卡片标号从左到右为 ,记此时的卡片排列为 . 对这 张卡片的排列进行如下三步操作: 1. 取出最左边的卡片,记其标号为 . 剩余卡片中,标号小于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空),标号大于 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 (若不存在则为空); 3. 对这 张卡片重新排列,得到新排列: . 每进行完上述三步操作，称为一次 “完整操作”.
(1)若初始排列为 ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 的顺序排列的概率；
(3)记初始排列中有 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 的顺序排列，当 时， 证明: .
(1) .
(2)设最左的卡片是 ，只需满足 1 到 的卡片均按顺序出现， 到 也按顺序出现， 所以 .
(3)设第一张卡片是 ，第一次操作后变成 ，注意到 无法有变动，故其本身必须是升序， 而 是可操作变为升序的序列,所以 ,其中 ,
从而 ,所以 ,
其中
所以 ,
其中 ,
其中 (这里 ),
所以 .