8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课标要求 情境导入
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式（数学抽象）. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积（直观想象、数学运算）. 在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体. 这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体.
知识点一｜圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1 （1）如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
提示：圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高（母线）；则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr（r＋l），其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
（2）如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
提示：圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr（r＋l），其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
（3）如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
提示：圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝πR（x＋l）－πrx＝π[（R－r）x＋Rl]＝π（r＋R）l，所以S圆台侧＝π（r＋R）l，S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）.
【知识梳理】
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝ 2πr2 ； 侧面积：S侧＝ 2πrl ； 表面积：S＝ 2πr（r＋l）
圆锥 底面积：S底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ πrl ； 表面积：S＝ πr（r＋l）
圆台 上底面面积：S上底＝ πr'2 ； 下底面面积：S下底＝ πr2 ； 侧面积：S侧＝ π（r'l＋rl） ； 表面积：S＝ π（r'2＋r2＋r'l＋rl）
提醒：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面缩为一个点时，得到圆锥.由此可得：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl.
【例1】 （1）〔多选〕如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（ BC ）
A.圆柱的侧面积为2π
B.圆柱的侧面积为6π
C.圆柱的表面积为6π＋12π
D.圆柱的表面积为2π＋6π
解析：（1）因为AB＝4，AC＝2，所以BC＝＝2，即r＝，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π××3＝6π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝6π＋12π.故选B、C.
（2）若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为 5 ，表面积为 80π .
解析：（2）设圆台的母线长为l，则由题意得π（2＋6）l＝π×22＋π×62，所以8πl＝40π，所以l＝5，所以该圆台的母线长为5.圆台的表面积为S＝π×（2＋6）×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
【规律方法】
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图；
（2）依次求出各个平面图形的面积；
（3）将各平面图形的面积相加.
训练1 （1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ B ）
A.40π B.36π
C.26π D.20π
（2）如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为（ B ）
A.42π cm2 B.84π cm2
C.36π cm2 D.64π cm2
解析：（1）圆锥的母线长l＝＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.
（2）由题知，圆柱的上底面面积为4π cm2，圆柱的侧面积为4π×5＝20π（cm2），圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π（cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π（cm2）.
知识点二｜圆柱、圆锥、圆台的体积
问题2 我们上一节学习了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，结合以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：V圆台＝πh（r'2＋r'r＋r2）（r'，r分别是上、下底面半径，h是高）.
【知识梳理】
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝ πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝（S'＋＋S）h＝πh（r'2＋r'r＋r2） S'，S分别为上、下底面面积，h为高，r'，r分别是上、下底面半径
提醒：体积公式间的关系：
V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh.
【例2】 （1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（ A ）
A. B. C.64π D.128π
解析：（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝ ，即l＝r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，∴r＝4，l＝4，高h＝ ＝4，∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π.故选A.
（2）已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为 π .
解析：（2）作出圆台的轴截面，如图，设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π×（22＋2×3＋32）×2＝π.
【规律方法】
圆柱、圆锥、圆台体积的求法
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高一般是由母线、高、半径（半径的差）组成的直角三角形的边长之间的关系列出方程并求解.
训练2 （1）〔多选〕圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ AB ）
A. cm3 B. cm3
C.288π cm3 D.192π cm3
解析：（1）当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝（cm3）；当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝（cm3）.
（2）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ D ）
A.2π B.π
C.π D.π
解析：（2）设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由2π×1＝πl得l＝2，所以h＝＝，所以V＝πr2h＝π×12×＝π.故选D.
知识点三｜球的表面积和体积
问题3 设球的半径为R，你能类比圆的面积公式的推导方法，推导出球的体积公式吗？
提示：分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.
【知识梳理】
1.球的表面积公式S＝ 4πR2 （R为球的半径）.
2.球的体积公式V＝ πR3 .
【例3】 （1）一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是（ B ）
A.12π cm3 B.36π cm3
C.64π cm3 D.108π cm3
解析：（1）设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半径R＝OA＝＝3 cm，∴球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B.
（2）若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为 π .
解析：（2）设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得即整理，得解得故两球的体积之差的绝对值为π×43－π×23＝π（43－23）＝π.
【规律方法】
1.球的表面积和体积的求解关键
因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.
2.球的截面问题的解题技巧
解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
训练3 （1）（2025·湖州月考）长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为（ B ）
A.8π B.12π
C.24π D.48π
解析：（1）该长方体的体对角线长为＝2，设外接球的半径为R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π.
（2）体积相等的球、正四面体和正方体，它们的表面积的大小关系为（ B ）
A.S球＜S正四面体＜S正方体 B.S球＜S正方体＜S正四面体
C.S正四面体＜S球＜S正方体 D.S正方体＜S球＜S正四面体
解析：（2）设球、正四面体和正方体的体积都为V，若球的半径为R，则V＝πR3，可得其表面积S1＝4πR2＝，若正四面体的棱长为m，则V＝·m2·m＝m3，可得m＝，可得其表面积S2＝4×m2＝m2＝，若正方体的棱长为a，可得V＝a3，所以正方体的表面积S3＝6a2＝6＝，因为36π＜216＜216，所以S1＜S3＜S2，即S球＜S正方体＜S正四面体.
祖暅原理与柱体、锥体的体积
通过教材P121页“探究与发现”中祖暅原理与柱体、锥体的体积，我们知道了祖暅原理，如何理解该原理呢？
【问题探究】
1.结合具体图形如何了解祖暅原理的内容？
提示：如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
2.请结合实例解释祖暅原理.
