苏科版八年级数学下册8.2 特殊平行四边形 正方形 小节练习题（含答案）

8.2《特殊平行四边形——正方形》小节练习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．如图，已知正方形的边长为2，对角线与相交于点，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( )
A． B．° C．° D．
4．如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（ ）

A．12 B．8 C．4 D．2
6．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5
9．如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，正方形的边长为8，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ．
12．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ．
13．如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．

14．如图，中，，，将 ABC沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．

16．6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为 ．
17．如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是 ．
18．如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 ABC中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
20．（8分）如图，在正方形中，P是上一动点（不与A，B两点重合），对角线，相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E与点F．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若正方形的边长是a，求四边形的周长（用含a的式子表示）．
21．（10分）如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状．
22．（10分）如图，在 ABC中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交 ABC的外角的角平分线于点，连接．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件．
23．（10分）如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到 FDE，连接．
(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段的长．
(3)在（2）的条件下，直接写出此时的长．
24．（12分）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，．
(1)如图1，求证：①；②；
(2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等），
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：B．
2．B
解：是正方形，
，
在中，，
，
由于正方形的对角线互相垂直且平分，
．
故选：B．
3．B
解：∵为正方形的对角线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
解：在平行四边形中，，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形是正方形．
A．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
B．当时，四边形一定不是正方形，选项错误，不符合题意；
C．当时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形是正方形，选项正确，符合题意；
D．当时，四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．A
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
菱形的周长为，
故选A．
6．D
解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点D是斜边的中点，
∴．
故选：D．
7．C
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在 ADE和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
解：根据题意，得
．
∴．
设，由折叠得
．
如图①所示，
当时，．
由勾股定理，得
，
解得；
如图②所示，
当时．由勾股定理，得
，
解得．
综上所述，DH的长为5或6.5．
故选D．
9．C
解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，
，
在 ADE和中，
，
，
，
，
，
，
取中点，连接，如下图，
则，
根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小，
在中，根据勾股定理得，
，
．
故选：C．
10．B
解：如图，连接，作于M，于N，
∵四边形是正方形，
∴
∴，，
∴C为的中点，．
，，
，
∴，
∴，
∴H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
二、填空题
11．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．有一组邻边相等的矩形是正方形
解：由折叠得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形
13．1
连接，因为正方形，，
所以，
因为E，F分别是的中点，
所以．
故答案为：1．
14．4
解：根据平移的性质得，
∴四边形时平行四边形．
∵，
∴．
∵，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：4．
15．
解：如图所示，过点作于，

∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
16．
解：∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴在和 CBF中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：．
17．
解：四边形是正方形，，
，
，
是的中点，
，
取的中点，则与关于对称，
，
过点作，，交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
又点是上的动线段，
，
当点在一条直线上时，取最小值，
，
,
在中，，，根据勾股定理，
最小值为，
故答案为：．
18．
解：∵点，是正方形的两个顶点，
∴，，
∵以对角线为边作正方形，
∴，
∴，
∵以对角线为边作正方形，
∴，
∴，
同理可得：，，，，，，…，
∴（为自然数），
∵，
∴点的坐标是，即，
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：当时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）可得，且四边形是矩形，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
20．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
即，
∵过点P分别作的垂线，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵四边形是正方形，
，，
∴
正方形的边长是，
∴
∴，
又，，
和是等腰直角三角形，
，，
四边形的周长
．
21．
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线、交于点
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
同理可证四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，对角线、交于点，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
22．
（1）证明：已知平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知四边形是矩形，
∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”得，添加条件为：，或（答案不唯一），
添加条件为：，
∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形；
添加条件：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，且四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
综上所述，添加条件为：：，或（答案不唯一）．
23．
（1）解：四边形是正方形，
，
沿翻折得，
，
，
；
（2）解：过点D作于点G，
∵点在上，点在正方形内，
∴、为锐角，，，
∴当为直角三角形时，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴（）
∴，
设，则，
在中，由勾股定理即，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：过点作，于、，连接，
∵，，，，
，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴．
24．
（1）证明∶①如图，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，即．
∴；
②∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．即．
（2）解：．
理由如下：
∵四边形是菱形，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
由（1）知：，
∵，
∴．
（3）解：．
理由如下：
如图，
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
∴，
∴．
∵，
∴在中，．
∵．
∴．
∴．