苏科版七年级数学下册 9.3 旋转 同步练习（含答案）

9.3《旋转》同步练习
一、单选题
1．如图，通过旋转后得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．17 D．21
6．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为（　　）
A．点O B．点B
C．线段AO1的中点 D．线段AA1的中点
8．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（　　）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
9．如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．如果△ABC和△DEF关于点O对称（A、B、O三点不共线），且点A、B、C的对应点依次为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（　　）
A．OA＝OD B．AB∥DE C．∠BAC＝∠EDF D．AD⊥BE
11．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
二、填空题
12．小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校600m，那么他们两家相距　 ．
13．如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为　 ．
14．如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长
为　　 cm．
15．如图，风车绕其中心旋转一定的角度后可与自身重合，则旋转角的度数至少为　 　 ．
16．如图，△ABC与△BCD都是等边三角形．下列说法中，正确的有 　　 ．
①△BCD可由△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，A与D是一组对应点；
②△BCD可由△ABC绕点C逆时针旋转60°得到，B与D是一组对应点；
③△BCD可由△ABC绕BC中点旋转180°得到，B与C是一组对应点；
④△BCD可由△ABC关于BC作轴对称变换得到，B与C是一组对应点．
17．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号）
18.如图，经过旋转后得到．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______；
（2）点的对应点是点______；
（3）线段的对应线段是______；的对应角是______．
19．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____．
20．有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________．
21.点A、B的对应点分别为D、E，延长BA交边DE于点F．给出下面五个结论：
①∠BCE＝∠ACD；
②AB＝EF；
③∠EFB＝60°；
④BF⊥CE；
⑤AC∥DE．
上述结论中，正确结论的序号有　　 　 ．
22．如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°．三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动，当AB∥EC时，∠DCB的度数为　　 　 ．
三、解答题
23．如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影．
（1）请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形；
（2）请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形．
24．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
（1）如果将三角形ABC平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形DEF；
（2）画出三角形ABC关于点D成中心对称的三角形A1B1C1；
（3）三角形DEF与三角形A1B1C1　　 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
25．在如图所示的正方形网格图中，△ABC的顶点均在格点上，线段A1B1与线段AB关于点O成中心对称．
（1）按要求画图．
①画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称；
②画出△ABC关于直线a对称的△A2B2C2．
（2）△A2B2C2与△A1B1C1是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线．
26．如图1，2025年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了如图的“弦图”作为了会标．
（1）这个图形的对称性是　 ．
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．不是轴对称图形，但是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
（2）如图2，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，并将最后的“弦图”用黑笔描出）
27．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 　　 　 ；
（3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 　　 　 ．
28．如图，△A'B'C'与△ABC关于原点O成中心对称，已知∠BAC＝∠BCA，AB＝2，求B′C′的值．
29．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成中心对称，∠BAD＝92°，B1C1＝3，求∠B1A1D1的度数和BC的长度．
30．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　 　 度，才能使OB落在OC上；
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'时，∠AOA'为多少度？
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转　　 　 度时，AB所在直线与CD所在直线垂直？
31．如图1，直角三角尺的一个顶点O在直线AB上，且∠COD＝60°，OE平分∠BOC．
（1）若∠DOE＝20°，则∠AOC的度数为　　 　 ；
（2）将图1中的直角三角尺绕点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠DOE＝40°，求∠AOC的度数；
（3）将直角三角尺从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，其他条件不变，当点D落在射线OA上时停止旋转，请直接写出在此旋转过程中∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．
32．某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB＜AD，AC是对角线．
（1）如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1，点D的对应点为点D1，连接AC1，如果∠CAD度数为α，则“对角旋转角”的度数＝　　 （用含有α的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，如果∠C1AD＝50°，那么再把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B2，点C的对应点为点C2，点D的对应点为点D2，连接AC2，则∠C2AD＝　　 　 ；
（3）在长方形ABCD中，BC+2AB＝4，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，连接CC2，三角形ACC1面积为312，三角形ACC2面积为130，请求出此时长方形ABCD的面积．
33．综合与探究
问题情境：探究三角尺中的学问．一把含45°角的直角三角板AOB的直角顶点O在直线DE上，过点O作射线OC，使得∠COE＝60°，直角三角板AOB的直角边OB从射线OE开始，绕点O以15°/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为t秒．
问题解决：（1）如图1，当直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，则∠AOC的度数为　　 　 ，∠COD的度数为　　 　 ；
初步感知：（2）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，射线OB恰好平分∠COE，试猜想此时∠AOC与∠AOD之间的数量关系，并说明理由；
操作操究：（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OE中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形.
