第一课时 平面与平面垂直的判定
1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角，其中可能为钝角的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列命题中正确的是（ ）
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（ ）
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
5.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角（非等边）三角形 D.钝角三角形
6.〔多选〕如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝，构成三棱锥A'-BCD，则（ ）
A.平面A'BD⊥平面BDC B.平面A'BD⊥平面A'BC
C.平面A'DC⊥平面BDC D.平面A'DC⊥平面A'BC
7.〔多选〕如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是（ ）
A.PA∥平面MOB
B.MO∥平面PAC
C.OC⊥平面PAC
D.平面PAC⊥平面PBC
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为 .
9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
10.（2025·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
11.（2025·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（ ）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
13.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是 .（填序号）
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.
14.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图2所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3.
（1）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
（2）求六面体ABCDEF的体积.
15.如图所示，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）.
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由.
1 / 1第一课时 平面与平面垂直的判定
课标要求 情境导入
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角（数学抽象、数学运算）. 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直（逻辑推理）. 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.其实，这就是我们即将学习的二面角的概念.
知识点一｜二面角
【知识梳理】
1.概念：从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做二面角的面.
2.画法：
3.记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.
4.二面角的平面角
（1）在二面角α-l-β的棱l上 任取 一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 ∠AOB 叫做二面角的平面角，如图；
（2）二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是 直角 的二面角叫做直二面角.
【例1】 如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小.
解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
【规律方法】
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点.
训练1 如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.
解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，即所求二面角的平面角的余弦值为.
知识点二｜平面与平面垂直的定义与判定
问题 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
提示：通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直.
【知识梳理】
1.平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β；
（2）画法：
2.面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号语言：a α，a⊥β α⊥β.
提醒：（1）判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线；（2）过平面α外一点，可作无数个平面与已知平面α垂直.
【例2】 如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一（定义法） 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法） 因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
【规律方法】
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
训练2 （1）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D.若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
（1）解析：B A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确.故选B.
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
（2）证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（ ）
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
解析：C 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（ ）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
解析：D 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1，则二面角C1-AB-C为 .
解析：由图可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角，在Rt△C1BC中，tan∠C1BC＝＝1，又0≤∠C1BC≤π，所以∠C1BC＝.
4.如图1所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC为直角，如图2所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
课堂小结
1.理清单 （1）二面角及二面角的平面角； （2）平面与平面垂直的定义； （3）平面与平面垂直的判定. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 证明两平面垂直时，在一个平面内找与另一平面垂直的直线的过程中必经证明.若直接找不到时，作辅助线后证明满足垂直.
1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角，其中可能为钝角的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：B 异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角.
2.下列命题中正确的是（ ）
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.
3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：C 三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC是正三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
4.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（ ）
A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD
解析：B 因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故选B.
5.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角（非等边）三角形 D.钝角三角形
解析：A 如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形.
6.〔多选〕如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝，构成三棱锥A'-BCD，则（ ）
A.平面A'BD⊥平面BDC B.平面A'BD⊥平面A'BC
C.平面A'DC⊥平面BDC D.平面A'DC⊥平面A'BC
解析：AD 在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC.
7.〔多选〕如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是（ ）
A.PA∥平面MOB B.MO∥平面PAC
C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC
解析：BD 因为PA 平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确.故选B、D.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为 30° .
解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2，所以CO⊥BD，CO＝.因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°.
9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 DM⊥PC（或BM⊥PC） 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
解析：由题意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
10.（2025·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD.
因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
（2）过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面BB1H，所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角.
由等面积法可得BH＝1×2，即BH＝，所以B1H＝＝，故cos∠BHB1＝＝.
11.（2025·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由题意知AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，∴AD⊥B1E，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝.
12.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
解析：ABC 对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BP与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.
13.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是 ①② .（填序号）
①平面PAB⊥平面PBC；
②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD；
④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB与平面PAC，平面PCD均不垂直.
14.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图2所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3.
（1）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
（2）求六面体ABCDEF的体积.
解：（1）证明：取EF的中点N，连接MN，DN，MD（图略）.根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，又M，N分别为AB，EF的中点，∴MN⊥EF，MN＝2.
由题意得DN＝＝，又MD＝3，∴MN2＋DN2＝22＋（）2＝9＝MD2，
∴MN⊥DN，又∵EF∩DN＝N，EF，DN 平面CDEF，∴MN⊥平面CDEF.
又MN 平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.
（2）连接CE（图略），则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C-ABFE＋V三棱锥A-CDE.
由（1）知MN⊥平面CDEF，又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
∴BF⊥CF，又CF⊥EF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面ABFE，∴CF⊥平面ABFE，
∴V四棱锥C-ABFE＝·S正方形ABFE·CF＝，V三棱锥A-CDE＝·S△CDE·AE＝，
∴V六面体ABCDEF＝＋＝.
15.如图所示，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）.
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）EF⊥平面ABC.证明如下：
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴CD⊥平面ABC.
在△ACD中，＝＝λ（0＜λ＜1），
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
（2）存在.∵CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，
∴BE⊥CD，故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△BCD中，BC＝CD＝1，
∴BD＝.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BD·tan 60°＝，则AC＝＝，
当BE⊥AC时，BE＝＝，
AE＝＝，则＝＝，
即λ＝＝时，BE⊥AC，
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD.
∵BE 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.∴存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，此时λ＝.
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