2026北京延庆高三高考一模数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026北京延庆高三高考一模数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 204.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年第二学期试卷 高三数学
2026.03
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合 题目要求的一项。
(1)已知集合 ，则
(A) (B)
(C) (D)
(2)已知复数 满足 ，则在复平面内，复数 对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
(3)下列函数中，是奇函数且最小正周期为 的是
(A) (B)
(C) (D)
(4)已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(5)若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
(A) (B)
(C) (D)
(6)在 中， ， ， ，则
(A) (B)
(C) (D)
(7)矩形 中， ， ，且 ，则
(A) (B)
(C) 6 (D) 3
(8)设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，则 “ ” 是 “ 存在最小值” 的
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)在平面直角坐标系 中，若对任意的点 ，都存在 ,使得 ,且 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(10)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 , ,点 ,点 ,且其 “欧拉线” 与圆 相切. 则圆 上的点到直线 的距离的最小值为
(A) (B)
(C) (D)
第二部分 (非选择题 共 110 分.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
(11) 的展开式中，常数项为_____.
(12)已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 4，则 _____.
(13)已知 是任意角，且满足 ，则常数 的一个取值为_____.
(14)长方体 的底面 是一个正方形，其边长为 4，长方体的高为 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为八面体的体积和长方体的体积之比为_____。
(15)若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，记 .
①已知 ，且 ，则 ；
②已知 ，则存在实数 ，使得 ；
③已知 ，若 ，则对任意 ，都有
④已知 是等比数列 的前 项和， ，则存在等比数列 ,使得 ; 其中所有不正确的命题是_____.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(16)(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是一个等腰梯形， ， ， 为 的中点.
(I) 求证: 平面 ;
( II ) 若 平面 .
(i) 求证: 平面 ;
(ii) 求二面角 的余弦值.
(17)(本小题 13 分)
已知函数 ，从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知,使函数 存在.
(I) 求 的值.
(II) 设 ,求 在区间 上的最大值和最小值.
条件 ①: 是偶函数；
条件 ②: 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
条件 ③: 在区间 上单调递增.
注:如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分.
(18)(本小题 13 分)
2024 年联合国教科文组织第 46 届世界遗产大会上, 我国申报的 “北京中轴线一一中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线坐落于北京老城中心, 全长 7.8 公里, 始建于 13 世纪, 是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体. 它共包含15处遗产点，可分为 、 、 、 、 五种类型，具体如下表:
类型 古代皇家宫苑建筑 古代皇家祭祀建筑 古代城市管理设施 国家礼仪和公共建筑 居中道路遗存
中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中 轴 线 南 段 道 路 遗 存
某研学团队计划随机选取 3 处遗产点开展研学活动.
(I)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为 类的概率；
(II)若从 、 、 这三类遗产点中随机选取 3 处，设选取的 3 处遗产点的类型种数为 ,求 的分布列及数学期望;
(Ⅲ)该研学团队通过调查发现:所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、 青少年三个群体,其人数比值为 ,同时,这三个群体选择参观 类或 类遗产点的频率分布如下表:
人群 老年人 中年人 青少年
只参观 类型遗产点 60% 25% 30%
只参观 类型遗产点 20% 45% 30%
两类遗产点都参观 20% 30% 40%
用频率估计概率,若从所有参观 类或 类遗产点的人群中随机选取 1 人，记 “只参观 类型遗产点” 的概率为 ， “只参观 类型遗产点” 的概率为 ，请根据表中信息，判断 与 的大小关系. (结论不要求证明)
(19)(本小题 15 分)
已知椭圆 与 轴的交点为 (点 位于点 的上方)，且 ,椭圆的离心率为 .
(I) 求椭圆 的标准方程;
( II ) 若直线 与椭圆 交于不同两点 ，直线 与直线 交于点 . 设 与 的面积分别为 ， ，比较 与 的大小，并说明理由.
(20)(本小题 15 分)
已知函数 ， ， .
(I) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II) 讨论 的单调性;
(III) 是否存在 ,使得不等式 恒成立,若存在,求出 的所有值; 不存在, 请说明理由.
(21)(本小题 15 分)
设 为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组,且每组的 4 个数都能构成等差数列,则称数列 是 可分等差数列.