故选：A
2．解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
4．解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形，
∴是旋转角，
∵，，
∴，
∴旋转角的度数是，
故选：D．
5．解：根据旋转的性质可得：．
故选：B．
6．解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形．
故选：A ．
7．解：如图对称中心是线段AA1的中点，
故选：D．
8．解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
9．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OE＝OF，AE＝CF，BF＝DE，
相等的线段共有5对．
故选：C．
10．解：如图，
A．因为△ABC与△DEF关于点O对称，点A与点D是对称点，所以OA＝OD，故本选项说法正确，不符合题意；
B．因为△ABC与△DEF关于点O对称，所以OA＝OD，OB＝OE，所以四边形ABDE为平行四边形，所以AB∥DE，故本选项说法正确，不符合题意；
C．因为△ABC与△DEF关于点O对称，可知∠BAC与∠EDF是对应角，所以∠BAC＝∠EDF，故本选项说法正确，不符合题意；
D．由△ABC与△DEF关于点O对称，无法证明AD⊥BE，故该说法错误，符合题意．
故选：D．
11．解：根据题意画图如下：
根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5，
第二次变换后，朝上的点数为6，
第三次变换后，朝上的点数为3，
由此可知，连续3次变换是一个循环．
∴，
∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5，
故选：C．
二、填空题
12．解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校600m，
∴小强家距离学校也是600m，
∴600+600＝1200（m），即他们两家相距1200m，
故答案为：1200m．
13．解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
14．解：根据题意可知，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，AC＝3cm，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE＝3cm，
∴CE＝AC+AE＝3+3＝6cm．
故答案为：6．
15．解：∵360°÷4＝90°，
则风车绕其中心旋转一定的角度后可与自身重合，则旋转角的度数至少90°．
故答案为：90°．
16．解：由题意可知：
①△BCD可由△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，A与C是一组对应点，故①说法错误；
②△BCD可由△ABC绕点C逆时针旋转60°得到，B与D是一组对应点，说法正确；
③△BCD可由△ABC绕BC中点旋转180°得到，B与C不是一组对应点，说法正确；
④△BCD可由△ABC关于BC作轴对称变换得到，B与C是一组对应点，故④说法错误．
所以正确的有②③．
故答案为：②③．
17．解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求；
②翻动书页，是旋转，故符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④传送带的移动，是平移，故不符合要求．
故答案为：②③．
18.解：（1）∵经过旋转后得到，
∴旋转中心是点C，旋转角是（或）；
（2）点的对应点是点D；
（3）线段的对应线段是线段；的对应角是．
19.解：四边形与四边形关于点O成中心对称，
，
故答案为：，3．
20.解：根据题意知，，由旋转知，
∴．
故答案为：．
21.解：①∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
①结论正确，符合题意；
②∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝DE，
∵DE＝EF+FD，
∴AB≠EF，
②结论错误，不符合题意；
③记CE与BF的交点为H，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝30°，
在△HBC中，∠B＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠BHC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠EHF＝90°，
在△EHF中，∠EFB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故③结论正确，符合题意；
④由③知，∠EHF＝90°，
∴BF⊥CE，
故④结论正确，符合题意；
⑤∵∠E＝30°，但∠ACE的度数不确定，不一定为30°，
∴AC与BD不一定平行，
故⑤结论错误，不符合题意，
综上所述，正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
22.解：分两种情况讨论：
①如图1，延长EC到点F，AB∥EC，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠BCF＝∠ABC＝30°，∠FCD＝180°﹣∠DCE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCB＝∠BCF+∠FCD＝30°+135°＝165°；
②如图2，AB∥EC，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝∠ABC＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°；
综上所述，∠DCB的度数为15°或165°．
故答案为：15°或165°．
三、解答题
23.解：（1）如图2，如果以直线l为对称轴，则涂阴影的两个三角形如图2所示，答案不唯一；
（2）如图3，如果以点O为对称中心，则涂阴影的两个三角形如图3所示，答案不唯一．
24.解：（1）如图所示，△DEF即为所求．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，
故答案为：是．
25.解：（1）①根据中心对称的性质画图，△A1B1C1即为所求；
②根据轴对称的性质画图，△A2B2C2即为所求；
