苏科版七年级数学下册10.5 用二元一次方程组解决问题 同步练习（含答案）

10.5《用二元一次方程组解决问题》同步练习
一、单选题
1．小明去距市区40km的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了2h，已知汽车的速度为38km/h，步行的速度为4km/h，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为xkm和ykm，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长x米，火车的速度y米/秒，则可得方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
3．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是xkm/h，乙的平均速度是ykm/h，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一个两位数，十位数字比个位数字大1，若将个位数字与十位数字对调后，新得的两位数比原来的两位数小9，设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y，则可列方组是（　　）
A． B．
C． D．
6．一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　）
A．92 B．38 C．47 D．29
7．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻 12：00 13：00 14：00
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（　　）
A．15 B．16 C．25 D．34
8．现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸，两者共计300张．设裁成A3纸x张，A4纸y张，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　 　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　 　 ．
10．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为　 　 ．
11．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文（x，y）对应加密文（x+2y，2x+3y），如明文（1，2）对应加密文（5，8）．若接收到的加密文为（7，12），则发送的明文是　 　 ．
12．如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价
为　 　 元．
发送者 对话内容
弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？
哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元．
弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！
哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元．
13．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 　　 分．
14．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校　 　米．
三、解答题
15．列二元一次方程组解下列问题．
（1）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
（2）A、B两地相距36千米，若甲、乙两人都从A地去B地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
16．甲、乙两地相距200千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车10小时追上慢车；如果两车相向而行，2小时后两车相遇．
（1）两车的速度分别是多少？
（2）若两车同时相向而行，多少时间可以相距100千米？
17．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共150件，其中蜀绣纪念品每件售价150元，熊猫文创纪念品每件售价90元．
（1）如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了15900元，求购买这两种纪念品各是多少件？
（2）设购买蜀绣纪念品m（50≤m≤52）件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？
18．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
（1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
（2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
19．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题．
20．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
21．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
22．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答）
23．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
24．在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽．
25．某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
26．北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2件 1件 350元
第二周 1件 2件 400元
求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？
27．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
28．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
（1）该超市购进两种春联各多少副？
（2）由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
参考答案
一、单选题
1．解：根据题意可列方程组为，
故选：B．
2．解：设火车的速度为每秒x米，车长为y米，由题意得
，
故选：B．
3．解：依题意，得：．
故选：A．
4．解：由题意知：x＝y+3；
依题意，甲单独施工3天完成3x米，两队联合施工7天完成7（x+y）米，
∴，
即，
故选：D．
5．（解：根据题意列方程组为：；
故选：B．
6．解：设这个两位数十位为x，个位为y，
由题意得，，
解得：，
则这个两位数为：29．
故选：D．
7．解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得：，
解得，
∴10x+y＝16，即12：00时看到的两位数是16．
故选：B．
8．解：由题意得：，
故选：A．
二、填空题
9．解：设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，
∵长方形ABCD的周长为16，
∴根据题意列二元一次方程得，x+y+m+n＝8，
则⑤的长和宽为：y﹣m和n﹣x，
若⑤为正方形，
则y﹣m＝n﹣x，
∴x+y＝m+n，
∴x+y＝m+n＝4，
∴2（m+n）＝8，即②的周长为8，
∵2（x+y）＝9.4，即①的周长为9.4，
∴x+y＝4.7，
∵x+y+m+n＝8，
∴m+n＝8﹣4.7＝3.3，
∵⑤的长和宽分别为y﹣m和n﹣x，
∴⑤的长与宽之差为y﹣m﹣（n﹣x）＝x+y﹣（m+n）＝1.4，
故答案为：8，1.4．
10．解：由图②可知“九宫图”中各数字之间的关系：
4+9+2＝15，
3+5+7＝15，
8+1+6＝15，
4+3+8＝15，
9+1+5＝15，
2+7+6＝15，
4+5+6＝15，
2+5+8＝15，