( I ) 说明数列 是不是 可分等差数列;
( II ) 当 时,证明: 数列 是 可分等差数列;
(III) 当 时,数列 是 可分等差数列,证明: 满足条件的 个数不少于 个。
2025-2026 学年第二学期
高三数学参考答案及评分标准 2026.3
一、选择题(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
(1) D (2)B (3) A (4)D (5) A
(6) B (7) C (8)°C (9)C (10)D
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
(11)60 (12)2 (13) 均可 (14)16 2，1:6
(15)①②③(注:对一个2分，对二个3分，有选错0分)
三、解答题(共 6 小题，共 85 分)
(16)(共14分)
(I) 取 的中点 ,连接 .
因为 为 的中点，
所以 . 1 分
因为 ， ，
所以 。
所以四边形 是平行四边形. 2 分
所以 。 3 分
且 平面 平面 . 4 分
所以: 平面
(II)(i)因为 平面 .
所以 . 5 分
因为底面 是一个等腰梯形， ， ，
所以 6 分
所以 ，即 7 分
又因为 面 . 8 分
所以知 平面 .
(ii) 由 (i) 知 平面 .
所以 .
如图建立空间直角坐标系 .
则 .
所以 . 9 分
设平面 的法向量为 ,则
即 10 分
令 ,则 . 于是 . 11 分
因为 为平面 的法向量,且 , 13 分所以二面角 的余弦值为 . 14 分
(17)(共13分)
(I) 解: 选择② 1 分
将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度,
可得到函数 , 2 分
由函数 为奇函数,则 , 4 分
可得 ,又因为 ,则 . 5 分
解: 选择③ 1 分
由 ,可得 2 分
在区间 上单调递增,且 的最小正周期为 3 分
所以 4 分
所以 5 分
(II) 解: 由 (1) 可知, ,
则 8 分
由 ,可得 9 分
当 时, 取最大值 1,此时 11 分
当 时, 取最小值 ,此时 13 分
(18)(共13分)
解:(I)设这 3 个遗产点都在 D 类为事件 ， 1 分
3 分
(II) , 4 分
或 . 7 分
1 2 3
1 14 9 14 2 7
10 分
(III) 13 分
(19)(共15分)
(I) 根据题可得 2 分
解得 ,椭圆 的标准方程 . 5 分
(II) 将曲线 的方程变为为 ,点 的坐标分别为 .
由 得 . 7 分
因为直线与曲线 交于不同的两点,所以 ,
即 . 8 分
设点 的坐标分别为 ,则 , 9 分
直线 的方程为 ,点 的坐标为 . 10 分因为直线 和直线 的斜率分别为 .
所以 11 分
12 分
. 即 .
所以 三点共线. 13 分
所以设 与 的高相等， 14 分
所以 15 分
(20)(共15分)
解: (I) 当 时, ,
所以 . 1 分
3 分
所以曲线 在点 处切线的方程为 . 4 分
(II) 当 时, 的定义域为 . 5 分
所以 的单调递减区间为 6 分
当 时， 的定义域为 .
所以 时, 时, .
所以 的单调递增区间为 ; 单调递减区间为 . 8 分
(III) 令
要使得不等式 恒成立,即 成立, 9 分
10 分
当 时, 的定义域为 .
所以 在 上单调递减.
因为 ,所以 不合题意. 12 3
当 时, 的定义域为 .
因为 时, 时, .
所以 的单调递增区间为 ; 单调递减区间为 .
所以 . 13 3
设 ,则 ,
因为 时, 时, ,
所以 的单调递减区间为 ; 单调递增区间为 .
所以 . 14 分
当 不等式恒成立. 15 分
(21)(共 15 分)
( I ) 解: 数列 是 、可分数列,不是 可分数列 4 分
( II ) 证明: 当
数列 中删去 和 两项后, 前面是 (有连续的 项,当 时,无这 项); 后面是 (有连续的 项,当 时,无这 项), 和 中间是 (有连续的
项,当 时,无这 项),因为都是连续的 4 的整数倍项,显然都可以平均分成每组都是 4 个数公差为 的等差数列. 8 分
(III) 首先证明: 数列 是 可分数列,
其中 .
证明: (1) 数列 中删去 和 两项后, 前面是 (有连续的 项,当 时,无这 项), 后面是 (有连续的 项,当 时,无这 项),因为都是连续的 4 的整数倍项,显然都可以平均分每组都是 4 个数公差为 的等差数列. 10 分
(2)分析中间的数列 是 可分数列.
