第一课时 棱柱、棱锥和棱台
课标要求 情境导入
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征（数学抽象）. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系（逻辑推理）. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构（直观想象）. 观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
知识点一｜空间几何体、多面体、旋转体的定义
问题1 观察下列物体，它们有什么特点？
提示：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.
【知识梳理】
1.空间几何体：如果只考虑物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2.多面体、旋转体
类别 多面体 旋转体
定义 一般地，由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的 一条定直线 旋转所形成的曲面叫做 旋转面 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关 概念 面：围成多面体的各个 多边形 ； 棱：两个面的 公共边 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：平面曲线旋转时所绕的定直线
提醒：（1）各面均为全等的正多边形所围成的几何体称为正多面体；（2）把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，那么这样的多面体就叫做凸多面体.
知识点二｜棱柱的结构特征
问题2 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
提示：不一定.“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱.
【知识梳理】
1.棱柱的结构特征
棱柱
定义 一般地，有两个面互相 平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形及 表示 图中的棱柱记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
相关 概念 棱柱的底面：两个互相 平行 的面； 棱柱的侧面：两底面之外的各面； 棱柱的侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 棱柱的顶点：侧面与底面的 公共顶点
结构 特征 （1）底面互相平行且 全等 ； （2）侧面都是平行四边形； （3）侧棱都 相等 ，且互相平行
分类 按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.几个特殊的棱柱
（1）直棱柱： 侧棱垂直于底面 的棱柱叫做直棱柱（如图1、图3）；
（2）斜棱柱： 侧棱不垂直于底面 的棱柱叫做斜棱柱（如图2、图4）；
（3）正棱柱：底面是正多边形的 直棱柱 叫做正棱柱（如图3）；
（4）平行六面体：底面是 平行四边形 的四棱柱也叫做平行六面体（如图4）.
【例1】 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解：（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由.
解：（2）是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
【规律方法】
辨析棱柱的方法
根据棱柱的三个结构特征判定，也可利用等价命题判定：即①有两个面互相平行（底面）；②所有侧棱互相平行.
训练1 （1）设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（ B ）
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
解析：（1）根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}.故选B.
（2）〔多选〕下列关于棱柱的说法正确的有（ CD ）
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
解析：（2）A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
知识点三｜棱锥的结构特征
问题3 图中的多面体具有怎样的特点？
提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
【知识梳理】
棱锥
定义 一般地，有一个面是 多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形 及表示 图中的棱锥记作棱锥S-ABCD
相关 概念 棱锥的底面： 多边形 面； 棱锥的侧面：有公共顶点的各个 三角形 面； 棱锥的侧棱：相邻侧面的 公共边 ； 棱锥的顶点：各侧面的 公共顶点
结构 特征 （1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形； （2）各侧面三角形有一个公共顶点
分类 （1）按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； （2）底面是 正多边形 ，并且顶点与底面中心的连线 垂直于 底面的棱锥叫做正棱锥； （3）侧棱长与底面边长 相等 的正三棱锥叫做正四面体
提醒：注意棱锥的“棱”与“侧棱”的区别.
【例2】 说出图中几何体的名称，
并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱.
解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P-ABCDE；顶点为点P，点A，点B，点C，点D，点E；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.
【规律方法】
棱锥的辨析方法
（1）直接法（扣定义）：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相交于一点；
（2）举反例.
训练2 （1）〔多选〕下列说法中正确的有（ AB ）
A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误.
（2）下列说法中正确的是（ D ）
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
解析：（2）对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长均为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.
知识点四｜棱台的结构特征
问题4 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的下部分具有怎样的特点？
提示：截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形.
【知识梳理】
棱台
定义 用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图形 及 表示 图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'
相关 概念 棱台的上底面：平行于原棱锥底面的 截面 ； 棱台的下底面：原棱锥的 底面 ； 棱台的侧面：其余各面； 棱台的侧棱：相邻侧面的公共边； 棱台的顶点：侧面与上、下底面的公共顶点
结构 特征 （1）上、下底面互相平行，且是相似图形； （2）各侧棱的延长线交于一点； （3）各侧面为梯形
分类 （1）由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……； （2）正棱台：上、下底面是相似的正多边形，且上、下底面中心的连线与底面垂直的棱台，其中上、下底面中心的连线叫做正棱台的高，侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高
提醒：棱柱、棱锥、棱台之间的变化关系为：当棱台的上底面与下底面相同时，棱台就转化为棱柱；当棱台的上底面收缩为一个点时，棱台就转化为棱锥.如图所示.
