8.5.2 直线与平面平行
1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
2.在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足＝，则直线EF与平面ABC的位置关系是（ ）
A.EF∥平面ABC B.EF 平面ABC
C.EF与平面ABC相交 D.以上都有可能
3.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（ ）
A.2＋ B.3＋
C.3＋2 D.2＋2
5.（2025·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝（ ）
A.2 B.3
C. D.
6.〔多选〕在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（ ）
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
7.〔多选〕一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是（ ）
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
8.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是 .
9.如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D为棱A1B1的中点，则过BC和D的截面面积等于 cm2.
10.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若的中点为D.求证：AC∥平面POD；
（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
11.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
12.〔多选〕已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥N-BDC的体积为V2，则下面结论正确的为（ ）
A.＝ B.PA∥ON
C.VP-ADC＝VP-ABC D.＝
13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝ .
14.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
1 / 18.5.2 直线与平面平行
课标要求 情境导入
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题（直观想象、逻辑推理）. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行（逻辑推理、数学运算）. 如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α平行，如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m平行.
知识点一｜直线与平面平行的判定定理
问题1 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？
提示：AB平行于桌面所在平面，翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，由直线与平面平行的定义可知，直线与平面无公共点，而此时直线AB与封面的另一边平行，同时，封面的另一边在平面内，那么该直线与此平面平行.
【知识梳理】
文字语言 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
提醒：（1）定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；（2）实质是线线平行 线面平行.
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.
证明：法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
法二 如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE 平面PAD，PH 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
【规律方法】
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法.
训练1 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.
证明：如图，连接BC1，AC1.
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，
由平行四边形性质得点E也是BC1的中点.
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
知识点二｜直线与平面平行的性质定理
问题2 已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？
提示：平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行.
【知识梳理】
文字语言 一条直线与一个平面 平行 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行
符号语言 a∥α， a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
提醒：（1）定理中的三个条件“a∥α，a β，α∩β＝b”缺一不可；（2）实质是线面平行 线线平行.
【例2】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥OM，又OM 平面BMD，PA 平面BMD，∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
【规律方法】
1.利用线面平行性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
训练2 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
（1）DF∥平面PBE；
证明：（1）取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F，G分别为PC，PB的中点，所以FG∥BC，FG＝BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
因为点E为AD的中点，所以DE∥BC，且DE＝BC，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
（2）DF∥l.
证明：（2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.
知识点三｜与性质定理有关的计算问题
【例3】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
解：∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.∴EF＝AC＝×2＝.
【规律方法】
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
训练3 如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段CF的长.
解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，
所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝.
连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.在Rt△CGF中，CF＝＝.
提能点｜线面平行关系的综合应用
【例4】 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF，如图所示.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
变式 在本例中，若E，F分别为棱CC1和BB1的中点，M是线段AC上的动点，若MB∥平面AEF，则M在何位置呢？
解：如图所示，点M与点C重合，此时BM∥EF，
BM 平面AEF，EF 平面AEF，所以MB∥平面AEF.
若点M在线段AC上其他位置，不可能满足MB∥平面AEF.
【规律方法】
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化.
训练4 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解：直线l∥平面PAC.证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
1.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.m∥α，m∥n n∥α B.m∥α，n∥α m∥n
C.m∥α，m β，α∩β＝n m∥n D.m∥α，n α m∥n
解析：C A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面.
2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（ ）
A.有且只有一个 B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在 D.不存在
解析：A 在a上任取一点A，则过点A与b平行的直线有且只有一条，设为b'，又∵a∩b'＝A，∴a与b'确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.
3.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
解析：D 如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D.
4.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点.点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF，则实数λ＝（ ）
A. B.
C. D.1
解析：B 如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
因为SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，所以SA∥FG，
所以＝，因为AE∥BC，所以△GEA∽△GBC，又因为E为AD中点，
所以＝＝，所以＝＝，即SF＝SC，所以λ＝.
课堂小结
1.理清单 （1）直线与平面平行的判定定理； （2）直线与平面平行的性质定理； （3）与性质定理有关的计算问题； （4）线面平行关系的综合应用. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 证明线面平行时漏写线在平面外（内）.
1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A.都平行 B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点
解析：A 由直线l∥平面α，过l作平面β且α∩β＝a，则l∥a，同理有l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，即交线均平行.故选A.
2.在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足＝，则直线EF与平面ABC的位置关系是（ ）
A.EF∥平面ABC B.EF 平面ABC
C.EF与平面ABC相交 D.以上都有可能
解析：A ∵＝，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF 平面ABC.∴EF∥平面ABC.故选A.
3.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
解析：A 对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D不满足题意.故选A.
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（ ）
A.2＋ B.3＋
C.3＋2 D.2＋2
解析：C 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴F是SB的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.
5.（2025·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝（ ）
A.2 B.3
C. D.
解析：D 因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
6.〔多选〕在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（ ）
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
解析：CD 因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.
7.〔多选〕一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分别为P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是（ ）
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
解析：ACD 如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确.故选A、C、D.
8.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是 平行四边形 .
解析：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB 平面ABC，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD 平面BCD，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形.
9.如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D为棱A1B1的中点，则过BC和D的截面面积等于 24 cm2.
解析：如图，过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连接CE，DB，B1C1∥BC，则DE∥BC，即D，E，B，C四点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，因为D为棱A1B1的中点，所以DE是△A1B1C1的中位线，所以DE＝B1C1＝4 cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝＝4（cm），所以截面 BCED的面积为×（4＋8）×4＝24（cm2）.
10.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若 的中点为D.求证：AC∥平面POD；
（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
解：（1）证明：设BC∩OD＝E，
∵D是 的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，∴AC∥平面POD.
（2）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴圆锥的表面积S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9（1＋）π.
11.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
解析：B 因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行.设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.又因为α∩β＝b，m α，所以m∥b.又因为m∥a，所以a∥b.故选B.
12.〔多选〕已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥N-BDC的体积为V2，则下面结论正确的为（ ）
A.＝ B.PA∥ON
C.VP-ADC＝VP-ABC D.＝
解析：ABD 因为AB∥CD，所以△AOB与△COD相似，所以＝＝，因为PA∥平面NBD，PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，所以PA∥ON，所以＝＝，故A、B正确；因为CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正确；因为＝，所以＝，因为＝＝3，所以＝，所以＝×＝，故D正确.故选A、B、D.
13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝ 2 .
解析：连接AC，交BD于点O，连接PO（图略）.因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO.在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以易知四边形EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ.又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝（8－AQ）＝2，故CF＝2.
14.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
证明如下：
如图，取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝AB，又PC∥AB且PC＝AB，所以MN∥PC且MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，所以PM∥平面BCE.
15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，∴y＝6（1－），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，∴8＜12－x＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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