2026.03
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合 题目要求的一项。
(1)已知集合 ，则
(A) (B)
(C) (D)
(2)已知复数 满足 ，则在复平面内，复数 对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
(3)下列函数中，是奇函数且最小正周期为 的是
(A) (B)
(C) (D)
(4)已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(5)若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
(A) (B)
(C) (D)
(6)在 中， ， ， ，则
(A) (B)
(C) (D)
(7)矩形 中， ， ，且 ，则
(A) (B)
(C) 6 (D) 3
(8)设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，则 “ ” 是 “ 存在最小值” 的
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)在平面直角坐标系 中，若对任意的点 ，都存在 ,使得 ,且 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(10)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 , ,点 ,点 ,且其 “欧拉线” 与圆 相切. 则圆 上的点到直线 的距离的最小值为
(A) (B)
(C) (D)
第二部分 (非选择题 共 110 分.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
(11) 的展开式中，常数项为_____.
(12)已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 4，则 _____.
(13)已知 是任意角，且满足 ，则常数 的一个取值为_____.
(14)长方体 的底面 是一个正方形，其边长为 4，长方体的高为 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为八面体的体积和长方体的体积之比为_____。
(15)若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，记 .
①已知 ，且 ，则 ；
②已知 ，则存在实数 ，使得 ；
③已知 ，若 ，则对任意 ，都有
④已知 是等比数列 的前 项和， ，则存在等比数列 ,使得 ; 其中所有不正确的命题是_____.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(16)(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是一个等腰梯形， ， ， 为 的中点.
(I) 求证: 平面 ;
( II ) 若 平面 .
(i) 求证: 平面 ;
(ii) 求二面角 的余弦值.
(17)(本小题 13 分)
已知函数 ，从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知,使函数 存在.
(I) 求 的值.
(II) 设 ,求 在区间 上的最大值和最小值.
条件 ①: 是偶函数；
条件 ②: 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
条件 ③: 在区间 上单调递增.
注:如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分.
(18)(本小题 13 分)
2024 年联合国教科文组织第 46 届世界遗产大会上, 我国申报的 “北京中轴线一一中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线坐落于北京老城中心, 全长 7.8 公里, 始建于 13 世纪, 是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体. 它共包含15处遗产点，可分为 、 、 、 、 五种类型，具体如下表:
类型 古代皇家宫苑建筑 古代皇家祭祀建筑 古代城市管理设施 国家礼仪和公共建筑 居中道路遗存
中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中 轴 线 南 段 道 路 遗 存
某研学团队计划随机选取 3 处遗产点开展研学活动.
(I)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为 类的概率；
(II)若从 、 、 这三类遗产点中随机选取 3 处，设选取的 3 处遗产点的类型种数为 ,求 的分布列及数学期望;
(Ⅲ)该研学团队通过调查发现:所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、 青少年三个群体,其人数比值为 ,同时,这三个群体选择参观 类或 类遗产点的频率分布如下表:
人群 老年人 中年人 青少年
只参观 类型遗产点 60% 25% 30%
只参观 类型遗产点 20% 45% 30%
两类遗产点都参观 20% 30% 40%
用频率估计概率,若从所有参观 类或 类遗产点的人群中随机选取 1 人，记 “只参观 类型遗产点” 的概率为 ， “只参观 类型遗产点” 的概率为 ，请根据表中信息，判断 与 的大小关系. (结论不要求证明)
(19)(本小题 15 分)
已知椭圆 与 轴的交点为 (点 位于点 的上方)，且 ,椭圆的离心率为 .
(I) 求椭圆 的标准方程;
( II ) 若直线 与椭圆 交于不同两点 ，直线 与直线 交于点 . 设 与 的面积分别为 ， ，比较 与 的大小，并说明理由.
(20)(本小题 15 分)
已知函数 ， ， .
(I) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II) 讨论 的单调性;
(III) 是否存在 ,使得不等式 恒成立,若存在,求出 的所有值; 不存在, 请说明理由.
(21)(本小题 15 分)
设 为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组,且每组的 4 个数都能构成等差数列,则称数列 是 可分等差数列.