【例3】 下面四个几何体中为棱台的是（ ）
解析：C A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台.
【规律方法】
判断棱台的一般思路
（1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确；
（2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两个多边形相似）；②看侧棱，延长后相交于一点.
训练3 〔多选〕下列选项中，不正确的是（ ）
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
解析：ABC A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；由棱台的定义知，D正确.
1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（ ）
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
解析：B 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
2.下面多面体中，是棱柱的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：D 根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱.
3.〔多选〕下列说法不正确的是（ ）
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
解析：BCD 由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
4.下列几何体中， ①③④ 是棱柱， ⑥ 是棱锥， ⑤ 是棱台（仅填相应序号）.
课堂小结
1.理清单 （1）空间几何体、多面体、旋转体的定义； （2）棱柱的结构特征； （3）棱锥的结构特征； （4）棱台的结构特征. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 对棱台的结构特征认识不清，易导致判断错误.
1.下面图形中为棱锥的是（ ）
A.①③ B.①③④
C.①②④ D.①②
解析：C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥.故选C.
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析：C 显然A正确；面数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；当棱柱是斜棱柱时，侧面不全是全等的平行四边形，故C错误，D正确.
3.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，则剩余的部分是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.五棱锥
解析：B 剩余部分是以四边形BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥.故选B.
4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（ ）
A.20 B.15
C.12 D.10
解析：D 如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条，为AC1，AD1，同理从顶点B，C，D，E出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）.
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：C 选项A中≠，故A不符合题意；选项B中≠，故B不符合题意；选项C中＝＝，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
6.〔多选〕一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（ ）
A.三棱柱 B.三棱台
C.五棱锥 D.四面体
解析：ABC 对于A，三棱柱的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及一个各侧棱的交点，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意.
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.如果两个底面的对应边平行且成比例，那么这个几何是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
解析：AD 若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而两个底面的对边平行且成比例，只能说明该几何体两底面平行且几何图形相似，它们的侧棱延长后不一定相交于一点，所以这个几何体不一定是棱台，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
8.一个棱台至少有 5 个面，面数最少的棱台有 6 个顶点，有 9 条棱.
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱.
9.如图所示的几何体，下列描述正确的有 ①③④⑤ （填序号）.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图1、图2.
10.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的字母表示出来.
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱柱.
解：（1）如图1所示，三棱锥A1-AB1D1（答案不唯一）.
（2）如图2所示，三棱锥B1-ACD1（答案不唯一）.
（3）如图3所示，三棱柱A1B1D1-ABD（答案不唯一）.
11.已知（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.则（1），（2），（3）对应的几何体分别是（ ）
A.四棱柱，六棱锥，三棱台
B.三棱柱，六棱锥，三棱台
C.长方体，六棱锥，三棱柱
D.正方体，六棱锥，三棱柱
解析：A （1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱；（2）这是一个六棱锥；（3）这是一个三棱台.故选A.
12.〔多选〕正方体截面的形状有可能为（ ）
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
解析：ABD 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面ACD1为正三角形，平行于底面的所有截面都是正方形，分别取AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为正六边形，所以选项A、B、D正确；若截面为五边形，则必有两组对边平行，所以不可能为正五边形，故选项C错误.
13.如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：①点H与点C重合；②点D、点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合.其中正确的是 ②④ .（填序号）
解析：依据正方体表面展开图的特征，知②④是正确的.
14.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 ，所以△AEF周长的最小值为4 .
15.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？
解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
（2）不对.水的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.
1 / 1第一课时 棱柱、棱锥和棱台
1.下面图形中为棱锥的是（ ）
A.①③ B.①③④
C.①②④ D.①②
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
3.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，则剩余的部分是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.五棱锥
4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（ ）
A.20 B.15
C.12 D.10
5.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
6.〔多选〕一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（ ）
A.三棱柱 B.三棱台
C.五棱锥 D.四面体
7.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.如果两个底面的对应边平行且成比例，那么这个几何是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
8.一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.
9.如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
10.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的字母表示出来.
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱柱.
11.已知（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.则（1），（2），（3）对应的几何体分别是（ ）
A.四棱柱，六棱锥，三棱台 B.三棱柱，六棱锥，三棱台
C.长方体，六棱锥，三棱柱 D.正方体，六棱锥，三棱柱
12.〔多选〕正方体截面的形状有可能为（ ）
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
13.如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，有下列结论：①点H与点C重合；②点D、点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合.其中正确的是 .（填序号）
14.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.
15.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？
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