阅读与思考 勾股定理的证明 课件(共18张PPT) 2025-2026学年人教版数学八年级下册

(共18张PPT)
勾股定理的证明
人教版八年级数学下册
阅读与思考
第二十章勾股定理
直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边的平方，即勾股定理
资料拓展
勾
股
我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.
弦
三千多年来，人们对这个猜想的证明颇感兴趣。不仅因为这个猜想重要、 基本，还因为其贴近人们的实际生活. 以至古往今来有大量的数学工作者与爱好者在研究这个猜想的证定明方法，证明的方法越来越多. 下面我们来了解这个猜想的证明方法.
证明猜想
赵爽
中国
(约182-250年)
毕达哥拉斯
古希腊
(约公元前570-490年)
欧几里得
古希腊
(公元前330-275年)
梅文鼎
中国
(1633-1721年)
商高
中国
（约公元前11世纪)
达芬奇
意大利
(1452-1519年)
刘徽
中国
(约公元250-295年)
詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
美国
(1831-1881年)
…
赵爽的证明思路
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
A
B
C
a
b
c
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).
赵爽弦图
赵爽证明的思路:
c
a
a
b
利用SAS得全等三角形.
c
b
a
c
b
a
c
b
a
边长分别为a和b的两个正方形分割成4个全等的直角三角形（红）和一个正方形（黄）.
以c为边长的正方形.
面积：a ＋b
c
赵爽的证明思路——拼图法
＝
商高——“折矩-积矩”法
商高
中国
（约公元前11世纪)
注:依据《周髀算经》中的商高之语，得此证法.
故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五
既方之
外半其一矩
5
4
3
故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五.既方之，外半其一矩.环而共盘，得成三、四、五.两矩共长二十有五，是谓积矩.
环而共盘
第一次割补
第二次割补
返回
毕达哥拉斯证法
毕达哥拉斯
古希腊
(约公元前570-490年)
c
b
a
b
a
a
a
b
b
c
c
c
b
a
b
b
b
a
a
a
化简，得
返回
欧几里得证法
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
欧几里得
古希腊
(公元前330-275年)
希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了公理化的证明.简略描述如下：
S正方形DGHI＝2S△CDI＝2S△ADG＝S正方形AKJD.
同理，得S正方形CEFG＝S正方形BCJK.
S正方形ABCD＝S正方形CEFG＋S正方形DGHI.
返回
赵爽弦图另一种证法
赵爽
中国
(约182-250年)
A
B
C
c
b
a
提示:以斜边为边的正方形的面积＋4个三角形的面积＝外正方形的面积.
化简，得
返回
刘徽证法
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.
——《九章算术注》刘徽
刘徽
中国
(约公元250-295年)
青朱出入图
a
b
c
返回
达芬奇证法
a
a
b
达芬奇
意大利
(1452-1519年)
c
b
a
c
b
返回
D
A
H
J
G
E
F
梅文鼎证法
梅文鼎
中国
(1633-1721年)
M
I
K
L
B
C
①通过证明△AGD≌△CJD得C，J，K三点共线；
②再证明△AGD≌△CJD≌△BKC≌△BLA；
③接着证明正方形HLBK与正方形≌AGEF全等.
提示:正方形AGEF的面积＋正方形HJDG的面积＝正方形ABCD的面积.
返回
詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德证法(总统证法)
a
b
c
a
b
c
詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
美国
(1831-1881年)
美国第20任总统加菲尓德利用拼接梯形证明勾股定理.
化简，得
返回
1．勾股定理的证明是论证几何的发端。
2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。
3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。
4．勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程
你知道吗？
下 课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine