第二课时 平面与平面垂直的性质
1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，则下列命题中是假命题的为（ ）
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
3.若平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线a α，直线b β，且a，b与棱l都不垂直.给出下列四个结论中正确的是（ ）
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
4.已知在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体A-BCD的体积为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝（ ）
A. B.
C.2 D.3
6.〔多选〕（2025·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC
7.〔多选〕如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.C1D与BB1是异面直线 B.BD⊥A1C1
C.平面BDC1⊥平面ACC1A1 D.A1B1∥平面BDC1
8.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则＝ .
9.在四面体A-BCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为 .
10.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
11.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
12.〔多选〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAD⊥平面PDC
C.AB⊥PD D.平面PAD⊥平面PBC
13.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .（填序号）
14.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
15.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
1 / 1第二课时 平面与平面垂直的性质
课标要求 情境导入
掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题（直观想象、逻辑推理）. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.则直线A1A与平面ABCD具有怎样的位置关系？
知识点一｜平面与平面垂直的性质定理
问题 （1）黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
提示：找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面.
（2）如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？
提示：正确.
【知识梳理】
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 交线 ，那么这条直线与另一个平面 垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， a α ， a⊥l a⊥β
图形语言
提醒：（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直，进而再转化为线线垂直.
【例1】 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CF＝1.求证：EF⊥A1C.
证明：过点E作EN⊥AC于点N，连接NF，AC1，如图，
由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面A1ACC1，且平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，EN 平面ABC，所以EN⊥平面A1ACC1，
又因为A1C 平面A1ACC1，所以EN⊥A1C，
因为E为等边△ABC的边BC的中点，
所以CE＝2，在Rt△CNE中，CN＝CE·cos 60°＝2×＝1，则＝＝，所以NF∥AC1，
又在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，因为NF∩EN＝N，NF，EN 平面EFN，
所以A1C⊥平面EFN，所以EF⊥A1C.
【规律方法】
应用面面垂直的性质定理的策略
提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
训练1 （2025·信阳月考）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥平面ABCD；
（2）平面PBE⊥平面ABCD.
证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.
（2）由（1）知PE⊥平面ABCD，又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD.
知识点二｜垂直关系的相互转化
【例2】 〔多选〕若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若m β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β
D.若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ
解析：CD 由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m α，且m⊥β，根据面面垂直的判定定理，α⊥β，所以C正确；对于D显然正确.故选C、D.
【规律方法】
垂直关系的转化
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
训练2 已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（ ）
A.①② B.③
C.②③ D.①②③
解析：B 对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.
提能点｜空间垂直关系的综合应用
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.
求证：（1）PA⊥底面ABCD；
证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.
（2）平面BEF⊥平面PCD.
证明：（2）由题意知四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，又CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
【规律方法】
1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.
2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.
训练3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：（1）CD⊥平面PBD；
证明：（1）因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
（2）平面PBC⊥平面PCD.
（2）由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以BP⊥平面PCD.
又BP 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.
1.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是（ ）
A.l∥β或l β B.l∥m
C.m⊥α D.l⊥m
解析：A 由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B、D不成立.
2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（ ）
A.平行 B.共面
C.垂直 D.不垂直
解析：C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.
3.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ .
解析：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
4.如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA 平面PAC，∠PAC＝90°即PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
因为∠ABC＝90°即AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
课堂小结
1.理清单 （1）平面与平面垂直的性质定理； （2）垂直关系的相互转化； （3）空间垂直关系的综合运用. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 利用面面垂直证明线面垂直时条件罗列不全.
1.已知直线l⊥平面α，则“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A ①当l∥β时，又∵l⊥α，则α⊥β，∴“直线l∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分条件；②当α⊥β时，又∵l⊥α，则l∥β或l β，∴“直线l∥平面β”不是“平面α⊥平面β ”的必要条件.故选A.
2.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，则下列命题中是假命题的为（ ）
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
解析：B 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A是真命题；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B是假命题；根据面面垂直的性质定理知，选项C、D是真命题.
3.若平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线a α，直线b β，且a，b与棱l都不垂直.给出下列四个结论中正确的是（ ）
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
解析：C 若a∥l，b∥l，则a∥b，所以a，b可能平行；若a，b中至少有一条不与l平行，若a⊥b，则a⊥l，这与题设矛盾，故a，b不可能垂直.
4.已知在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是边长为3的等边三角形，BD＝CD，BD⊥CD，则四面体A-BCD的体积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，CD 平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又等边△ABD边长为3，则S△ABD＝AB·AD·sin 60°＝，又BD＝CD＝3，故＝CD·S△ABD＝.故选C.
