8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标要求 情境导入
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式（数学抽象）. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积（直观想象、数学运算）. 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.如果已知该钻石的棱长，我们就可以由公式求出该八面体的表面积和体积.
知识点一｜棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
问题1 （1）我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
提示：长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
（2）棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等.
【知识梳理】
多面体的表面积就是围成多面体 各个面 的面积的 和 .棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
提醒：求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.
【例1】 已知正四棱台（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.
解：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，且O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝×6＝3.
过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－OH＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
所以E1E＝3，
所以S侧＝4××（B1C1＋BC）×E1E＝2×（6＋12）×3＝108.
【规律方法】
1.求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱；并注意两个直角梯形的应用：
（1）高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；
（2）高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
2.正棱柱、正棱锥、正棱台侧面面积之间的关系
S正棱柱侧＝ChS正棱台侧＝（C＋C'）h'S正棱锥侧＝Ch'（C，C'分别为下、上底面周长，h为高，h'为斜高）.
训练1 （2025·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.
解：如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，∴4··BC·PE＝2BC2，
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，
∴9＋（）2＝PE2，∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝（2）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
知识点二｜棱柱、棱锥、棱台的体积
问题2 （1）正方体、长方体的体积公式是什么？由此可推出一般棱柱的体积公式是什么？
提示：V正方体＝a3（a是正方体的棱长），V长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）.棱柱的体积公式V棱柱＝Sh（其中S为底面积，h为高）.
（2）如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
提示：分成的三个棱锥的体积相等.
由此可得到三棱锥的体积公式V棱锥＝Sh（其中S为三棱锥的底面面积，h为它的高）.
（3）棱台的体积公式又是怎样得到的？
提示：因为棱台可以看成棱锥截去一小棱锥得到，所以棱台的体积可以通过计算两棱锥的体积之差得到V棱台＝h（S'＋＋S）（其中S'，S为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）.
【知识梳理】
1.棱柱的体积等于棱柱的底面积乘高.
2.棱锥的体积等于等底等高棱柱体积的.
3.棱台的体积等于棱台的上底面积，下底面积及两底面积的几何平均数之和乘以棱台高的.
【例2】 已知正六棱锥的底面面积为6，侧棱长为，求这个棱锥的体积.
解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝，SO为正六棱锥的高，
设底面边长为a，则正六边形的面积为6×a2＝6，解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO＝＝1，∴这个棱锥的体积V＝×6×1＝2.
【规律方法】
求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法
（1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可.常用技法为等积转化；
（2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差.常用技法有补体法和分割法.
提醒：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系：
训练2 已知四棱台上、下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积.
解：如图所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1.
由已知有＝，
再由PO－PO1＝OO1＝h，因此可得
PO1＝h，PO＝h.
从而可知棱台的体积为
V＝×S2×PO－×S1×PO1
＝（S2－S1）
＝（－）
＝（－）（S2＋＋S1）
＝（S2＋＋S1）.
知识点三｜简单组合体的表面积与体积
【例3】 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝·A1·PO1＝×62×2＝24（m3），
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3），
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3），故仓库的容积是312 m3.
【规律方法】
求组合体的表面积时，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
解：由题意可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为×a×a×sin 60°＝a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2；
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－＝a3－××a×a×a＝a3.
1.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为（ ）
A.6 B.
C.3 D.2
解析：B 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，令xy＝，yz＝，xz＝，∴（xyz）2＝6，∴V＝xyz＝.
2.（2025·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积的比值为（ ）
A. B.2
C. D.3
解析：B 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，故二者的体积的比值为 ＝＝＝2.
3.正四棱台的上、下底面的边长分别为3，6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高为 2 ，斜高为 .
解析：如图所示，设正四棱台ABCD-A'B'C'D'的高为h，斜高为h'，O'，O分别为上、下底面的中心，点E，F分别是B'C'，BC的中点，连接O'O，O'E，OF，EF.过点E作EG⊥OF于点G，则EG＝h，EF＝h'.由题意得S侧＝S上底＋S下底＝32＋62＝45，∴S侧＝4××（3＋6）h'＝45，解得h'＝.在直角梯形O'OFE中，O'E＝，OF＝3，EF＝，∴FG＝，∴h＝EG＝＝＝2，即棱台的高为2.
4.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？（钢筋体积忽略不计，结果精确到0.01立方米）
解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
课堂小结
1.理清单 （1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积； （2）棱柱、棱锥、棱台的体积； （3）简单组合体的表面积与体积. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 平面图形与立体图形的切换不清楚.
