章末检测（八） 立体几何初步
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是（ ）
A.多面体至少有3个面
B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2.如图，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A. B.1
C.2 D.3
3.我国古代《九章算术》里记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）
A.13.25立方丈 B.26.5立方丈
C.53立方丈 D.106立方丈
4.已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.8π
C. D.16π
5.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A.A'C⊥BD
B.∠BA'C＝90°
C.CA'与平面A'BD所成的角为30°
D.四面体A'-BCD的体积为
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A. B.
C. D.1
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能是（ ）
A.等边三角形 B.矩形
C.等腰梯形 D.正方形
8.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为π，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为（ ）
A.2 B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ）
A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B.如果m α，α∥β，那么m∥β
C.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D.如果m α，则“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.如图，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面），则AD＝ cm.
13.如图所示，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为 .
14.在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD＝CD＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
17.（本小题满分15分）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝1，PC与平面PAD所成角的正切值为.
（1）求BC的长；
（2）已知棱BC上一点G，使得点D到平面PAG的距离为，求平面PAG与平面PBG的夹角的大小.
18.（本小题满分17分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D'AE的位置，使平面D'AE⊥平面ABCE.
（1）求证：AD'⊥BE；
（2）求四棱锥D'-ABCE的体积；
（3）在棱ED'上是否存在一点P，使得D'B∥平面PAC？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空，并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.图1是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线.点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN＝2NO1，已知圆柱OO1底面半径为2，AA1＝4.
（1）线段AA1上是否存在一点E使得OE⊥平面BDN，若存在，求出AE的长；若不存在请说明理由；
（2）图2是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即O1O2＝4，且O2O3＝RS＝2，PS＝7.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值.
1 / 1章末检测（八） 立体几何初步
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法正确的是（ ）
A.多面体至少有3个面
B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析：D 一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，选项A错误；反例如图1，选项B错误；反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体，选项C错误；根据棱柱的定义，选项D正确.
2.如图，Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（ ）
A. B.1 C.2 D.3
解析：C ∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∠A'O'B'＝45°，∴Rt△O'A'B'的直角边长是，∴Rt△O'A'B'的面积是××＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2.
3.我国古代《九章算术》里记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）
A.13.25立方丈 B.26.5立方丈 C.53立方丈 D.106立方丈
解析：B 由题意知，刍童的体积为[（4×2＋3）×3＋（3×2＋4）×2]×3÷6＝26.5（立方丈）.
4.已知圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.8π
C. D.16π
解析：A 如图，设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为l.因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心的距离为2，设P为母线SB的中点，在Rt△SBO中，PO＝2，所以母线长l＝2×2＝4，又母线与底面所成的角为60°，所以cos 60°＝＝＝，解得r＝2，所以圆锥的高h＝＝2，故该圆锥的体积V＝πr2h＝×π×22×2＝.故选A.
5.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A.A'C⊥BD
B.∠BA'C＝90°
C.CA'与平面A'BD所成的角为30°
D.四面体A'-BCD的体积为
解析：B 因为平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A'BD，所以CD⊥BA'.由勾股定理，得A'D⊥BA'.又因为CD∩A'D＝D，所以BA'⊥平面A'CD，所以BA'⊥A'C，所以∠BA'C＝90°，故B正确，其余均不正确.
6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A. B.
C. D.1
解析：D 由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F（如图），连接FC1，A1B，此时AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能是（ ）
A.等边三角形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正方形
解析：D 当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图1；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图2；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图3.
8.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为π，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为（ ）
A.2 B.C. D.
解析：B 设球O的半径为R，则4πR2＝，得R＝.设等边三角形ABC的外接圆半径为r，外心为O'，则由正弦定理得2r＝，所以r＝，连接OO'（图略），则｜OO'｜＝＝，所以三棱锥P-ABC的高的最大值为｜OO'｜＋R＝＋＝2，所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为××22×2＝.故选B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ）
A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B.如果m α，α∥β，那么m∥β
C.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D.如果m α，则“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件
解析：ABC 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；如果m α，α∥β，那么由面面平行的性质可得m∥β，故B正确；如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由线面平行的性质定理可得m∥l，故C正确；在m α条件下，当m⊥β时，根据面面垂直的判定定理知，必有α⊥β，故充分性成立，但当α⊥β时，m不一定垂直于β，故必要性不成立，故D错误.故选A、B、C.
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
解析：CD 依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，所以B错误；球的表面积为4πR2，因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，所以D正确.故选C、D.
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
解析：ABC 如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确；对于B，∵AD⊥平面PMB，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确；对于C，∵BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，设AB＝1，则BM＝，PM＝，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM 平面PAD，PM⊥AD，∴PM⊥平面ABCD，∴PM⊥BM，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确；对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.如图，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面），则AD＝ 36 cm.
解析：设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，则OD＝72－x，由题意得解得则AD应取36 cm.
13.如图所示，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为 .
解析：如图，取B'C的中点E，连接BE，∵四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，∴AB⊥平面BCB'，又BE 平面BCB'，∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E为B'C的中点，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB' 平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝.
14.在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD＝CD＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于 π .
