四川省大数据联盟2025-2026学年下学期年高三3月开学考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川省大数据联盟2025-2026学年下学期年高三3月开学考试数学试卷（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
数 学
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后,请将答题卡交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在复平面内,复数 对应的点为 ,则
A. B. C. D.
2. 已知等比数列 满足 ,则 的公比为
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
3. 设全集 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作 的一条渐近线的平行线 ，若 交 的另一条渐近线于点 ，则 ( 为坐标原点)的面积为
A. B. 1 C. D. 2
6. 已知正方形 的边长为 2,点 在线段 上，则 的最小值为
A. B. C. D.
7. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， 是减函数，则
A. B.
C. D.
8. 已知正三棱柱 的底面边长为 6，高为 ，其顶点都在球 的球面上，则球心 到平面 的距离为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 从某校高三年级随机抽取 50 名学生的数学模拟考试分数(满分 150 分)作为样本，整理得到样本的平均数 ,中位数 ,标准差 ,则下列说法正确的是
A. 若将这 50 名学生的分数都加 4 ，则新样本的平均数为 109
B. 若将这 50 名学生的分数都加 4 ，则新样本的标准差为 10
C. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变
D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，点 在第一象限,过点 作 的准线 的垂线,垂足分别为 ,则
A. 的方程为 B. 为正三角形
C. D. 的面积为
11. 设数列 各项均为正整数,其所有项的和为 ,若对于任意正整数 为数列中的某一项或若干项的和,则
A. 可能为 2
B. 当 时, 的最小值为 4
C. 当该数列为递增的等比数列时,其公比为 2
D. 对任意的 ,都有
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 的展开式的第 2 项的系数为_____▲_____.
13. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围为_____▲_____.
14. 设函数 ，若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则当 取最小值时， 在 上的值域为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . (1)求 ；
(2)若 ，求 边上中线的长.
16.(15 分)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 是平行四边形，侧面 PAD 是正三角形，且 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分) 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 且 ，若 ，求 的最小值.
18.(17 分)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和 “ 0 ”组成的字符序列:若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1 ”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“ 0 ”，称这两个“ 0 ”中前一个为“前 0 ”，后一个为“后 0 ”. 例如，抛掷 5 次硬币的结果依次是:正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为 1001100，共 7 个字符, 此时从左向右第 4 个字符为 1 ,第 6 个字符为 0 .
(1)若抛掷 3 次硬币，记得到的字符序列中字符总数为 ，求 ；
(2)对 ，记 为从左向右第 个字符是 “前 0 ”的概率， 为从左向右第 个字符是 0 的条件下,第 个字符是 1 的概率.
(i) 证明: 为等比数列;
(ii) 求 的最大值.
19. (17 分)已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，过原点 作 的垂线，垂足为 ，设点 的轨迹为 .
(i) 求轨迹 的方程;
(ii) 以坐标原点 为公共端点作两条互相垂直的射线 ,分别与 交于点 ,与椭圆 交于点 ,求以 为顶点的四边形的面积的最大值.
1. 解: ,则 . 故选 D.
2. 解: 由 ,得 ,则 . 因为 ,所以若 ,则 ,不成立; 若 ,则 ,所以 的公比为 -2 . 故选 A.
3. 解: ,则 . 故选 C.
4. 解: 若 ,则 . 取 ,满足 ,但 . 故 “ ” 是 “ ”的充分不必要条件. 故选 A.
5. 解: 由题意可知, 为等腰三角形. 又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 是边长为 2 的正三角形，所以 的面积为 . 故选 C.
6. 解: 以 为原点, 为 轴的正方向, 为 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 , ,所以 的方程为 . 设 ,则 ,所以 ,所以当 时, 取得最小值 . 故选 B.
7. 解: 因为 为偶函数,所以曲线 关于 轴对称,所以 是 的极值点,即 . 又 是减函数,所以 时, 单调递减,所以 . 故选 D.