∴“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，
由图③中的第二行与第三列得：
，
解得：，
∴x、y的值分别为﹣2、﹣6．
故答案为：﹣2、﹣6．
11．解：设明文为（x，y），
根据加密规则得二元一次方程组：
，
解得：，
则发送的明文为：（3，2），
故答案为：（3，2）．
12．解：设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．
根据题意，
解得：
则平板电脑的原价为2000元，
故答案为：2000．
13．解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，
根据题意得：，
解得：，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．
14．解：设小华从家里到学校的平路长为x米，坡路长为y米，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y＝300+400＝700（米），
∴小华家离学校700米．故答案为：700．
三、解答题
15．解：（1）设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，
，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为mkm/h，乙的速度为nkm/h，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为4km/h．
16．（1）设快车、慢车的速度分别为xkm/h、ykm/h，（x＞y）则由题意，得，
，
解得，
即快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h，
答：快车、慢车的速度分别为60km/h、40km/h．
（2）设时间为t小时，则由题意，得，
（60+40）t+100＝200或（60+40）t﹣100＝200，
解得t＝1或t＝3，
答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距100km．
17．解：（1）设购买蜀绣纪念品x件，购买熊猫文创纪念品y件．
根据题意，得，
，
解得，
即购买蜀绣纪念品40件，购买熊猫文创纪念品110件，
答：购买蜀绣纪念品40件，购买熊猫文创纪念品110件；
（2）根据题意可知，共有三种购买方案：
（Ⅰ）购买蜀绣纪念品50件，购买熊猫文创纪念品100件，可得，
总费用＝50×150+100×90＝7500+90000＝16500（元），
（Ⅱ）购买蜀绣纪念品51件，购买熊猫文创纪念品99件，可得，
总费用＝51×150+99×90＝16560（元），
（Ⅲ）购买蜀绣纪念品52件，购买熊猫文创纪念品98件，可得，
总费用＝52×150+98×90＝16620（元），
综上所述，购买蜀绣纪念品50件，购买熊猫文创纪念品100件时，总费用最低，为16500元．
18．解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，
依题意列二元一次方程组得：，
解得：，
即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品，
答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品；
（2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下：
设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700
解得
又∵a，b均为正整数，
∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1；
∴或
∴共有2种租车方案，
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元；
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元；
3500＜4000；3400＜4000；
∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用．
19．解：设有x人，物价为y钱，
根据题意列二元一次方程组可得，，
解得．
即有5人，物价为28钱，
答：人数有5人，物价为28钱．
20．解：（1）设B品牌排球的单价是y元，A品牌排球的单价是x元，
根据题意，得，
解得，
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）设购进B品牌排球n个，A品牌排球m个，
根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，
60m+72n＝1200，
∴．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
∴学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个；方案二：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案三：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个．
21．解：（1）设B品牌排球的单价是y元，A品牌排球的单价是x元，
根据题意，得，
解得，
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）设购进B品牌排球n个，A品牌排球m个，
根据题意，得（50+10）m+0.9×80n＝1200，
60m+72n＝1200，
∴．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
∴学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个；方案二：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；方案三：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个．
22．解：设原来的两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，
根据题意得：，
解得：，
答：原来的两位数是41．
23．解：设小明现在的年龄是x岁，小明妈妈现在的年龄为y岁，
依题意，得：，
解得：．
答：小明现在的年龄是15岁，小明妈妈现在的年龄为40岁．
24．解：设小长方形宽为a，长为b，
根据题意得：，
解得：，
答：小长方形的长为8，宽为2．
25．解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元．
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，
根据题意列一元一次不等式组得：
解得：52≤m≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；
方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；
方案三：购买沙包54个，购买篮球36个．
26．解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得，
②×2﹣①得，3y＝450，
解得y＝150，
将y＝150代入②中，得x+2×150＝400，
解得x＝100，
∴原方程组的解为，
即A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元，
答：A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元．
27．解：（1）根据题意可得，
，
解得，，
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
28．解：（1）设购进x副A种春联，y副B种春联，
根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即该超市购进A种春联120副，B种春联180副，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）设购进A种春联m副，B种春联n副，
根据题意列二元一次方程得，20m+17n＝1500，
整理得，．
因为m，n均为正整数，
所以满足题意的m，n值为，
所以根据题意有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．