江苏省南京市南师附中等顶尖九校2026届高三年级3月联考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市南师附中等顶尖九校2026届高三年级3月联考数学试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 414.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
江苏九校高三联合测试
数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C.3 D. 3
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1 , 状态 2 , 状态 3 , …… , 每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记 的内角 的对边分别为 , ,则 的面积为
A. 1 B. C. D.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设
,则
A. 时， 平面
B. 时，
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ,则 _____.
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图,已知 是圆锥 的轴截面, .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
16. (15 分)已知数列 各项均不为零， . (1)当 时，求 的前 50 项和;
(2)若 ，求正整数 的最小值.
17. (15 分) 某次考试的多项选择题, 每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个, 得分规则如下: 若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分，选 3 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 , 记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1,且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
江苏九校高三联合测试
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ,则
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
,选 C.
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
或 无解,
或 1. 故可能使元素个数减少的只有 .
检验得 ,
时,结合选项得 有 4 个元素,则 ,选 A.
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
【答案】A
展开式第 项 ,即常数项 ,选 A.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】C
,则 ,选 C.
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1 ，状态 2 ，状态 3，……， 每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
3 秒后处于状态1 和状态2 的有:
,选 C.
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
令 ,则 , 在圆 上, ,则 ,则 ,即 ,选 D.
7. 记 的内角 的对边分别为 , ,则 的面积为
A. 1
B. C. D.
【答案】B
,
, ,选 B.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
方法一: 若 ,则 ,即 ,
矛盾,排除 BD
时, 在 单调递增, ,
,排除 ,选 A.
方法二: 若 ,则 ,与 矛盾,故 .
若 ,则 ,与 矛盾,故 . 综上 ,选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD
对.
独立,则 错.
方差为 2,则 方差 对.
越接近 1,回归模型的拟合效果越好, D 对,选 ACD.
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
,对称中心 ,
对称中心 都是它们的对称中心, A 对.
与 周期不同,没有相同的对称轴, B 错.
向左平移 个单位变为
,若 与 关于
轴对称,则 ,即 , D 错,选 AC.
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设
,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
设 ,则 ,
,因 共面,
即 ,比较 的系数,得 ,
若 ,则 ,此时
若 平面 ,则存在实数 ,使
即
比较系数,得 方程组无解,故 平面 错.
若 ,则 对.
又四边形 是平行四边形, ,且 为 的中点, ,故 , 对.
再由 且 ,
,又 ,
故 ，由 和 得
,所以 ,当且仅当 时取等号, 故四棱锥 的体积最小值为 4, D 对. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
【答案】 -1
, .
13. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与 有唯一的公共点 ,则 _____.
【答案】 5
消 可得 ,
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
【答案】
方法一: 或 在 单调递增, 单调递减, 单调递增.
时, 在 单调递增, ,则 无公共部分.
时, ,此时
时, ,则 此时 ,综上: .
方法二: 默认 ,则
由题意得 ,故 在 上递增,在 上递减, 在 上递增,所以 在 上的最大值为
题意等价于 ,即
由 得 或
于是第一段得 ,第二段得 ,第三段得
综上
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，已知 是圆锥 的轴截面， .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
(1) ，圆锥 外接球球心 一定在 上，
设
在 中 .
(2)如图建系，
,
,设平面 的一个法向量
而平面 的一个法向量
显然二面角 的平面角 为锐角, .
16. (15 分)已知数列 各项均不为零， .
(1)当 时，求 的前 50 项和；
(2)若 ，求正整数 的最小值.
(1)当 时， ， .
令 ,
①+② ， ，
的一个周期为 一个周期也为 6
而 ,
一个周期的和为 的前 50 项和为: .
(2)当 时，由(1)知 为周期数列， 不单调.
当 时,
成等差数列且首项为 1,公差为 2, ,
单调递减满足 正整数 的最小值为 2 .
17. (15 分)某次考试的多项选择题，每题4 个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下:若正确选项有 2 个，只选 1 个且为正确选项得 3 分，选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分，选 3 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 , 记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
(1) .