8. 解: 法一: 如图,设正三棱柱的上、下底面的中心分别为 ,则球心 为 的中点,连接 并延长分别交 于点 ,则 分别为 的中点,连接 ,则 . 由正弦定理,得 . 由图可知,球 的半径 . 又 ,所以 ,所以 的外接圆半径 ,所以点 到平面 的距离为 . 故选 A.
法二: 如图,设 ,则 ,所以 ,即 ,所以点 到平面 的距离为点 到平面 距离的 . 因为 ,所以 ,则点 到平面 的距离为 ,所以点 到平面 的距离为 .
故选 A.
9. 解:每个数据都加 4，平均数也加 4，标准差不变，新样本的平均数为 109，标准差仍为 8，故 A 正确，B 错误；去掉一个最高分和一个最低分，中位数不变，平均数可能会变化，故 C 正确，D 错误. 故选 AC.
10. 解: 由题意可得, 过点 ,则 ,所以准线 的方程为 ,故 正确; 由抛物线的定义可知, . 又 ,所以 为等边三角形,故 B 正确; 设坐标原点 ，由 知 . 又 ，所以 ,所以 ,则 ,故 C 错误; 由 ，所以 ，所以 ，故 正确. 故选 ABD.
11. 解: 若 ,则所有项大于等于 时无法满足条件,故 ,故 A 错误; 构造数列 1,2,4,8 满足要求,若只有三项,则没有满足条件的数列,故 正确; 若该数列为递增的等比数列,设为 且 ,若 且 时该数列中不存在若干项的和为 2,故 ,故 正确; 若 ,则该数列中不存在若干项的和为 ,故 D 正确. 故选 BCD.
12. 解: 展开式的第 2 项为 ,故第 2 项的系数为 -96 .
13. 解: ,令 . 由题意可知, 有两个正零点,故 解得 .
14. 解: 因为 ,所以 ,使得 ,故 ,使得 ,故 ,所以 ,即负常数 ,故 ,即 ，所以 ，即 ，所以 取最小值为 ，所以 ，当 时， ，所以 的值域为 .
15. 解:(1)由已知，得 ， 3 分化简可得, ,
所以 . 因为 ,所以 . 6 分
(2)在 中， . 8 分由正弦定理，得 . 10 分
设 的中点为 ,则 .
在 中,由余弦定理,得 ,即 ,
所以 边上中线的长为 5 . 13 分
16. ( 1 )证明:如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 . 2 分
因为 ,且 ,所以 . 4 分
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,则 ,所以 . 6 分
(2)解:设 ，则 .
又 ,所以 ,
所以 ,即 .
又 ,且 平面 平面 ,所以 平面 . 8 分
以 为坐标原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , 9 分所以 .
设平面 的一个法向量为 ,则 即
令 ,则 ,即 . 12 分
设 与平面 所成角为 .
因为 ,所以 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 函数 的定义域为 ,
若 ,则 ,所以 在 上单调递减; 3 分
若 ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减. 6 分
(2)当 时， ，不满足题意； 8 分当 时,由 (1) 知函数 在 处取得最小值,
所以 ,即 . 10 分设 ,则 .
令 ,则 ,
当 时, 单调递减. 13 分
又 ,所以 ,所以 .
又 ,所以 的最小值为 5 . 15 分
18.(1)解:法一:由题意，不妨设抛掷 3 次硬币中正面朝上的次数为 η，则反面朝上的次数为
所以 . 2 分
又因为 ,所以 ,
所以 . 5 分
法二: 由题意可知, 的取值集合为 . 1 分
3 分
所以 . 5 分
(2)(i)证明:由题意可知， ，当 时， ， 8 分所以 .
又因为 ，所以 为等比数列. 10 分
(ii) 解: 由 (i) 可知, ,所以 .
设从左向右第 个字符是 0 的概率为 ,从左向右第 个字符是 0,且第 个字符是 1 的概率为 .
由题意可得, ,
所以 . 14 分求 的最大值,即求 的最大值.
