第一课时 直线与平面垂直的判定
课标要求 情境导入
1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念（直观想象、数学抽象）. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直（逻辑推理）. 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
知识点一｜直线与平面垂直
问题1 （1）如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在的直线AB与其影子BC所在直线的位置关系如何？
提示：始终保持垂直.
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示：可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【知识梳理】
1.定义：一般地，如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 l⊥α .
2.相关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
【例1】 下列结论中正确的个数为（ D ）
①直线l与平面α垂直是直线与平面相交的一种特殊情况；②如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；③如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
A.0 B.1
C.2 D.3
【规律方法】
1.直线与平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
训练1 〔多选〕下列说法中，正确的是（ ）
A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线
B.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C.若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α
解析：AC 由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，故D错误.
知识点二｜直线与平面垂直的判定定理
问题2 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
提示：不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直.
【知识梳理】
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， m∩n ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
提醒：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.
【例2】 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
变式 在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
由例题知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD 平面SAC，
故BD⊥平面SAC.
【规律方法】
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：
①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
训练2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明：法一 ∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M（图略），则A1O＝，OM＝，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，BD，OM 平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.
法二 连接A1B，A1D，OM（图略）.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B＝A1D，O为BD的中点，∴A1O⊥BD.
令正方体的棱长为2，在Rt△A1AO和Rt△OCM中，tan∠AA1O＝＝，tan∠COM＝＝，故∠AA1O＝∠COM，∴∠AOA1＋∠COM＝90°，∴∠A1OM＝90°，
∴A1O⊥OM，∵BD∩OM＝O，BD 平面MBD，OM 平面MBD，∴A1O⊥平面MBD.
知识点三｜直线与平面所成的角
问题3 当一个直尺一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，直尺和桌面所成的角逐渐增大，观察思考直尺和桌面所成的角怎样定义？
提示：直尺和它在桌面上的射影所成的角.
【知识梳理】
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面 相交 ，但不与这个平面 垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中 直线PA
斜足 斜线和平面的 交点 ，如图中 点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线 ，过 垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为 直线AO
直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 ∠PAO ； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90° ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 0°≤θ≤90°
提醒：（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
【例3】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；
解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成角的大小是45°.
（2）求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.
解：（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝，
又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成角的大小是30°.
变式 例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
解：如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O1，连接A1O1.
设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，
A1B1，B1C 平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O1为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O1为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO1中，A1B＝a，BO1＝a，所以BO1＝A1B.所以∠BA1O1＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
【规律方法】
求直线与平面所成的角的步骤
训练3 如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝.求OA与平面α所成的角的大小.
解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝，∴△BAC为等腰直角三角形.
∵OB＝OC＝1，BC＝，∴△BOC为等腰三角形.
如图，取BC的点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，AH＝OH＝，∴AH⊥OH，又BC∩OH＝H，BC，OH 平面α，
∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与α所成的角.
∴在Rt△AOH中，AH＝OH，∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角的大小为45°.
1.直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为（ ）
A.40° B.50°
C.90° D.150°
解析：B 若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直
B.过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30°
C.一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直
D.一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直
答案：BCD
3.（2025·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 4 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
4.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值.
解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD.
因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.因为AA'⊥底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，所以C'D⊥平面ABB'A'，
所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.因为等边三角形A'B'C'的边长为1，所以C'D＝.在Rt△BB'C'中，BC'＝＝，所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与平面垂直； （2）直线与平面垂直的判定定理； （3）直线与平面所成的角. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 易忽视线面垂直判定定理中平面内两直线“相交”这一条件.
1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能推出该直线与平面垂直为真命题的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：C 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能推出直线与平面垂直.而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件.
2.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：B 设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC（图略），AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC中点为O，由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B.
3.若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
解析：D 如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，PA，PO 平面PAO，所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心.
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（ ）
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
解析：C 因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l β，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，所以l⊥AC.
5.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α
解析：D m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.
6.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
解析：ABC ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正确.
7.〔多选〕如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：ABC 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确.
8.设直线l 平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有 2 条.
解析：如图所示，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件.
9.（2025·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 线段B1C .
解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，CB1，AC 平面B1AC，∴ BD1⊥平面B1AC，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
10.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
解：（1）证明：连接CO，
由AD＝DB知，点D为AO的中点.
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
（2）由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以tan∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
11.如图所示，设四面体A-BCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（ ）
解析：B 因为四面体A-BCD是正四面体，所以点B在面ADC上的射影是△ADC的重心，而重心应在EF的下方.
12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是（ ）
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
解析：ABD A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1 平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1 平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项，＝，因为点P在线段B1C上运动，所以＝A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值，最小值为，故C错误；D项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，即点P运动到B1C中点处时，直线C1P与直线BD1所成∠C1BD1的余弦值最大，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确.
13.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为 .
解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝.
14.已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1，求证：OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线.
证明：如图，过A作AP⊥α于P，连接OP，OP即为直线OA在平面α内的射影，
∠AOP为直线OA与平面α所成的角.
过P作PM⊥OB于M，PN⊥OC于N，连接AM，AN.
易得OB⊥平面AMP，OC⊥平面ANP，
∵∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1，∴AM＝AN＝，OM＝ON＝，
易得△PAN≌△PAM，
∴PN＝PM，易得△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON，
∴OP为∠BOC的平分线.
∴OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线.
15.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱）中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点.
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
解：（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
（2）当点F为BB1的中点时，满足AB1⊥平面C1DF.证明如下：
设F为BB1的中点时，DF与AB1交于点E，
易知A1B1＝，
∵AA1＝，∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴DF⊥AB1，
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
又DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF.
故当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
1 / 3第一课时 直线与平面垂直的判定
1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能推出该直线与平面垂直为真命题的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（ ）
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
5.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α
6.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
7.〔多选〕如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
8.设直线l 平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有 条.
9.（2025·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 .
10.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
11.如图所示，设四面体A-BCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（ ）
12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是（ ）
A.直线BD1⊥平面A1C1D
B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
13.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为 .
14.已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1，求证：OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线.
15.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱）中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点.
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
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