(2) 的所有可能取值为0,2,3
的分布列如下:
0 2 3
.
(3) 的所有可能取值为0,4,6.
当且仅当 时, .
18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1,且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
方法一:(1)由题意知 ， 的方程为: .
(2)设直线 方程为
,即 ①
直线 的方程为 .
(3)设 外接圆方程为 ，它过
外接圆方程为
,即 它在定直线 上运动.
方法二: 设 .
由寒假线上集训网课: .
设外接圆圆心为 . 联立中垂线方程得 .
所以 在定直线 上. 秒杀。
方法三:
(1)由题意， . 又 . 代入 ，得 . .
(2)设直线 方程为 . 设 . 由 得 .
. 设 为 的中点,
则 .
又 .
. 由 ,
得 .
. 由题意 或 13 .
又 . 直线 与双曲线交于两点, .
故 舍去, ,即 .
(3)设直线 方程仍为 . 且 存在，故 .
由上可得 的中点 . 因为 的斜率为 -1,
所以 的垂直平分线斜率为 1,
其方程为 . 设外接圆圆心 ,则 . ①
又 . 由 (1) 得 ,所以 .
由(2)已得 . 又 ,故 .
因为 为外接圆圆心, . 于是 .
代入 ，得 ，
. 由 ,得 .
再由①， . 所以 .
在定直线 .
19. (17 分) 已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
方法一:(1)由 是 的必要条件
在 上单调递增, ,令 在 上单调递减, .
(2)(i)对 有两个不等的实根
有两个零点
令
在 上单调递减; 上单调递增,
要使 有两个零点,只需
,令
在 上单调递增; 上上单调递减,
(ii) 令 ,
两根为
令 ,其中 的两根为
令 ,
在 上单调递减; 上单调递增,作出 图像如下:
令 ,
在 上单调递减; 上单调递增,
当 时, ,此时 最小 取最小值时, .
方法二: (1) 由题意, .
令 ,得 ,故 在 上单调递增.
令 ,则 .
故 在 上单调递增,且 .
于是 . 从而 .
当 时, ,符合题意.
.
(2) (i) .
令 ,则 .
. 于是 .
令 ,则 . 故 .
于是 .
当 时, ,
且 ,故方程 有两个不等实根,从而 有两个零点.
当 时,取 ,则 ,无实根.
当 时,取 ,则 ,
唯一实根为 ,但 不在 的定义域内. .
(ii) 不妨设 . 由 (i) 知 .
由 得 .
又由 ,且 为凸函数,故 .
令 ,则 .
代入 ，得 ， .
令 ,则 .
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
且 .
所以当 时,方程 有两个根 .
设 . 若 ,则由单调性得 ,
故 . 即 单调递增.
而 .
故 取得最小值,当且仅当 取得最小值.
又 .
令 ,则 .
由 得 .
故 . 当且仅当 时取等号.
因此 取得最小值时, .
数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ，则
A. 1 B. 2 C.3 D. 3
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1 , 状态 2 , 状态 3 , …… , 每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能: 状态保持不变或变为更高一级状态, 已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
7. 记 的内角 的对边分别为 , ,则 的面积为
A. 1 B. C. D.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设
,则
A. 时， 平面
B. 时，
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 有唯一的公共点 ,则 _____.
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图,已知 是圆锥 的轴截面, .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
16. (15 分)已知数列 各项均不为零， . (1)当 时，求 的前 50 项和;
(2)若 ，求正整数 的最小值.
17. (15 分) 某次考试的多项选择题, 每题 4 个选项中正确选项有 2 个或 3 个, 得分规则如下: 若正确选项有 2 个, 只选 1 个且为正确选项得 3 分, 选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分，选 3 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 , 记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1,且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
江苏九校高三联合测试
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ,则
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
,选 C.
2. 设集合 ，若 含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
或 无解,
或 1. 故可能使元素个数减少的只有 .