1.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）
A. B.1
C. D.
解析：B 依题意，正三棱台的高h＝＝1.
2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（ ）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
解析：D 设直棱柱的高为h，则＝4，解得h＝2，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16.
3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（ ）
A. B.
C. D.
解析：C ∵V三棱锥C-A'B'C'＝V三棱柱ABC-A'B'C'＝，∴V四棱锥C-AA'B'B＝1－＝.
4.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为（ ）
A.80 B.90
C.100 D.110
解析：D 设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110.
5.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为（ ）
A. B.4
C. D.2
解析：A 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝.取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，∴S△ADG＝S△BCH＝××2＝，∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱锥E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝××1×2＋×2＝.
6.〔多选〕用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分几何体的说法正确的是（ ）
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
解析：BD 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
7.〔多选〕已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ）
A.∠A1AB＝ B.高为
C.体积为 D.表面积为12
解析：BC 过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足分别为M，N，如图所示，则AM＝AC＝，AN＝AB＝1，可得A1M＝＝，A1N＝＝.对于A，在Rt△AA1N中，可得sin∠A1AN＝＝，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝，故A错误；对于B，正四棱台的高即为A1M＝，故B正确；对于C，正四棱台的体积V＝×（4×4＋2×2＋）×＝，故C正确；对于D，四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4×＝20＋12，故D错误.
8.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为 a3 .
解析：＝，∵＝EA1·A1D1＝a2，三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，∴＝×a2·a＝a3，∴＝a3.
9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是 72 .
解析：如图，正六边形的每个内角为120°，按虚线处折成高为的正六棱柱，即BF＝，所以BE＝＝1，可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，则正六棱柱的底面积为S＝6××4×4×＝24，所以正六棱柱的体积V＝24×＝72.
10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1和较小的棱锥P-A1B1C1D1E1F1.
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥P-ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
解：（1）由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
（2）如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h'＝＝4（cm），
∴S棱台侧＝6××4＝144（cm2），
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝（144＋120）cm2.
11.如图1所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（ ）
A.（1＋2）a2 B.（2＋）a2
C.（3＋2）a2 D.（4＋2）a2
解析：D 因为正方体的面对角线长为a，则其棱长为a，图2所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形，其面积均为a×a＝a2，前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2××a×a＝a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，则此几何体的表面积为2（a2＋a2＋a2）＝（4＋2）a2.
12.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.如图1为俯视图，图2为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，求该正四棱台的体积（ ）
A.24 B.28
C.32 D.36
解析：B 如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，得四棱锥的体积为a2h＝1，即a2h＝3，三棱柱的体积为ahb＝3，即abh＝6，因此b＝2a，于是长方体的体积V＝b2h＝4a2h＝12，所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28.
13.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 282＋54 mg.
解析：由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6＝96（cm2），底面积为6×6＝36（cm2），正方形EFGH的面积为3×3＝9（cm2）.梯形ABFE的高为＝（cm），故正四棱台的侧面积为4××（3＋6）×＝27（cm2），故该模型的表面积为96＋36＋9＋27＝（141＋27）cm2，故所需金属膜的质量为2×（141＋27）＝（282＋54）mg.
14.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
证明：如图，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，AA'＝h，
故a＋c＞b，a＋b＞c，b＋c＞a，
直三棱柱三个侧面面积分别为S1＝ah，S2＝bh，S3＝ch，∴ah＋bh＝（a＋b）h＞ch，
ah＋ch＝（a＋c）h＞bh，
bh＋ch＝（b＋c）h＞ah，
即直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
15.某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少.
解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V＝aS，
当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则＝aS＝V，
∵＝＝，且＋＝V，
∴＝V，
∴＋＝V＋V＝V，
∴罐内液体车油最多还能剩V L.
1 / 18.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）
A. B.1
C. D.
2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（ ）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为（ ）
A.80 B.90
C.100 D.110
5.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为（ ）
A. B.4
C. D.2
6.〔多选〕用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分几何体的说法正确的是（ ）
A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8
C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26
7.〔多选〕已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ）
A.∠A1AB＝ B.高为
C.体积为 D.表面积为12
8.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为 .
9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是 .
10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1和较小的棱锥P-A1B1C1D1E1F1.
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥P-ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
11.如图1所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（ ）
A.（1＋2）a2 B.（2＋）a2
C.（3＋2）a2 D.（4＋2）a2
12.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.如图1为俯视图，图2为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，求该正四棱台的体积（ ）
A.24 B.28
C.32 D.36
13.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 mg.
14.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
15.某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少.
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