5.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝（ ）
A. B.
C.2 D.3
解析：C 如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE 平面ABD，所以DE⊥平面ABC.又CE 平面ABC，所以DE⊥CE，由已知可得DE＝，CE＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.
6.〔多选〕（2025·温州月考）如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDF⊥平面ABC
解析：ABC 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D不一定成立.故选A、B、C.
7.〔多选〕如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是（ ）
A.C1D与BB1是异面直线
B.BD⊥A1C1
C.平面BDC1⊥平面ACC1A1
D.A1B1∥平面BDC1
解析：ABC 对于A，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1，CC1 平面ACC1A1，BB1 平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1，又CC1∩C1D＝C1，所以C1D与BB1是异面直线，故A正确；对于B，因为AA1垂直于底面ABC，BD 平面ABC，所以AA1⊥BD，又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，又AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，又A1C1 平面ACC1A1，所以BD⊥A1C1，故B正确；对于C，因为BD⊥平面ACC1A1，BD 平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面ACC1A1，故C正确；对于D，因为AB∩平面BDC1＝B，所以AB与平面BDC1不平行，又AB∥A1B1，所以A1B1与平面BDC1不平行，故D错误.
8.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则＝ 2 .
解析：由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，设AB＝2a，则BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴＝2.
9.在四面体A-BCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为 .
解析：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，因为AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，所以OA⊥平面BCD.又AB⊥AD，所以DB＝，所以OA＝OC＝OB＝.取OB中点N，连接MN，CN，所以MN∥OA，所以MN⊥平面BCD.因为CN 平面BCD，所以MN⊥CN.因为CN2＝ON2＋OC2＝，MN2＝＝，所以CM＝＝.
10.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
证明：（1）因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又平面PAD∩平面ABD＝AD，平面PAD⊥平面ABD，BG 平面ABD，
所以BG⊥平面PAD.
（2）由（1）可知BG⊥AD，又△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.
因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
11.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
解析：B ∵MP＝MC，∴点M在PC的中垂面α上，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线.∵四边形ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD＝CD.取PC的中点N（图略），有DN⊥PC，取AB的中点H，易知CH＝HP，∴HN⊥PC.又∵DN∩HN＝N，∴PC⊥平面DHN，∴平面DHN即为平面α.又∵平面DHN∩平面ABCD＝HD，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是线段HD，即点D与AB中点的连线.
12.〔多选〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAD⊥平面PDC
C.AB⊥PD
D.平面PAD⊥平面PBC
解析：ABC ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，故C中说法正确；又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A中说法正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B中说法正确；假设平面PAD⊥平面PBC，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥AD，与BC∥AD矛盾，故D中说法错误.故选A、B、C.
13.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ①③④ ②（或②③④ ①） .（填序号）
解析：共有四个命题：①②③ ④，①②④ ③，①③④ ②，②③④ ①.对于①②③ ④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α可平行或相交，故命题错误；对于①②④ ③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可平行或相交，故命题错误；对于①③④ ②，因为m⊥n，n⊥β，则m β或m∥β，又因为m⊥α，则α⊥β，故命题正确；对于②③④ ①，因为m⊥α，α⊥β，则m β或m∥β，又因为n⊥β，则m⊥n，故命题正确.
14.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
证明：（1）因为E，F分别是AC，B1C的中点，
所以EF∥AB1.
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
（2）因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB.
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C，
又因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1.
15.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
解：（1）证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN，
∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8，
∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN.
又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM 平面EAB，FN 平面FBC，
∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，
∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN.
又MN 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.
（2）如图，分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD.
由（1）知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，
同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，
易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4，EM∥FN∥GQ∥HP.
易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，∴PM⊥MN，
又PM＝QN＝MN＝PQ＝BD＝4，∴四边形PMNQ是正方形，∴四棱柱PMNQ-HEFG为正四棱柱，
∴V四棱柱PMNQ-HEFG＝（4）2×4＝128.
∵AC⊥BD，BD∥PM，∴AC⊥PM.
∵EM⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴EM⊥AC.
又EM，PM 平面PMEH，且EM∩PM＝M，
∴AC⊥平面PMEH，
则点A到平面PMEH的距离d＝AC＝2，
∴V四棱锥A-PMEH＝S四边形PMEH×d＝×4×4×2＝，
∴该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ-HEFG＋4V四棱锥A-PMEH＝128＋4×＝（cm3）.
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