由题意易知, .
当 时,因为 ,
所以 的最大值在 为偶数时取得,此时 ,且 ,
所以 的最大值为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意可得, ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2)(i)当直线 的斜率存在且不为 0 时，设 ，则过原点 垂直于 的直线为 ,垂足 .
由 得 ,
所以 ,即 . 6 分
由 得 代入 ,得 ,
即 . 9 分
当直线 的斜率不存在时, 为 或 ,此时 或 均满足上式;
当直线 的斜率为 0 时, 为 或 ,此时 或 均满足上式.
综上所述，点 的轨迹 的方程为 . 10 分
(ii) 法一: 由 (1) 可知, . 设曲线 上任意一点 .
因为 ,
所以 ,即曲线 上的点在 外部或 上,
所以以 为顶点的四边形的面积 . 12 分
当 的斜率都存在且不为 0 时,设 .
由 解得 ,
所以 . 同理可得, . 13 分由 解得 ,
所以 . 同理可得, ,
所以 . 15 分
令 ,则 .
因为 是关于 的单调递增函数,
所以当 时 取最大值为 .
当 的斜率有一个不存在时, 一定有一条在 轴上,另一条在 轴上,
此时点 与点 或点 与点 一定会有一组点重合, 为顶点不能构成四边形.
故 的最大值为 . 17 分
法二: 由( 1 )可知， . 11 分
若射线 与 的斜率有一个为 0 时,则不能构成以 为顶点的四边形,
所以设射线 的方程为 ,则射线 的方程为 . 由方程组 得 ,
所以 . 同理可得, . 13 分由方程组 得 ,
所以 . 同理可得, ,
所以以 为顶点的四边形的面积为 15 分
当且仅当 时, 取得最大值,且最大值为 ,所以以 为顶点的四边形的面积的最大值为 . 17 分
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后,请将答题卡交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在复平面内,复数 对应的点为 ,则
A. B. C. D.
2. 已知等比数列 满足 ,则 的公比为
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
3. 设全集 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作 的一条渐近线的平行线 ，若 交 的另一条渐近线于点 ，则 ( 为坐标原点)的面积为
A. B. 1 C. D. 2
6. 已知正方形 的边长为 2,点 在线段 上，则 的最小值为
A. B. C. D.
7. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， 是减函数，则
A. B.
C. D.
8. 已知正三棱柱 的底面边长为 6，高为 ，其顶点都在球 的球面上，则球心 到平面 的距离为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 从某校高三年级随机抽取 50 名学生的数学模拟考试分数(满分 150 分)作为样本，整理得到样本的平均数 ,中位数 ,标准差 ,则下列说法正确的是
A. 若将这 50 名学生的分数都加 4 ，则新样本的平均数为 109
B. 若将这 50 名学生的分数都加 4 ，则新样本的标准差为 10
C. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的中位数一定不变
D. 若去掉一个最高分和一个最低分，则新样本的平均数一定不变
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 ， 两点，点 在第一象限,过点 作 的准线 的垂线,垂足分别为 ,则
A. 的方程为 B. 为正三角形
C. D. 的面积为
11. 设数列 各项均为正整数,其所有项的和为 ,若对于任意正整数 为数列中的某一项或若干项的和,则
A. 可能为 2
B. 当 时, 的最小值为 4
C. 当该数列为递增的等比数列时,其公比为 2
D. 对任意的 ,都有
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 的展开式的第 2 项的系数为_____▲_____.
13. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围为_____▲_____.
14. 设函数 ，若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则当 取最小值时， 在 上的值域为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . (1)求 ；
(2)若 ，求 边上中线的长.
16.(15 分)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 是平行四边形，侧面 PAD 是正三角形，且 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分) 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 且 ，若 ，求 的最小值.