解析：连接O1D，因为AD＝CD＝BC＝AB，且AB∥CD，所以四边形ADCO1和BCDO1为菱形，所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得，平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，交AD于点M，过点D作AO1的垂线DN，交AO1于点N，则O1M＝，所以AO1＝＝2，即AD＝AO1＝2，则O1O2＝DN＝2×sin 60°＝，所以圆台的体积V＝πh（r'2＋r'r＋r2）＝×（4＋2＋1）＝π.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
解：＝×3×4×6＝36（cm3）.
设圆柱底面圆的半径为r，则r＝＝＝1，
＝πr2h＝6π（cm3）.所以V＝－＝（36－6π）cm3.
16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，PO，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，又因为BC 平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l，
所以BC∥l.
17.（本小题满分15分）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝1，PC与平面PAD所成角的正切值为.
（1）求BC的长；
（2）已知棱BC上一点G，使得点D到平面PAG的距离为，求平面PAG与平面PBG的夹角的大小.
解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，
AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以PD是PC在平面PCD内的射影，
所以∠CPD即为直线PC与平面PCD所成的角，
设BC＝m，则AD＝m，由勾股定理得，PD＝，
则在Rt△CDP中，tan∠CPD＝＝，解得m＝2即BC＝2.
（2）因为S△AGD＝×1×2＝1，又因为PA⊥平面ABCD，
所以VP-AGD＝×S△AGD×PA＝×1×1＝，
取BC边上一点G，连接PG，AG，DG，设BG＝t，在Rt△ABG中，AG＝，
所以S△PAG＝×1×＝，
因为点D到平面PAG的距离为，所以VD-PAG＝××＝，所以＝，解得t＝1，所以BG＝1.
取AG的中点H，作HM⊥PG，垂足为M，连接BM.
因为AB＝BG，所以BH⊥AG，又BH⊥PA，所以BH⊥平面PAG，
又PG 平面PAG，所以PG⊥BH，又PG⊥HM，所以PG⊥平面BHM，
又BM 平面BHM，所以PG⊥BM，所以∠BMH即为二面角B-PG-A的平面角.
在Rt△BHM中，BH＝，BM＝.所以sin∠BMH＝＝，
所以∠BMH＝，所以平面PBG与平面PAG的夹角的大小为.
18.（本小题满分17分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D'AE的位置，使平面D'AE⊥平面ABCE.
（1）求证：AD'⊥BE；
（2）求四棱锥D'-ABCE的体积；
（3）在棱ED'上是否存在一点P，使得D'B∥平面PAC？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
解：（1）证明：根据题意可知，在矩形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE.
因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，所以BE⊥平面D'AE.因为AD' 平面D'AE，所以AD'⊥BE.
（2）如图所示，取AE的中点F，连接D'F，则D'F⊥AE，且D'F＝.
因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE＝AE，D'F 平面D'AE，
所以D'F⊥平面ABCE，所以VD'-ABCE＝S四边形ABCE·D'F＝××（1＋2）×1×＝.
（3）存在.连接AC交BE于点Q，假设在D'E上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ.
因为D'B 平面D'BE，平面D'BE∩平面PAC＝PQ，所以D'B∥PQ，
所以在△EBD'中，＝.因为△CEQ∽△ABQ，所以＝＝，所以＝＝，即EP＝ED'，
所以在棱ED'上存在一点P，使得D'B∥平面PAC，且EP＝ED'.
19.（本小题满分17分）2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空，并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.图1是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线.点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN＝2NO1，已知圆柱OO1底面半径为2，AA1＝4.
（1）线段AA1上是否存在一点E使得OE⊥平面BDN，若存在，求出AE的长；若不存在请说明理由；
（2）图2是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即O1O2＝4，且O2O3＝RS＝2，PS＝7.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值.
解：（1）存在.理由如下：依题意，由对称性知，AC∩BD＝O，AC⊥BD，OO1⊥平面ABCD，
由线段A1A为圆柱OO1的母线，得AA1⊥平面ABCD，而BD 平面ABCD，则AA1⊥BD，
又AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACA1，则BD⊥平面ACA1，OE 平面ACA1，
则BD⊥OE，要使OE⊥平面BDN，只需OE⊥ON，则∠AOE＋∠NOC＝90°，
在直角梯形ACO1A1中，OO1∥AA1，OO1＝AA1＝4，OO1⊥AC，
点N在线段CO1上，且CN＝2NO1，则点N到直线AC距离h＝OO1＝，
点N到直线OO1的距离d＝OC＝，
则tan∠NOC＝＝4，
tan∠AOE＝tan（90°－∠NOC）＝＝＝＝，
因此＝tan∠AOE＝，而OA＝2，所以存在符合条件的点E，且AE＝.
（2）以平面PQRS为参照面，令平面PQRS与圆O1交于O1A0，点A0在圆O1上，
A1在圆O1上运动，到达点F，设∠A0OF＝θ，
在圆O1所在平面内过F作FG⊥O1A0于G，由平面PQRS垂直于圆O1所在平面，
则FG⊥平面PQRS，连GP，则∠FPG为直线FP（A1P）与平面PQRS所成角，
由图知，∠FPG的正弦值最大时，0＜θ≤，FG＝2sin θ，O1G＝2cos θ，
在直角梯形PO2O1G中，O1O2＝4，PO2＝PS＋RS＋2＝10，
GP＝，FP＝，
sin∠FPG＝＝＝，设3－cos θ＝t（2＜t≤3），
sin∠FPG＝＝≤＝，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，
直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值为.
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