检验得 ,
时,结合选项得 有 4 个元素,则 ,选 A.
3. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.
【答案】A
展开式第 项 ,即常数项 ,选 A.
4. 已知两条直线 和平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】C
,则 ,选 C.
5. 科学研究中经常涉及对粒子状态的分析. 某假想粒子有状态 1 ，状态 2 ，状态 3，……， 每种状态下的粒子经过 1 秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态 1 的粒子有 的概率变为状态 2,状态 2 的粒子有 的概率变为状态 3,以此类推. 现有若干状态 1 的该粒子, 则经过 3 秒处于状态 1 和状态 2 的粒子数目约占
A. 39% B. 51% C. 64% D. 73%
【答案】C
3 秒后处于状态1 和状态2 的有:
,选 C.
6. 若直线 上存在点 ,圆 上存在点 ,使得 ,则 的最大值为
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
令 ,则 , 在圆 上, ,则 ,则 ,即 ,选 D.
7. 记 的内角 的对边分别为 , ,则 的面积为
A. 1
B. C. D.
【答案】B
,
, ,选 B.
8. 已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
方法一: 若 ,则 ,即 ,
矛盾,排除 BD
时, 在 单调递增, ,
,排除 ,选 A.
方法二: 若 ,则 ,与 矛盾,故 .
若 ,则 ,与 矛盾,故 . 综上 ,选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则
B. 若事件 相互独立,则
C. 若样本数据 的方差为 2,则数据 的方差为 8
D. 用相关指数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD
对.
独立,则 错.
方差为 2,则 方差 对.
越接近 1,回归模型的拟合效果越好, D 对,选 ACD.
10. 已知函数 ,则
A. 曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B. 曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C. 曲线 向左平移 个单位得到曲线
D. 曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
,对称中心 ,
对称中心 都是它们的对称中心, A 对.
与 周期不同,没有相同的对称轴, B 错.
向左平移 个单位变为
,若 与 关于
轴对称,则 ,即 , D 错,选 AC.
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点,经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设
,则
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
【答案】BCD
设 ,则 ,
,因 共面,
即 ,比较 的系数,得 ,
若 ,则 ,此时
若 平面 ,则存在实数 ,使
即
比较系数,得 方程组无解,故 平面 错.
若 ,则 对.
又四边形 是平行四边形, ,且 为 的中点, ,故 , 对.
再由 且 ,
,又 ,
故 ，由 和 得
,所以 ,当且仅当 时取等号, 故四棱锥 的体积最小值为 4, D 对. 故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
【答案】 -1
, .
13. 已知抛物线 的焦点为 ,直线 与 有唯一的公共点 ,则 _____.
【答案】 5
消 可得 ,
14. 已知函数 ,对任意 ,都有 ,则 的取值范围为_____.
【答案】
方法一: 或 在 单调递增, 单调递减, 单调递增.
时, 在 单调递增, ,则 无公共部分.
时, ,此时
时, ,则 此时 ,综上: .
方法二: 默认 ,则
由题意得 ,故 在 上递增,在 上递减, 在 上递增,所以 在 上的最大值为
题意等价于 ,即
由 得 或
于是第一段得 ,第二段得 ,第三段得
综上
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，已知 是圆锥 的轴截面， .
(1)求圆锥 的外接球的表面积；
(2)若 为弧 的中点，求二面角 的正切值.
(1) ，圆锥 外接球球心 一定在 上，
设
在 中 .
(2)如图建系，
,
,设平面 的一个法向量
而平面 的一个法向量
显然二面角 的平面角 为锐角, .
16. (15 分)已知数列 各项均不为零， .
(1)当 时，求 的前 50 项和；
(2)若 ，求正整数 的最小值.
(1)当 时， ， .
令 ,
①+② ， ，
的一个周期为 一个周期也为 6
而 ,
一个周期的和为 的前 50 项和为: .
(2)当 时，由(1)知 为周期数列， 不单调.
当 时,
成等差数列且首项为 1,公差为 2, ,
单调递减满足 正整数 的最小值为 2 .