18.(17 分)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷，按如下规则从左至右依次生成一个由数字“1”和 “ 0 ”组成的字符序列:若硬币正面朝上，则在当前序列的末尾添加一个字符“1 ”；若硬币反面朝上，则在当前序列的末尾添加两个连续的“ 0 ”，称这两个“ 0 ”中前一个为“前 0 ”，后一个为“后 0 ”. 例如，抛掷 5 次硬币的结果依次是:正、反、正、正、反，那么得到的字符序列为 1001100，共 7 个字符, 此时从左向右第 4 个字符为 1 ,第 6 个字符为 0 .
(1)若抛掷 3 次硬币，记得到的字符序列中字符总数为 ，求 ；
(2)对 ，记 为从左向右第 个字符是 “前 0 ”的概率， 为从左向右第 个字符是 0 的条件下,第 个字符是 1 的概率.
(i) 证明: 为等比数列;
(ii) 求 的最大值.
19. (17 分)已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，过原点 作 的垂线，垂足为 ，设点 的轨迹为 .
(i) 求轨迹 的方程;
(ii) 以坐标原点 为公共端点作两条互相垂直的射线 ,分别与 交于点 ,与椭圆 交于点 ,求以 为顶点的四边形的面积的最大值.
1. 解: ,则 . 故选 D.
2. 解: 由 ,得 ,则 . 因为 ,所以若 ,则 ,不成立; 若 ,则 ,所以 的公比为 -2 . 故选 A.
3. 解: ,则 . 故选 C.
4. 解: 若 ,则 . 取 ,满足 ,但 . 故 “ ” 是 “ ”的充分不必要条件. 故选 A.
5. 解: 由题意可知, 为等腰三角形. 又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 是边长为 2 的正三角形，所以 的面积为 . 故选 C.
6. 解: 以 为原点, 为 轴的正方向, 为 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 , ,所以 的方程为 . 设 ,则 ,所以 ,所以当 时, 取得最小值 . 故选 B.
7. 解: 因为 为偶函数,所以曲线 关于 轴对称,所以 是 的极值点,即 . 又 是减函数,所以 时, 单调递减,所以 . 故选 D.
8. 解: 法一: 如图,设正三棱柱的上、下底面的中心分别为 ,则球心 为 的中点,连接 并延长分别交 于点 ,则 分别为 的中点,连接 ,则 . 由正弦定理,得 . 由图可知,球 的半径 . 又 ,所以 ,所以 的外接圆半径 ,所以点 到平面 的距离为 . 故选 A.
法二: 如图,设 ,则 ,所以 ,即 ,所以点 到平面 的距离为点 到平面 距离的 . 因为 ,所以 ,则点 到平面 的距离为 ,所以点 到平面 的距离为 .
故选 A.
9. 解:每个数据都加 4，平均数也加 4，标准差不变，新样本的平均数为 109，标准差仍为 8，故 A 正确，B 错误；去掉一个最高分和一个最低分，中位数不变，平均数可能会变化，故 C 正确，D 错误. 故选 AC.
10. 解: 由题意可得, 过点 ,则 ,所以准线 的方程为 ,故 正确; 由抛物线的定义可知, . 又 ,所以 为等边三角形,故 B 正确; 设坐标原点 ，由 知 . 又 ，所以 ,所以 ,则 ,故 C 错误; 由 ，所以 ，所以 ，故 正确. 故选 ABD.
11. 解: 若 ,则所有项大于等于 时无法满足条件,故 ,故 A 错误; 构造数列 1,2,4,8 满足要求,若只有三项,则没有满足条件的数列,故 正确; 若该数列为递增的等比数列,设为 且 ,若 且 时该数列中不存在若干项的和为 2,故 ,故 正确; 若 ,则该数列中不存在若干项的和为 ,故 D 正确. 故选 BCD.
12. 解: 展开式的第 2 项为 ,故第 2 项的系数为 -96 .
13. 解: ,令 . 由题意可知, 有两个正零点,故 解得 .