( I ) 说明数列 是不是 可分等差数列;
( II ) 当 时,证明: 数列 是 可分等差数列;
(III) 当 时,数列 是 可分等差数列,证明: 满足条件的 个数不少于 个。
2025-2026 学年第二学期
高三数学参考答案及评分标准 2026.3
一、选择题(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
(1) D (2)B (3) A (4)D (5) A
(6) B (7) C (8)°C (9)C (10)D
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
(11)60 (12)2 (13) 均可 (14)16 2，1:6
(15)①②③(注:对一个2分，对二个3分，有选错0分)
三、解答题(共 6 小题，共 85 分)
(16)(共14分)
(I) 取 的中点 ,连接 .
因为 为 的中点，
所以 . 1 分
因为 ， ，
所以 。
所以四边形 是平行四边形. 2 分
所以 。 3 分
且 平面 平面 . 4 分
所以: 平面
(II)(i)因为 平面 .
所以 . 5 分
因为底面 是一个等腰梯形， ， ，
所以 6 分
所以 ，即 7 分
又因为 面 . 8 分
所以知 平面 .
(ii) 由 (i) 知 平面 .
所以 .
如图建立空间直角坐标系 .
则 .
所以 . 9 分
设平面 的法向量为 ,则
即 10 分
令 ,则 . 于是 . 11 分
因为 为平面 的法向量,且 , 13 分所以二面角 的余弦值为 . 14 分
(17)(共13分)
(I) 解: 选择② 1 分
将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度,
可得到函数 , 2 分
由函数 为奇函数,则 , 4 分
可得 ,又因为 ,则 . 5 分
解: 选择③ 1 分
由 ,可得 2 分
在区间 上单调递增,且 的最小正周期为 3 分
所以 4 分
所以 5 分
(II) 解: 由 (1) 可知, ,
则 8 分
由 ,可得 9 分
当 时, 取最大值 1,此时 11 分
当 时, 取最小值 ,此时 13 分
(18)(共13分)
解:(I)设这 3 个遗产点都在 D 类为事件 ， 1 分
3 分
(II) , 4 分
或 . 7 分
1 2 3
1 14 9 14 2 7
10 分
(III) 13 分
(19)(共15分)
(I) 根据题可得 2 分
解得 ,椭圆 的标准方程 . 5 分
(II) 将曲线 的方程变为为 ,点 的坐标分别为 .
由 得 . 7 分
因为直线与曲线 交于不同的两点,所以 ,
即 . 8 分
设点 的坐标分别为 ,则 , 9 分
直线 的方程为 ,点 的坐标为 . 10 分因为直线 和直线 的斜率分别为 .
所以 11 分
12 分
. 即 .
所以 三点共线. 13 分
所以设 与 的高相等， 14 分
所以 15 分
(20)(共15分)
解: (I) 当 时, ,
所以 . 1 分
3 分
所以曲线 在点 处切线的方程为 . 4 分
(II) 当 时, 的定义域为 . 5 分
所以 的单调递减区间为 6 分
当 时， 的定义域为 .
所以 时, 时, .
所以 的单调递增区间为 ; 单调递减区间为 . 8 分
(III) 令
要使得不等式 恒成立,即 成立, 9 分
10 分
当 时, 的定义域为 .
所以 在 上单调递减.
因为 ,所以 不合题意. 12 3
当 时, 的定义域为 .
因为 时, 时, .
所以 的单调递增区间为 ; 单调递减区间为 .
所以 . 13 3
设 ,则 ,
因为 时, 时, ,
所以 的单调递减区间为 ; 单调递增区间为 .
所以 . 14 分
当 不等式恒成立. 15 分
(21)(共 15 分)
( I ) 解: 数列 是 、可分数列,不是 可分数列 4 分
( II ) 证明: 当
数列 中删去 和 两项后, 前面是 (有连续的 项,当 时,无这 项); 后面是 (有连续的 项,当 时,无这 项), 和 中间是 (有连续的
项,当 时,无这 项),因为都是连续的 4 的整数倍项,显然都可以平均分成每组都是 4 个数公差为 的等差数列. 8 分
(III) 首先证明: 数列 是 可分数列,
其中 .
证明: (1) 数列 中删去 和 两项后, 前面是 (有连续的 项,当 时,无这 项), 后面是 (有连续的 项,当 时,无这 项),因为都是连续的 4 的整数倍项,显然都可以平均分每组都是 4 个数公差为 的等差数列. 10 分
(2)分析中间的数列 是 可分数列.
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