8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.与同一平面平行的两条直线（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD）所在的平面内，与棱AA1平行的平面共有（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
3.已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a∥b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
5.已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面个数为（ ）
A.0 B.0或1
C.1或2 D.无数个
6.〔多选〕下列结论正确的是（ ）
A.若直线a在平面α外，则a∥α
B.若a α，b α，则a，b无公共点
C.若a α，则a∥α或a与α相交
D.若a∩α＝A，则a α
7.〔多选〕以下四个命题中正确的有（ ）
A.两个相交平面把空间分成四部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若P∈l，且l α，则P∈α
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
8.在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有 对.
9.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中CD与GH ，AB与GH .
10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线.
11.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.l与l1，l2都相交
B.l与l1，l2都不相交
C.l至少与l1，l2中的一条相交
D.l至多与l1，l2中的一条相交
12.〔多选〕（2025·开封月考）三个平面将空间分成n个部分，则n可能是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
13.空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 条.
14.如图1、图2所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是D1C1，B1B的中点.试分别画出图1、图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线.
15.如图，已知平面α和β相交于直线l，A∈α，B∈α，C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？证明你的结论.
1 / 18.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 情境导入
1.了解空间中两直线间的位置关系（直观想象）. 2.理解空间中直线与平面的位置关系（直观想象）. 3.掌握空间中平面与平面的位置关系（直观想象）. 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行.
知识点一｜直线与直线的位置关系
问题1 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB与棱B1C1所在直线有怎样的位置关系？
提示：既不平行也不相交.
【知识梳理】
1.异面直线
（1）定义：不同在 任何一个 平面内的两条直线；
（2）异面直线的画法.
2.空间两条直线的三种位置关系
提醒：异面直线的定义表明两条直线不同在任何一个平面内，不能理解为分别在两个平面内的两条直线就是异面直线.
【例1】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 平行 ；
解析：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 异面 ；
解析：（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 相交 ；
解析：（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1.
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 异面 .
解析：（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
【规律方法】
1.判断空间两条直线位置关系的诀窍
（1）建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线；
（2）重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
2.判断异面直线的方法
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
训练1 （1）已知两条直线均和两条异面直线相交，那么这两条直线的位置关系为（ C ）
A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行
解析：（1）分两类进行讨论.①若两条直线与异面直线的交点有4个，如图1，直线AB与异面直线a，b分别交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面；②若两条直线与异面直线的交点有3个，如图2，两条直线相交.
（2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ D ）
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
解析：（2）可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'，故a和c可以平行、相交或异面.
知识点二｜直线与平面的位置关系
问题2 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？
提示：相交、平行、在平面内.
【知识梳理】
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 有且只有一个 公共点 没有 公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
【例2】 （1）若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ B ）
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
解析：（1）直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.
（2）〔多选〕若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中是假命题的是（ ABC ）
A.若a∥b，b α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
解析：（2）可借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，故A是假命题；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B是假命题；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C是假命题；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D是真命题.
【规律方法】
直线与平面位置关系的判断
（1）在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断；
（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
训练2 （1）若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（ D ）
A.b∥α
B.b与α相交
C.b α
D.以上三种情况都有可能
解析：（1）若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥α，或b α，或b与α相交.
（2）在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，
①与AB所在直线平行的平面有 2 个；
②与A'B所在直线平行的平面有 1 个.
解析：（2）①与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和平面DCC'D'；②与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D'.
知识点三｜平面与平面的位置关系
问题3 拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
提示：有两种.平行、相交.
【知识梳理】
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有 公共点 有 无数 个公共点（在一条直线上）
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
【例3】 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（ ）
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
解析：C 如图所示，a α，b β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行.
变式 本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交.
【规律方法】
1.平面与平面位置关系的判断方法
（1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.
2.常见的平面与平面平行的模型
（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
（2）长方体的六个面中，三组相对面平行.
训练3 （1）已知α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是（ ）
A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
（1）解析：D A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.
