第20章 勾股定理单元检测卷（含解析）
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勾股定理检测卷
一、单项选择题(共10题；共30分)
1．符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．3，4，5 C．1，2，4 D．，，
3．如图，已知OA=OB，BC=2，BC⊥OC于点C，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
7． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8， 以点A为圆心， AC长为半径画弧， 交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F， 则线段BE的长为( )
A．1 B． C．2 D．
8．如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．cm B．25cm C．cm D．cm
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题(共8题；共24分)
11．如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是 m.
12．已知一个直角三角形的两条边长分别为3 和5，则第三条边长的平方为 .
13．已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
14．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
15．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ．
16．如图，在中，是高，则 ．
17．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
18．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
三、解答题(共6题；共46分)
19．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
20．如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
21．如图，在离水面高度为4 米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC的长为8米，此人以每秒0.5米的速度收绳，则6秒后船向岸边移动了多少米
22．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
23．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
24．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
∵，
∴，
∴，该三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，
∵，即，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，
设，
∴，
∴，
∴，该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、可设，，，
∴，，
∵
∴
∴该三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】本题考查直角三角形的判定，包括定义（有一个角是直角）和勾股定理逆定理（两边平方和等于第三边平方）。对各选项分析：选项A中，由三角形内角和，结合，可得，即，是直角三角形；选项B中，，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；选项C设，，，由内角和得，解得，则，是直角三角形；选项D设，，，计算，而，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
C：1+2<4，不能构成三角形，不符合题意；
D：，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理，结合三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴点A表示的数为
故答案为：D
【分析】根据勾股定理，结合无理数在数轴上的表示即可求出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【分析】利用整体和局部两种方法表示面积，然后整理再逐项判断解答即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB=AD的值，由邻补角互补可求得∠DAE的度数，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠ADE的度数，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得AE的值，然后根据线段的和差CE=AC-AE计算即可求解．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定，先在中利用含30°角的直角三角形中斜边是30°角对边的2倍求出的长，再用勾股定理求出的长，结合D是中点求出的长，最后根据三角形内角和求出，结合判定为等腰三角形，得到。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】本题解题核心是“立体图形平面化”，关键在于考虑所有可能的展开方式。长方体表面从到的展开方式需围绕“和所在的面”展开，确保两点在同一平面内，再用勾股定理计算线段长度，最后通过比较得出最小值即可求解。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】 先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，即这棵树原来的高度是12m，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。
12．【答案】16或34
【解析】【解答】解：因为一个直角三角形的两条边长分别为3和5，所以①当5是此直角三
角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，则由勾股定理，得当5 是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，则由勾股定理，得故答案为 16或34
【分析】分两种情况：①当5为直角边长时，②当5为斜边长时，由勾股定理分别求出第三边长的平方即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
又∵
∴，
解得，
∵，
，
∴，即，
∴是直角三角形，∠C＝90°，
设斜边上的高为，
∴，
∴；
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方的非负性可得出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理可推出△ABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求解边上的高 .
14．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作
∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【分析】由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得BH=DC=4m，BC=DH=8米，由线段和差得出AC=AD-CD=6m，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，
∴，
∵梯子的顶端下滑2米，
∴，
∴，
∴梯子滑动的距离为：，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理得，从而得，进而再利用勾股定理得，最后求出的值即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
17．【答案】6或
【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时，
斜边，
此时斜边的中线长为；
当5为一条直角边，12为斜边时，
另一条直角边，
此时斜边的中线长为6.
故答案为：6或.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
18．【答案】18
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
19．【答案】（1）解：如图(1)，△ABC 即为所求.
（2）解：如图(2)，△GHI即为所求(答案不唯一).
【解析】【分析】（1）根据题意作出三边分别为3，4，5的直角三角形解答即可；
（2）根据题意作出三边分别为，，的直角三角形解答即可.
20．【答案】（1）解：中，由勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算求解即可。
（1）解：中，
根据勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
21．【答案】解：在 Rt△ABC中，BC=8米，AC=4米，
则由勾股定理得： (米).
设6 秒后，点 B到达点 B'处，则 B'C=8-0.5×6=5(米)，
3(米)，
故6秒后船向岸边移动了 米.
【解析】【分析】 根据题意，初始时，船位于点B，拉绳长度BC=8米，AC=4米，构成直角三角形ABC，经过6秒后，绳子缩短了3米，剩余长度为5米，此时船移动到点D，形成新的直角三角形ACD，通过计算AD的长度并与AB比较，即可求出船移动的距离.
22．【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23．【答案】解：（1）点M，N是线段的勾股分割点，理由如下：
如图，
∵，
∴
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点是线段的勾股分割点.
(2)如图，
设，则，
①当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
②当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
综上所述，的长为或.
【解析】【分析】（1）根据，结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆定理计算出得，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点.
（2）根据，设，则，结合点是线段的勾股分割点，且为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得，据此列方程可解得的长，同理可得，当BN是最长边时的长，综合两种情况即可得答案.
24．【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
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勾股定理检测卷
一、单项选择题(共10题；共30分)
1．符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．3，4，5 C．1，2，4 D．，，
3．如图，已知OA=OB，BC=2，BC⊥OC于点C，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
7． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8， 以点A为圆心， AC长为半径画弧， 交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F， 则线段BE的长为( )
A．1 B． C．2 D．
8．如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
9．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．cm B．25cm C．cm D．cm
10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题(共8题；共24分)
11．如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是 m.