（2）是，直线b即为所求．
26.解：（1）这个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形；
故选：B；
（2）如图所示：
27.解：（1）连接AD，CF，交于点O，此点即为对称中心；
（2）由题意可得：∠DEF＝∠ABC＝35°；
故答案为：35°；
（3）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC和△DEF的周长相等，
∵△ABC的周长为8+5+7＝20，
∴△DEF的周长为20；
故答案为：20．
28.解：∵∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝2，
∵△A′B′C′与△ABC关于原点O成中心对称，
∴B′C′＝BC＝2．
29.解：由条件可知∠B1A1D1＝∠BAD＝92°，BC＝B1C1＝3．
30.解：（1）∵∠BOA＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
故答案为：75；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOA′＝∠BOB′，
设∠AOA′＝∠BOB′＝α，
则∠COA′＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
∠DOB′＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∵，
∴，
∴α＝112.5°，
∴∠AOA′＝α＝112.5°；
（3）当△A′OB′在点O的上方时，延长A′B′交CD于点E，如图，
∵A′B′⊥CD，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠BOB′＝∠CFE﹣∠A′B′O＝15°；
当△A′OB′在点O的下方时，延长B′A′，CD，相交于点E，如图，
∵A′B′⊥CD，
∴∠DEA′＝90°，
∵∠CDO＝60°，∠OA′B′＝45°，
∴∠EDO＝120°，∠OA′E＝135°，
∴∠DOA′＝360°﹣90°﹣120°﹣135°＝15°，
∴∠BOB′＝∠COD+∠DOA′+∠A′OB′＝195°；
综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直．
故答案为：15或195．
31.解：（1）由题意得，∠COD＝60°，∠DOE＝20°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝80°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝160°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣160°＝20°，
故答案为：20°；
（2）∵∠COD＝60°，∠DOE＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣40°＝140°；
（3）当直角三角尺旋转没超过OB时，如图，
设∠DOE＝y，则∠COE＝∠COD﹣y＝60°﹣y，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（60°﹣y），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（60°﹣y）＝2y+60°，
∴∠AOC＝2∠DOE+60°；
当直角三角尺旋转超过OB时，如图，
设∠DOE＝y，则∠COE＝y﹣∠COD＝y﹣60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝2（y﹣60°），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2（y﹣60°）＝300°﹣2y，
∴∠AOC＝300°﹣2∠DOE，
综上所述，∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系为∠AOC＝2∠DOE+60°或∠AOC＝300°﹣2∠DOE．
32.解：（1）由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC，∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∴对角旋转角为：90°﹣α，
故答案为：90°﹣α；
（2）如图，
∵∠C1AD＝50°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D1AC1，
∵∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC＝90°，
∴∠D1AC1+∠DAC＝90°﹣50°＝40°，
∴2∠DAC＝40°，
∴∠D2AC2+∠DAC＝40°，
∵∠C2AD＝∠C2AD2+∠CAD＝40°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D2AC2，
∴∠C2AD＝40°，
故答案为：40°；
（3）在长方形ABCD中，BC+2AB＝4，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，连接CC2，
∵，，
∵B1C1＝AD＝BC，D2C2＝AB＝CD，BC＝2AB+4，
∴，，，
∴，
∴130BC＝312AB，即BC＝2.4AB，
∵，
∴，
∴AB＝10，BC＝24，
∴S长方形ABCD＝AB BC＝10×24＝240．
33.解：（1）∵∠COE＝60°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝30°+90°＝120°，
故答案为：30°，120°；
（2）∠AOC＝∠AOD，理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝180°﹣∠AOB＝90°，∠BOC+∠AOC＝90°，
∵OB恰好平分∠COE，
∴∠BOC＝∠BOE，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD；
（3）存在；
①如图，当OB是OC、OE构成夹角的平分线，
∴，
∴；
②如图，当OC是OB、OE构成夹角的平分线，
∴∠BOE＝2∠COE＝120°，
∴；
③如图，当OE是OB、OC构成夹角的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∴OB绕O旋转了360°﹣60°＝300°，
∴；
综上，t的值为2或8或20．