14. 解: 因为 ,所以 ,使得 ,故 ,使得 ,故 ,所以 ,即负常数 ,故 ,即 ，所以 ，即 ，所以 取最小值为 ，所以 ，当 时， ，所以 的值域为 .
15. 解:(1)由已知，得 ， 3 分化简可得, ,
所以 . 因为 ,所以 . 6 分
(2)在 中， . 8 分由正弦定理，得 . 10 分
设 的中点为 ,则 .
在 中,由余弦定理,得 ,即 ,
所以 边上中线的长为 5 . 13 分
16. ( 1 )证明:如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 . 2 分
因为 ,且 ,所以 . 4 分
又 平面 平面 ,
所以 平面 ,则 ,所以 . 6 分
(2)解:设 ，则 .
又 ,所以 ,
所以 ,即 .
又 ,且 平面 平面 ,所以 平面 . 8 分
以 为坐标原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 , 9 分所以 .
设平面 的一个法向量为 ,则 即
令 ,则 ,即 . 12 分
设 与平面 所成角为 .
因为 ,所以 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 函数 的定义域为 ,
若 ,则 ,所以 在 上单调递减; 3 分
若 ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
综上所述,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减. 6 分
(2)当 时， ，不满足题意； 8 分当 时,由 (1) 知函数 在 处取得最小值,
所以 ,即 . 10 分设 ,则 .
令 ,则 ,
当 时, 单调递减. 13 分
又 ,所以 ,所以 .
又 ,所以 的最小值为 5 . 15 分
18.(1)解:法一:由题意，不妨设抛掷 3 次硬币中正面朝上的次数为 η，则反面朝上的次数为
所以 . 2 分
又因为 ,所以 ,
所以 . 5 分
法二: 由题意可知, 的取值集合为 . 1 分
3 分
所以 . 5 分
(2)(i)证明:由题意可知， ，当 时， ， 8 分所以 .
又因为 ，所以 为等比数列. 10 分
(ii) 解: 由 (i) 可知, ,所以 .
设从左向右第 个字符是 0 的概率为 ,从左向右第 个字符是 0,且第 个字符是 1 的概率为 .
由题意可得, ,
所以 . 14 分求 的最大值,即求 的最大值.
由题意易知, .
当 时,因为 ,
所以 的最大值在 为偶数时取得,此时 ,且 ,
所以 的最大值为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意可得, ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2)(i)当直线 的斜率存在且不为 0 时，设 ，则过原点 垂直于 的直线为 ,垂足 .
由 得 ,
所以 ,即 . 6 分
由 得 代入 ,得 ,
即 . 9 分
当直线 的斜率不存在时, 为 或 ,此时 或 均满足上式;
当直线 的斜率为 0 时, 为 或 ,此时 或 均满足上式.
综上所述，点 的轨迹 的方程为 . 10 分
(ii) 法一: 由 (1) 可知, . 设曲线 上任意一点 .
因为 ,
所以 ,即曲线 上的点在 外部或 上,
所以以 为顶点的四边形的面积 . 12 分
当 的斜率都存在且不为 0 时,设 .
由 解得 ,
所以 . 同理可得, . 13 分由 解得 ,
所以 . 同理可得, ,
所以 . 15 分
令 ,则 .
因为 是关于 的单调递增函数,
所以当 时 取最大值为 .
当 的斜率有一个不存在时, 一定有一条在 轴上,另一条在 轴上,
此时点 与点 或点 与点 一定会有一组点重合, 为顶点不能构成四边形.
故 的最大值为 . 17 分
法二: 由( 1 )可知， . 11 分
若射线 与 的斜率有一个为 0 时,则不能构成以 为顶点的四边形,
所以设射线 的方程为 ,则射线 的方程为 . 由方程组 得 ,
所以 . 同理可得, . 13 分由方程组 得 ,
所以 . 同理可得, ,
所以以 为顶点的四边形的面积为 15 分
当且仅当 时, 取得最大值,且最大值为 ,所以以 为顶点的四边形的面积的最大值为 . 17 分
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