17. (15 分)某次考试的多项选择题，每题4 个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下:若正确选项有 2 个，只选 1 个且为正确选项得 3 分，选 2 个且都为正确选项得 6 分, 否则得 0 分; 若正确选项有 3 个, 只选 1 个且为正确选项得 2 分, 选 2 个且都为正确选项得 4 分，选 3 个且都为正确选项得 6 分，否则得 0 分. 学生甲对其中的一道多项选择题完全不会,该题恰有 2 个正确选项的概率为 , 记 为甲随机选择 1 个选项的得分, 为甲随机选择 2 个选项的得分.
(1)若 ，求 ；
(2)求 的概率分布列和数学期望；
(3)证明:当且仅当 时， .
(1) .
(2) 的所有可能取值为0,2,3
的分布列如下:
0 2 3
.
(3) 的所有可能取值为0,4,6.
当且仅当 时, .
18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 是 上一点. 直线 的斜率为 -1,且与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的方程；
(3)证明: 的外接圆的圆心 在定直线上.
方法一:(1)由题意知 ， 的方程为: .
(2)设直线 方程为
,即 ①
直线 的方程为 .
(3)设 外接圆方程为 ，它过
外接圆方程为
,即 它在定直线 上运动.
方法二: 设 .
由寒假线上集训网课: .
设外接圆圆心为 . 联立中垂线方程得 .
所以 在定直线 上. 秒杀。
方法三:
(1)由题意， . 又 . 代入 ，得 . .
(2)设直线 方程为 . 设 . 由 得 .
. 设 为 的中点,
则 .
又 .
. 由 ,
得 .
. 由题意 或 13 .
又 . 直线 与双曲线交于两点, .
故 舍去, ,即 .
(3)设直线 方程仍为 . 且 存在，故 .
由上可得 的中点 . 因为 的斜率为 -1,
所以 的垂直平分线斜率为 1,
其方程为 . 设外接圆圆心 ,则 . ①
又 . 由 (1) 得 ,所以 .
由(2)已得 . 又 ,故 .
因为 为外接圆圆心, . 于是 .
代入 ，得 ，
. 由 ,得 .
再由①， . 所以 .
在定直线 .
19. (17 分) 已知函数 .
(1)对任意 是 的必要条件，求 的最小值；
(2)对任意 ，函数 存在两个零点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 对于 (i) 中给定的 ,证明: 当 取得最小值时, .
方法一:(1)由 是 的必要条件
在 上单调递增, ,令 在 上单调递减, .
(2)(i)对 有两个不等的实根
有两个零点
令
在 上单调递减; 上单调递增,
要使 有两个零点,只需
,令
在 上单调递增; 上上单调递减,
(ii) 令 ,
两根为
令 ,其中 的两根为
令 ,
在 上单调递减; 上单调递增,作出 图像如下:
令 ,
在 上单调递减; 上单调递增,
当 时, ,此时 最小 取最小值时, .
方法二: (1) 由题意, .
令 ,得 ,故 在 上单调递增.
令 ,则 .
故 在 上单调递增,且 .
于是 . 从而 .
当 时, ,符合题意.
.
(2) (i) .
令 ,则 .
. 于是 .
令 ,则 . 故 .
于是 .
当 时, ,
且 ,故方程 有两个不等实根,从而 有两个零点.
当 时,取 ,则 ,无实根.
当 时,取 ,则 ,
唯一实根为 ,但 不在 的定义域内. .
(ii) 不妨设 . 由 (i) 知 .
由 得 .
又由 ,且 为凸函数,故 .
令 ,则 .
代入 ，得 ， .
令 ,则 .
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
且 .
所以当 时,方程 有两个根 .
设 . 若 ,则由单调性得 ,
故 . 即 单调递增.
而 .
故 取得最小值,当且仅当 取得最小值.
又 .
令 ,则 .
由 得 .
故 . 当且仅当 时取等号.
因此 取得最小值时, .
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