培优课 与球相关的“切”“接”问题
1.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（ ）
A. B.2
C.3 D.
2.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
3.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（ ）
A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π（R＋r）2
4.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的（ ）
A.倍 B.2倍
C.2倍 D.3倍
5.（2025·阳江月考）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A. B.
C.2 D.
7.〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是（ ）
A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为
C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 .
9.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为 .
10.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此正四棱台的体积为 .
11.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥内切球的体积.
12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.
（1）求AB的长度；
（2）求该长方体外接球的表面积.
1 / 1重点解读
1.理解与球有关的几何体的切、接时的图形特征（直观想象）. 2.会利用切、接关系进行相关的转化与计算（数学运算）.
一、几何体的外接球
几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球.求解外接球的关键就是确定球心.
角度1 柱体的外接球
【例1】 （1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ B ）
A. B.
C. D.
解析：（1）法一 如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，∴外接球体积V＝π（）3＝.故选B.
法二 由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝＝2，R＝，∴外接球体积V＝π（）3＝.
（2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 π∶2 .
解析：（2）作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，所以R＝a.从而V半球＝πR3＝π·＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
【规律方法】
柱体外接球问题的求解策略
（1）正方体、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；
（2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解；
（3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径.
训练1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有解得由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，∴外接球的直径2R＝＝2，∴R＝1，∴球的体积V球＝.
角度2 锥体的外接球
【例2】 （1）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为（ C ）
A.π B.π
C. D.π
解析：（1）法一 如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径，在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2，∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形，∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径，故V球＝.
法二 设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1，又AS＝，AO1＝r＝1，∴SO1＝＝＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝.
（2）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（ B ）
A.3π B.4π
C.9π D.12π
解析：（2）如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则由＝可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝，因此这两个圆锥的体积之和为π×CD2·（AD＋BD）＝π×3×4＝4π.
【规律方法】
锥体外接球问题的求解策略
（1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解；
（2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径；
（3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解.
训练2 已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为 3π .
解析：设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π.
角度3 台体的外接球
【例3】 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.100π B.128π C.144π D.192π
解析：A 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
【规律方法】
台体外接球问题的求解策略
（1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径：
（2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解.
训练3 已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，其外接球球心O满足＝3，则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积之比为 .
解析：设圆台O1O2的高为4h，外接球的半径为R，作出轴截面（一半）如图，因为O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，则圆O1，O2的半径分别为2，6，又＝3，所以O1O＝3h，OO2＝h，所以R2＝4＋9h2＝36＋h2，解得h＝2，R＝2（负值已舍去），故所求体积之比为＝.
角度4 可补成规则几何体的外接球
【例4】 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为 16π .
解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π.
【规律方法】
1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.
2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图3所示.
4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.
训练4 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝，则十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是 （11＋2）π .
解析：由题中数据可知A1E2＝1＋（－1）2＝4－2，则AA1＝＝＋1，因为十面体ABCD-EFGH是由长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面绕着其中心旋转45°得到，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球.设十面体ABCD-EFGH外接球的半径为R，（2R）2＝22＋22＋（＋1）2，则R2＝，故十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是4πR2＝（11＋2）π.
二、几何体的内切球
内切球是指与几何体的各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆.
【例5】 （1）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积为（ D ）
A.3 B.4
C.6 D.6
解析：（1）设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×（2）2×2＝6.
（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（ B ）
A. B.
C. D.π
解析：（2）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为.
【规律方法】
常见几何体内切球的求解策略
（1）多面体内切球的球心与半径的确定：
①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等；
②正多面体的内切球和外接球的球心重合；
③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
（2）常见几何体内切球半径与其他几何量的关系：
①正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝；
②正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一（a为该正四面体的棱长）；
③圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝.
训练5 （1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（ C ）
A. B.
C. D.9π
解析：（1）设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝.故选C.
（2）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ D ）
A.1＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：（2）三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆☉O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B，则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由（R－）2＝22＋（）2可得R＝＋.
1.已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为（ ）
A.2 B.
C. D.
解析：A 设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝π，∴R3＝2，∴R＝，∴a＝2.
2.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（ ）
A.6π B.12π
C.8π D.16π
解析：D 由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（）2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π.
3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为 3∶2 .
解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
4.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积.
解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，（4－r）2＋（）2＝r2，解得r＝，所以该球的表面积为4πr2＝4π×（）2＝π.
课堂小结
1.理清单 （1）柱体的外接球； （2）锥体的外接球； （3）台体的外接球； （4）可补成规则几何体的外接球； （5）几何体的内切球. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 圆锥、圆台外接球球心的位置易判断错误.
1.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（ ）
A. B.2
C.3 D.
解析：C 设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，设四棱柱的高为h，则（）2＋（）2＝R2，解得h＝3.
2.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以＝＝.
3.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为（ ）
A.4π（r＋R）2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π（R＋r）2
解析：C 如图， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr.
4.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其底面半径的（ ）
A.倍 B.2倍
C.2倍 D.3倍
解析：B 设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，则R2＝＋r2.因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r.所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2，所以4πR2＝4π＝4×2πr2，所以＋r2＝2r2，所以h2＝4r2，所以＝2.
5.（2025·阳江月考）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝，∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝×＝，∴截面面积S＝πr2＝π×＝.故选C.
6.〔多选〕正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A. B.
C.2 D.
解析：AB 因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P-ABCD的体积为×3×＝.
7.〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是（ ）
A.正方体的外接球的表面积为12π
B.正方体的内切球的体积为
C.正方体的棱长为2
D.线段MN的最大值为2
解析：ABC 设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为a，内切球半径为棱长的一半，为.∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确；正方体的外接球的表面积为4π×（）2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为π×13＝，B正确；线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误.故选A、B、C.
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 πa2 .
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝＋＝a2，故该球的表面积S球＝4πR2＝πa2.
9.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为 .
解析：将该多面体放入正方体中，如图所示.由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝.
10.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此正四棱台的体积为 .
解析：由题知，正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，取正四棱台上底面一顶点为A，正方形中心为O1，下底面一顶点为B，正方形中心为O2，
正四棱台外接球球心为O，连接AO1，OO1，BO2，OA，OB，如图所示，记正四棱台高O1O2＝h，OO1＝m，在Rt△AOO1中，AO＝3，AO1＝1，OO1＝m，所以有m2＋1＝9，解得m＝2，在Rt△BOO2中，BO＝3，BO2＝2，OO2＝m－h＞0，所以有（m－h）2＋4＝9，解得m－h＝，即h＝2－，因为四棱台上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，所以四棱台上、下底面正方形的边长分别为和2，所以S上＝2，S下＝8，h＝2－，故正四棱台体积为V＝h（S上＋S下＋）＝.
11.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥内切球的体积.
解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，∴R＝9，SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12.
∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝4，
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π.
（2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32，∴r×32＝×8×16，解得r＝4.
故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π.
12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.
（1）求AB的长度；
（2）求该长方体外接球的表面积.
解：（1）设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图1的最短路程为AC1＝.
如图2的最短路程为AC1＝＝，
∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，
故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得＝2，
解得x＝2.即AB的长度为2.
（2）设长方体外接球的半径为R，则（2R）2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝，∴S＝4πR2＝6π，
即该长方体外接球的表面积为6π.
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