北师大版八年级数学下册 1.2 等腰三角形 小节练习 （含答案）

1.2《等腰三角形》小节练习
一、单选题
1．如图，在 ABC中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
2．下列能判定 ABC为等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D． ，周长为13
3．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，于点，．．于点，交于点，，过点作于点，交于点，连接，为延长线上一点，且使得，下列结论：①；②；③．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为 ．
7．如图，在 ABC中，，D是的中点，，则的大小为 ．
8．如图，在 ABC中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为 ．
9．如图，在 ABC中，，于，点为线段上的一点，过点作于点E，交于点G，且，过点A作交于点D，若，，则为 ．
10．在 ABC中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接．
（1）的度数为 ；
（2）设，当θ为 时，为等腰三角形．
三、解答题
11．如图，的角平分线交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)作，垂足为，若，求的长．
12．现有a、b、c三个有理数，且，．
(1)求a、b、c的值；
(2)若a、b、c分别是 ABC三条边的长度，
①判断 ABC形状，并说明理由；
②求出此时 ABC的周长．
13．如图，已知在 ABC中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点．
(1)当点在点的左侧运动时，求证：；
(2)若，，则的长为______．
14．如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接．
(1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案）
(2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明．
15．如图，在 ABC中，为锐角，作交的延长线于点．
(1)若，则的度数为_____．
(2)求证：．
(3)已知，求的值．
16．规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
(1)如图1，在 ABC中，，平分，则与 ABC______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
(2)如图2，在 ABC中，平分，，．求证：为 ABC的完美分割线；
(3)在 ABC中，，是 ABC的完美分割线，直接写出的度数．
17．【问题情境】某数学兴趣小组在一组课题学习活动中，对以下问题进行了研究：在 ABC中，是线段上一点，连接，以为直角边作等腰，连接交于点．
【特例感知】（1）如图①，当点与点重合时，通过观察图形可知，与之间的数量关系为___________；
【变式探究】（2）如图②，当点在线段上，且不与点重合．
①请问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
②若，当时，求的长．
18．如图1， ABC中，，点D在上，连接，在的右侧作，且，连接．
(1)求证：；
(2)作点C关于的对称点F，连接交于点M，连接．
①直接写出和的数量关系；
②如图2，点D和点C重合时，求证：；
③如图3，点D不与点C重合，时，请你通过测量猜想出与的数量关系：______，并对猜想加以证明．
参考答案
一、单选题
1．D
解：对于选项B与C：
∵，是的中点，
∴，平分．
∴选项B与C正确．
对于选项A：
∵，
∴．
∴选项A正确．
对于选项D：
根据题目已知条件，无法得到．
∴选项D不正确．
故选：D．
2．B
解：选项A：∵,
∴, 三个角均不相等,
∴不能判定为等腰三角形；
选项B：∵,
∴,
∴,
∴,
∴ ABC为等腰三角形；
选项C：∵,
∴, 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定；
选项D：∵, 周长为13,
∴,
∴，但, 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定．
故选：B．
3．D
解：设，
，
．
．
，
．
．
．
．
故选：D．
4．B
解：∵，是的中线，
∴，，
∴°，
∵是的角平分线，
∴，
故选：B．
5．D
解：，于点，
，，，
，
于点，，交于点，
，
，
在和中，
，
．．，
，，，
，
故①正确；
连接，则，
，，于点，
，，
，
，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
，，
作于点，则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故③正确，
故选：D．
二、填空题
6．25
解：若腰长为5，底边为10，则三边为5，5，10，
∵，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形；
若腰长为10，底边为5，则三边为10，10，5，
∵，，满足三角形三边关系，故能构成三角形，
则周长为．
故答案为：25
7．
解：∵，是的中点，，
∴，，
∴，
故答案为：．
8．1
解：过点A作于点E，如图所示：
，
是直角三角形，
在 ABC中，，，
，
设，则，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，或，不合题意，舍去，
，
即的长为
故答案为：．
9．
解：过点B作交的延长线于点M，
则四边形是矩形，
∴，，
设，
∴，
∵，，
∴点A到的距离等于，
∵，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
故答案为：．
10． 或或
解：（1）∵，，
∴，
根据轴对称的性质可知，，，
∴
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由轴对称的性质可得，，
∵，
∴，，
∴，
①当时，，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
∴，
解得；
③当时，，
∴，
解得；
综上，当或或时，为等腰三角形．
故答案为：或或．
三、解答题
11．（1）解：∵，
，
是的角平分线
，
，
∴，
是等腰三角形．
（2）解：是等腰三角形，，
，
在中， ．
12．（1）解：，
，
，
，
，
或；
（2）解：①等腰三角形，理由如下：
当时，
∴a+b=2+3=5<6，即
此时无法组成三角形，
a、b、c是 ABC三条边的长度时，，
，
是等腰三角形；
②此时 ABC的周长为．
13．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，为的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：当点在点的左侧时，如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当点在点的右侧时，如下图，
∵，，为的平分线，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，的长为1或7；
14．（1）解：当时，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，是等腰直角三角形．
（2）解：和的数量关系：，
证明：如图2，延长线段、交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
15．（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过C作于E，
∵，
∴由（2）得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
16．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴与 ABC互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为 ABC的完美分割线．
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，
①如图1，
当时，则，
∴，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当时，则，
此时，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形时，
①如图3，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；，，
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当，时，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：或或或．
17．解：①根据题意可知，，
∵点与点重合，
在 BCF和中，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）①成立．
理由如下：
如图，过点作于点，
在和中，
在 BCF和中，
，
②∵，
由①可知，，
18．（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①∵点C关于的对称点F，
∴；
②证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点C关于的对称点F，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③，证明如下：
∵，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
过点E作交于点H，连接，如图所示：
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点C关于的对称点F，
∴，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．