2026学年北师大版八年级数学下学期月考测试卷（1-3章）（含答案）

2026学年八年级数学下学期月考测试卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（ ）
A．25 B．5 C．5或 D．5或7
5．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　）
A．4.5 B．5 C．6 D．7.5
6．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8
8．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．1或2
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则______度．
12．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________．
13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人．
15．如图，在中，，，平分，点为边上一点，连接．若，则的长是___________．
16．如图，已知为等边三角形，是延长线上一点，为边上一点，连接、作交的延长线于点，连接并延长交于点，若，，，则_____．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
(1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ．
(2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ．
18．（6分）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且．
(1)求证：
(2)若，，求的长度．
19．（8分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号）
(2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围．
20．（8分）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点．
(1)如图1，当经过点时，求证：；
(2)如图2，当，交于点，交于点，求证：．
21．（10分）方程（组）与不等式（组）是代数的重要组成部分，也是解决数学问题的重要工具；请利用所学，解决以下3个问题：
(1)当为何整数时关于，的方程组的解满足且；
(2)已知正整数使得关于，的方程的解是整数，解关于的不等式；
(3)已知，，为3个非负实数，且满足，，记，对于符合题意的任意实数，不等式始终成立，试确定的取值范围．
22．（10分）我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图1中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格：
礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个）
x y
A型（张）
B型（张）
③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）．
23．（12分）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行．
(1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
24．（12分）综合与探究
问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧．
初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由；
拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______．
参考答案
一、选择题
1．B
解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到．
故选：B．
2．D
解：∵，
∴（不等式两边同时减去，不等号方向不变），
又∵，
∴，
∵两个负数相加的结果为负数，
∴，D正确；
取，，，可得，A错误；
取，，，可得，B错误；
∵，，
∴，
又，
∴，C错误；
故选：D．
3．B
解： 是的中线，，，
，
，
是的角平分线，
，
故选：B．
4．C
解：当为斜边时，，
解得，（舍去），
当4为斜边时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值是5或．
故选：C．
5．C
解：延长至点，使，连接．
∵ 是等边三角形，是等腰三角形，，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，，
∴ ，
∴ ，．
∵ ，，
∴ ，
∴ ，即，
∴ ．
又∵ ，，
∴ ，
∴ ．
∴ 的周长．
∵ ，
∴的周长为．
故选：．
6．D
解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
不等式组的解集为．
不等式组有且只有三个整数解，
这三个整数解为2、3、4，
的取值范围是，
的最大值是5．
故选：D．
7．D
解：在等腰中，，，
是底边上的中线，
，
∴在直角中，．
，即，
，
故选：D．
8．C
解：设，，则a、b为整数，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵a、b为整数，
∴，
∵，
∴，则，
又∵，
∴，即，
将代入得，
即
解得，
∴或2，
当时，，，，
∴；
当时，，，，
∴，
∴的值为3或．
故选：C．
9．B
解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴，
∴阴影部分的面积为2,
故选：B．
10．A
解：如图，连接，，
设每个方格的长度为1，
，，，，
，
又，
，
，即为的平分线，
点符合题意，，，不符合题意，
故选：A．
二、填空题
11．
解：如图，连接，延长与交于点F，
∵平分，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
12．
解：当为偶数时，
可得：，
解得：，
是正整数，
；
当为奇数时，
可得：，
解得：，
为正整数，
，
输入的最小正整数是．
故答案为：．
13．20
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
14．2026
解：设八八数之剩二的数为，
由题意，，
∴，即，
∴满足题意的整数为共13个数，
∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数，
这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数，
2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026；
故共有兵2026人；
故答案为：2026.
15．
解：如图，过作于，过作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，即，
故答案为：
16．
解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到，
点A、B、C旋转后的对应点分别为，
点的坐标是；
的形状是等腰直角三角形．
；等腰直角三角形．
（2）解：将经过平移后得到，
点A、B、C平移后的对应点分别为，
则线段和的关系是且．
故答案为：且．
（3）解：∵P为x轴上一点，
∴设，
则，
∵的面积为6，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
当时，
，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
18．（1）证明：点是边的中点，，
垂直平分，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
（2）解：点是边的中点，，
，
在中，，，，
，
设，则，
，
，
解之得：．
即：．
19．（1）解：①方程的解为；
②的解是；
③的解，
不等式的解集为，
∴不等式的“智惠方程”是②，
故答案为：②；
（2）解：解方程 ，得．
解，得．
解，得．
∴不等式组的解集为．
根据“智惠方程”的定义，
∴，得，
∵有3个整数解，即1，2，3，
∴，解得 ，
综上，的取值范围是 ．
20．（1）证明：是旋转得到的图形，
，，
是等边三角形．
．
，
，
．
，
．
（2）证明：过点作，垂足为．
，
，
．
是旋转得到的图形，
，．
．
．
．
是的角平分线，
．
，
是等腰三角形，
．
21．（1）解：解方程组得，
∵且，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴当时，原题意成立；
（2）解：解方程组得，，
∵为正整数，、为整数，
∴，
把代入得，
解得：；
（3）解：解方程组得，，
∵，，为3个非负实数，
∴，解得：，
∴的最小值，的最大值，
∵始终成立，
∴，
∴，
解得：．
22．（1）解：由题意得：，
解得：．
答：图甲中a与b的值分别为：60、40．
（2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张），
由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生A型板材为，，
所以两种裁法共产生B型板材为（张）．
故答案为64，38．
②由已知和图示得：
礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个）
x y
A型（张）
B型（张） x
③由上表可知横式无盖款式共个面，用A型张，则B型需要张．
则做两款盒子共需要A型张，B型张．
则，
两式相加得．
则．
所以最多做20个．
23．（1）解：如图：
（2）解：①；
②；
③；
可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5；
（3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和，
如图：
则蚂蚁需爬行的最短路程是．
24．解：（1），理由如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
当所在直线经过点时，如图：
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．