8.5.1 直线与直线平行
课标要求 情境导入
1.理解基本事实4和等角定理（直观想象）. 2.会判断空间两直线的位置关系（逻辑推理）. 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.我们发现这些折痕互相平行.初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，在空间中，这个结论仍然成立，下面我们将要学习该结论.
知识点一｜基本事实4
问题1 在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，DC∥AB，A'B'∥AB，DC与A'B'平行吗？由此，你能得到什么结论？
提示：平行.得到事实：平行于同一条直线的两条直线平行.
【知识梳理】
文字语言 平行于同一条直线的两条直线 平行
图形语言
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用 证明两条直线平行
【例1】 如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
变式 若条件中增加“AC＝BD”，那么四边形EFGH是什么图形？
解：由题意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形.
【规律方法】
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
训练1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1.
证明：连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC A1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得EF AC，同理E1F1 A1C1，
所以EF∥E1F1，且EF＝E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1∥FF1.
知识点二｜等角定理
问题2 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
提示：成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置.
【知识梳理】
1.定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补
符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B' ∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝180°
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别对应 平行 ，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
提醒：（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；（2）当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
【例2】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
【规律方法】
空间角相等的证明方法
（1）等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能；
（2）转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.
训练2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以FG∥B1C.
又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB，A1B1∥AB，
由基本事实4知CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
知识点三｜利用线线平行判断共面
【例3】 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足＝.求证：E，F，G，H四点共面.
证明：如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.
在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
【规律方法】
根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.
训练3 如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分别是FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
解：（1）证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH AD，
又BC AD，故GH BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？
解：（2）C，D，F，E四点共面.
理由如下：
由BE AF，G是FA的中点知，BE GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面.
1.空间中两条互相平行的直线指的是（ ）
A.空间中没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
解析：B EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别对应平行.若α＝60°，则β＝ 60°或120° .
解析：因为角α与β两边分别对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补，故β＝60°或120°.
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
证明：如图，取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1.
又N为B1C1的中点，B1C1 A1D1，所以C1N∥PA1，且C1N＝PA1，所以四边形PA1NC1为平行四边形，所以A1N∥C1P.
又由PM DD1 CC1，得四边形PMCC1为平行四边形，所以C1P∥CM.
所以CM∥A1N.
课堂小结
1.理清单 （1）基本事实4； （2）等角定理； （3）利用线线平行判断共面. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 用等角定理时，角有可能相等或互补.
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
解析：A ∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
2.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB平行的条数为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：C 如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条.
3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
解析：D 如图所示，可知AB，CD有平行，异面，相交三种情况.故选D.
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上且PF＝PC，点G在PB上且PG＝PB，则（ ）
A.AG＝3EF，且AG与EF平行
B.AG＝3EF，且AG与EF相交
C.AG＝2EF，且AG与EF平行
D.AG＝2EF，且AG与EF异面
解析：C 取CF的中点H，连接DH，GH（图略），则在△PBC中，＝＝，所以GH∥BC，且GH＝BC＝2.又因为AD∥BC且AD＝2，所以GH∥AD，且GH＝AD，所以四边形ADHG为平行四边形，所以AG∥DH，且AG＝DH.在△PDH中，因为E，F分别为PD和PH的中点，所以EF∥DH，且EF＝DH，所以EF∥AG，且EF＝AG，即AG＝2EF.
5.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 如题图，＝＝＝，可证AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.
6.〔多选〕已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（ ）
A.l与AD平行 B.l与AD相交
C.l与AC平行 D.l与BD平行
解析：CD 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行；又l在上底面中，AD在下底面中，故l与AD无公共点，故l与AD不相交；C、D可以成立.
7.〔多选〕如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（ ）
A.PQ＝MN B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形
解析：BCD 由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.
8.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B .
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 平行 .
解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
11.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（ ）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
解析：A 取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且MH＝BD＝3，NH∥AC，且NH＝AC＝2，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故选A.
12.〔多选〕如图，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.M，N，P，Q四点共面 B.∠QME＝∠DBC
C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形
解析：ABC 对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D选项，由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选A、B、C.
13.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为 8 .
解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设高为h，四边形EFGH的面积为28，即＝28，得h＝8.
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：
（1）D1E∥BF；
（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：（1）如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
（2）因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
且∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于点M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证：
（1）四边形EFGH为平行四边形；
（2）∠C'EB＝∠D'MN.
证明：（1）因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB，且EF＝（AB＋CD），又C'D'∥EF，EF∥AB，所以C'D'∥AB.
因为G，H分别为AD'，BC'的中点，所以GH∥AB，且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
所以GH EF，所以四边形EFGH为平行四边形.
（2）因为折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB，所以折叠后D'M∥C'E，MN∥EB，
所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同，所以∠C'EB＝∠D'MN.
1 / 18.5.1 直线与直线平行
1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB平行的条数为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
3.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上且PF＝PC，点G在PB上且PG＝PB，则（ ）
A.AG＝3EF，且AG与EF平行
B.AG＝3EF，且AG与EF相交
C.AG＝2EF，且AG与EF平行
D.AG＝2EF，且AG与EF异面
5.如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且＝＝＝，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（ ）
A.l与AD平行 B.l与AD相交
C.l与AC平行 D.l与BD平行
7.〔多选〕如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（ ）
A.PQ＝MN
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
8.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 .
9.如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
11.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（ ）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
12.〔多选〕如图，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME＝∠DBC
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
13.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：
（1）D1E∥BF；
（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于点M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证：
（1）四边形EFGH为平行四边形；
（2）∠C'EB＝∠D'MN.
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