（2）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
（2）解：因为几何体ABC-A1B1C1为三棱柱，
所以平面ABC与平面A1B1C1平行.
因为平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
所以平面ABC与平面ABB1A1相交.
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
1.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：C 若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α平行，则直线l与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的充要条件.故选C.
2.〔多选〕两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是（ ）
A.a与β内的所有直线平行
B.a与β内无数条直线平行
C.a与β至少有一个公共点
D.a与β没有公共点
解析：BD a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确.
3.〔多选〕如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（ ）
解析：BD A中，GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；C中，连接GM（图略），则GM∥HN，因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面.所以B、D中直线GH与MN是异面直线.
4.已知α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点.若m α，n α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是 相交或异面 .
解析：若m α，A∈m，A∈α，则直线m与平面α相交，A为交点.由n α可知，若A∈n，则m，n相交（垂直是相交的一种特殊情况）；若A n，则m，n异面.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与直线的位置关系； （2）直线与平面的位置关系； （3）平面与平面的位置关系. 2.应体会 分类讨论思想. 3.避易错 异面直线的判定.
1.与同一平面平行的两条直线（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
解析：D 与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD）所在的平面内，与棱AA1平行的平面共有（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析：B 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D.
3.已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a∥b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B “直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.
4.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
解析：D 可借助长方体来判断.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
5.已知点A，B是平面α外的两点，则过点A，B与平面α平行的平面个数为（ ）
A.0 B.0或1
C.1或2 D.无数个
解析：B 当A，B两点在平面α两侧时，不存在这样的平面与α平行；当A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一个平面与平面α平行，若直线AB与平面α不平行，则不存在与平面α平行的平面.故过点A，B与平面α平行的平面有0或1个.
6.〔多选〕下列结论正确的是（ ）
A.若直线a在平面α外，则a∥α B.若a α，b α，则a，b无公共点
C.若a α，则a∥α或a与α相交 D.若a∩α＝A，则a α
解析：CD 对A，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，所以a和α不一定平行，故A错误；对B，b α，则b和α可以相交，故b和a可以相交，故B错误；对C，直线在平面外，则直线和平面相交或平行，故C正确；对D，a∩α＝A说明直线和平面只有一个交点，故D正确.故选C、D.
7.〔多选〕以下四个命题中正确的有（ ）
A.两个相交平面把空间分成四部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若P∈l，且l α，则P∈α
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解析：AC 对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
8.在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有 8 对.
解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8（对）异面直线.
9.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中CD与GH 平行 ，AB与GH 异面 .
解析：把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，CD与GH平行，AB与GH异面.
10.如图所示，在三棱锥P-ABC中，E是PC的中点，连接AE.求证：AE与PB是异面直线.
证明：假设AE与PB共面于平面α，连接BE（图略）.因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即为平面α，所以P∈平面ABE，这与P 平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线.
11.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A.l与l1，l2都相交
B.l与l1，l2都不相交
C.l至少与l1，l2中的一条相交
D.l至多与l1，l2中的一条相交
解析：C 由图1可知，A、B错误；由图2可知，D错误.
12.〔多选〕（2025·开封月考）三个平面将空间分成n个部分，则n可能是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：BCD 按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4个部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6个部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：①三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7个部分；②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8个部分；③三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6个部分；
综上所述，可以为4，6，7，8个部分，不能为5个部分.
13.空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 无数 条.
解析：如图，取a，b，c为一正方体三条两两异面的棱AD，CC1，A1B1，在AD上任取一点M，在BC上取点N，使得B1N∥A1M，设直线B1N与CC1交于点P，PM即与a，b，c都相交，由于M是任取的，故满足条件的直线有无数条.
14.如图1、图2所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是D1C1，B1B的中点.试分别画出图1、图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线.
解：如图1所示，过点E作EN∥BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
如图2所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.
15.如图，已知平面α和β相交于直线l，A∈α，B∈α，C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？证明你的结论.
解：平面ABC与平面β的交线和l相交，证明如下：
∵AB与l不平行，AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点.
又∵点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.
∵直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线和l相交.
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