12．已知一个直角三角形的两条边长分别为3 和5，则第三条边长的平方为 .
13．已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
14．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
15．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ．
16．如图，在中，是高，则 ．
17．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
18．如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为 ．
三、解答题(共6题；共46分)
19．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
20．如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，．
（1）求长；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
21．如图，在离水面高度为4 米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC的长为8米，此人以每秒0.5米的速度收绳，则6秒后船向岸边移动了多少米
22．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
23．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.
24．在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
∵，
∴，
∴，该三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，
∵，即，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，
设，
∴，
∴，
∴，该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、可设，，，
∴，，
∵
∴
∴该三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】本题考查直角三角形的判定，包括定义（有一个角是直角）和勾股定理逆定理（两边平方和等于第三边平方）。对各选项分析：选项A中，由三角形内角和，结合，可得，即，是直角三角形；选项B中，，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；选项C设，，，由内角和得，解得，则，是直角三角形；选项D设，，，计算，而，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，不能构成直角三角形，不符合题意；
B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意；
C：1+2<4，不能构成三角形，不符合题意；
D：，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理逆定理，结合三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴点A表示的数为
故答案为：D
【分析】根据勾股定理，结合无理数在数轴上的表示即可求出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理算出直角三角形 ABD 和 BCD 的斜边 AB 与 BC 的长度，再把所有边长相加，即可得到焊接钢架所需的总钢材长度。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【分析】利用整体和局部两种方法表示面积，然后整理再逐项判断解答即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB=AD的值，由邻补角互补可求得∠DAE的度数，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠ADE的度数，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得AE的值，然后根据线段的和差CE=AC-AE计算即可求解．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解，
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定，先在中利用含30°角的直角三角形中斜边是30°角对边的2倍求出的长，再用勾股定理求出的长，结合D是中点求出的长，最后根据三角形内角和求出，结合判定为等腰三角形，得到。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】本题解题核心是“立体图形平面化”，关键在于考虑所有可能的展开方式。长方体表面从到的展开方式需围绕“和所在的面”展开，确保两点在同一平面内，再用勾股定理计算线段长度，最后通过比较得出最小值即可求解。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】 先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，即这棵树原来的高度是12m，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。
12．【答案】16或34
【解析】【解答】解：因为一个直角三角形的两条边长分别为3和5，所以①当5是此直角三
角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，则由勾股定理，得当5 是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，则由勾股定理，得故答案为 16或34
【分析】分两种情况：①当5为直角边长时，②当5为斜边长时，由勾股定理分别求出第三边长的平方即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
又∵
∴，
解得，
∵，
，
∴，即，
∴是直角三角形，∠C＝90°，
设斜边上的高为，
∴，
∴；
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方的非负性可得出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理可推出△ABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求解边上的高 .
14．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作
∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【分析】由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得BH=DC=4m，BC=DH=8米，由线段和差得出AC=AD-CD=6m，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，
∴，
∵梯子的顶端下滑2米，
∴，
∴，
∴梯子滑动的距离为：，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理得，从而得，进而再利用勾股定理得，最后求出的值即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
17．【答案】6或
【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时，
斜边，
此时斜边的中线长为；
当5为一条直角边，12为斜边时，
另一条直角边，
此时斜边的中线长为6.
故答案为：6或.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
18．【答案】18
【解析】【解答】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，
根据题意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
∴正方形的面积为18．
故答案为：18．
【分析】设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，利用勾股定理可得，再求出即可.
19．【答案】（1）解：如图(1)，△ABC 即为所求.
（2）解：如图(2)，△GHI即为所求(答案不唯一).
【解析】【分析】（1）根据题意作出三边分别为3，4，5的直角三角形解答即可；
（2）根据题意作出三边分别为，，的直角三角形解答即可.
20．【答案】（1）解：中，由勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算求解即可。
（1）解：中，
根据勾股定理可得，
∴，
即的长为；
（2）解：在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
即图中阴影部分的面积为．
21．【答案】解：在 Rt△ABC中，BC=8米，AC=4米，
则由勾股定理得： (米).
设6 秒后，点 B到达点 B'处，则 B'C=8-0.5×6=5(米)，
3(米)，
故6秒后船向岸边移动了 米.
【解析】【分析】 根据题意，初始时，船位于点B，拉绳长度BC=8米，AC=4米，构成直角三角形ABC，经过6秒后，绳子缩短了3米，剩余长度为5米，此时船移动到点D，形成新的直角三角形ACD，通过计算AD的长度并与AB比较，即可求出船移动的距离.
22．【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
23．【答案】解：（1）点M，N是线段的勾股分割点，理由如下：
如图，
∵，
∴
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点是线段的勾股分割点.
(2)如图，
设，则，
①当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
②当是最长边时，
∵点是线段的勾股分割点，
∴，
∴，解得：，
∴的长为.
综上所述，的长为或.
【解析】【分析】（1）根据，结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆定理计算出得，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点.
（2）根据，设，则，结合点是线段的勾股分割点，且为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得，据此列方程可解得的长，同理可得，当BN是最长边时的长，综合两种情况即可得答案.
24．【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
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