提示：例如，取一摞纸放在桌面上组成一个几何体（图2），使它倾斜一个角度，这时几何体的形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.
【迁移应用】
1.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是如果两等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A.2 B.1
C. D.
解析：A 由题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图是半圆，则母线长为2r，高为r，因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，所以棱锥与圆锥的体积相等，所以V＝×（πr2）×r＝3π，解得r＝，所以母线长为2.故选A.
2.一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与半径为R的半球的体积相等，则该球的体积V球＝πR3.利用祖暅原理证明此命题.
证明：如图：
可根据函数证明这两个几何体的任意等高处的截面面积相等.
设图2的体积为V，图1的体积为πR2·R－πR3＝πR3，由祖暅原理可得V＝πR3，所以V球＝2V＝πR3.
1.已知球的体积是，则此球的表面积是（ ）
A.12π B.16π
C. D.
解析：B 设球的半径为R，所以πR3＝π，所以R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
2.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 设圆柱的底面圆的半径为r，则2πr＝2，解得r＝，∴S侧＝4，S底＝2πr2＝，∴＝＝.
3.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 224π .
解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2，∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝π（r2＋rR＋R2）h＝224π.
4.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积.
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝l，得l＝6r.
又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝＝5，
所以圆锥的体积V＝πr2h＝π××5＝π.
课堂小结
1.理清单 （1）圆柱、圆锥、圆台的表面积； （2）圆柱、圆锥、圆台的体积； （3）球的表面积和体积. 2.应体会 方程思想. 3.避易错 圆锥、圆台的表面积、圆台的体积公式易记错记混.
1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为（ ）
A.6π B.8π
C.9π D.10π
解析：A 因为r＝1，l＝2，圆柱的表面积为2πr2＋2πrl＝6π，所以圆柱的表面积为6π.故选A.
2.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A. B.
C.2π D.4π
解析：B 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、体积相等的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.
3.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 依题意πr3＝πR2·r，∴＝＝.
4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ）
A.5π B.6π C.20π D.10π
解析：D 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.6寸
解析：B 由已知得，天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，则盆口面积为196π，盆底面积为36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，则积水水面的半径为＝10（寸），∴积水水面面积为100π，∴积水的体积V＝×（36π＋＋100π）×9＝588π，∴平地降雨量为＝3（寸）.
6.〔多选〕如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列说法正确的是（ ）
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
解析：AD 以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为×π×32×4＝12π，所以A正确，B错误；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，所以C错误，D正确.故选A、D.
7.〔多选〕圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（ ）
A.母线长为20 B.表面积为1 100π
C.高为10 D.体积为
解析：ABD 如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×（102＋10×20＋202）＝，表面积S＝π（10＋20）×20＋100π＋400π＝1 100π，故A、B、D正确，C错误.
8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为 2∶1 ，其体积之比为 2∶1 .
解析：S圆柱＝2·π＋2π··a＝a2，S圆锥＝π＋π··a＝a2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.V圆柱＝π·a＝a3，V圆锥＝·π·a＝a3，∴V圆柱∶V圆锥＝a3∶a3＝2∶1.
9.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为 24－π .
解析：由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3××π×22＋×4×π×22＝24－π.
10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π；
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
11.〔多选〕沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是（ ）
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒（π≈3.14）
解析：AC 根据圆锥的截面图可知，细沙在上部容器时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝（cm），所以沙漏中细沙的体积V＝×πr2×＝××＝（cm3），A正确；沙漏的体积V＝2××π×42×8＝π（cm3），B错误；设细沙流入下部容器后的高度为h1，根据细沙体积不变可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，C正确；因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为≈1 985（秒），D错误.故选A、C.
12.已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为 .
解析：设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，所以圆锥的高为r，母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·r＝4πr2，圆锥的表面积为πr·r＋πr2＝（＋1）πr2，所以圆锥和圆柱的表面积之比为＝.
13.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为 2 .
解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为，则截得的棱柱的体积V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝时，Vmax＝2，即截得棱柱体积的最大值为2.
14.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）选用哪个方案建造仓库更经济些？
解：（1）方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）.
方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）.
（2）方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，则圆锥的母线长l1＝＝4（m），
则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2.
方案二：仓库的高变成8 m，则圆锥的母线长l2＝＝10（m），
则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）.
（3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些.
15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）；
（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积.
解：（1）如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上的一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，
即R2＝（R－h）2＋r2，整理化简得R＝，所以球冠所在球的半径R＝.
（2）因为球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由（1）知R＝，
即65 000＝＋2502，解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，
所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
1 / 18.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为（ ）
A.6π B.8π
C.9π D.10π
2.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A. B.
C.2π D.4π
3.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ）
A.5π B.6π
C.20π D.10π
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A.2寸 B.3寸
C.4寸 D.6寸
6.〔多选〕如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列说法正确的是（ ）
A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
7.〔多选〕圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的（ ）
A.母线长为20 B.表面积为1 100π
C.高为10 D.体积为
8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为 ，其体积之比为 .
9.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为 .
10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
11.〔多选〕沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则以下结论正确的是（ ）
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部容器后形成的锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒（π≈3.14）
12.已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为 .
13.将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为 .
14.某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12 m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）选用哪个方案建造仓库更经济些？
15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h，r表示）；
（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积.
1 / 1
