8.6.1 直线与直线垂直
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）
A.BC1 B.A1D
C.AC D.BC
2.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
3.如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在四面体A-BCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD上的点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的是（ ）
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝CD
D.异面直线PM与BD所成的角的大小为45°
6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（ ）
A.直线EF，AO共面
B.直线EF，BB1是相交直线
C.直线EF与BC1所成的角的大小为30°
D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
7.〔多选〕如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
8.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 .
9.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为 .
10.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值.
11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则（ ）
A.AB⊥CD
B.三棱锥A-BCD的体积为
C.三棱锥A-BCD外接球的半径为
D.异面直线AD与BC所成角的余弦值为
13.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为 .
14.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
15.如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱锥A1-APB的体积；
（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
1 / 18.6.1 直线与直线垂直
课标要求 情境导入
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系（数学抽象）. 2.理解并掌握异面直线所成的角（直观想象）. 3.会求任意两条直线所成的角（数学运算）. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.从直观上判断，AB与B1C1垂直，AB与B1D1不垂直，能用确定的数量关系进行判断吗？这就是本节要学习的内容.
知识点一｜异面直线所成的角
问题1 平面内两条直线所成的角的范围是多少？
提示：.
【知识梳理】
定 义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b
结论 我们把直线 a'与b' 所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
范围 记异面直线a与b所成的角为α，则 0°＜α≤90°
提醒：（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
【例1】 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
解：（1）∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角的大小为45°.
（2）FO与BD所成的角的大小.
（2）如图，连接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO（或其补角）是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角的大小为30°.
【规律方法】
求两条异面直线所成角的步骤
（1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角；
（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出；
（4）结论.
可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的取值范围是0°＜α≤90°.
训练1 （1）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
（1）解析：D 如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角为∠EAD（或其补角）.在△EAD中，cos∠EAD＝＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
（2）在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
（2）解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF（或其补角）为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
知识点二｜直线与直线垂直
问题2 若两直线垂直，那么两直线一定相交吗？
提示：不一定，当两直线异面时，也可能垂直.
【知识梳理】
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 互相垂直 .直线a与直线b垂直，记作 a⊥b .
【例2】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
【规律方法】
证明空间中两条直线垂直的方法
（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.
训练2 如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB＝BB'＝2.求证：BE⊥AC'.
证明：如图，取CC'的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC'的中点，∴EF∥AC'，
∴∠BEF即异面直线BE与AC'所成的角，且EF＝AC'.
在正三棱柱ABC-A'B'C'中，
∵AB＝BB'＝2，∴AC'＝2，∴EF＝.
在等边三角形ABC中，BE＝＝，在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC'.
1.垂直于同一条直线的两条直线（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
答案：D
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A.2条 B.4条
C.6条 D.8条
解析：D 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为 .
解析：连接A1C1，C1B，A1B.因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，所以MN∥A1C1，EF∥BC1，所以∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角.易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝.
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1＋B，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.
课堂小结
1.理清单 （1）异面直线所成的角； （2）直线与直线垂直. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 容易忽视异面直线所成的角α的取值范围是0°＜α≤90°.
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）
A.BC1 B.A1D
C.AC D.BC
解析：C 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
2.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析：B 如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG（或其补角）为AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.
3.如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：B ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC.∵点C是弧AB的中点，∴BC＝AC，∴∠ABC＝45°.在△VBC中，∵D，E分别为VB，VC的中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.
4.若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求.∵AF＝EF＝1，EE1＝，且∠AFE＝，∴AE＝＝，∴AE1＝＝3，AF1＝＝，∴cos∠AE1F1＝＝＝，∴∠AE1F1＝，即直线AE1和EF所成角的大小为.
5.如图，在四面体A-BCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD上的点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的是（ ）
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝CD
D.异面直线PM与BD所成的角的大小为45°
解析：C 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角的大小为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选C.
6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（ ）
A.直线EF，AO共面
B.直线EF，BB1是相交直线
C.直线EF与BC1所成的角的大小为30°
D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
解析：AC 连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E（图略），∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB（图略），易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.连接OC1（图略），设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1（图略），在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中说法错误.故选A、C.
7.〔多选〕如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
解析：BCD 如图，还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面.又易知△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.∴B、C、D正确.
8.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 .
解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，
∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝.
9.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为 .
解析：取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝＝＝.
10.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值.
解：连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，则OE PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角.
设四棱锥的棱长为1，则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos∠OEB＝＝＝.
所以异面直线BE与PA所成角的余弦值为.
11.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，∴sin∠EAF1＝sin 60°＝.
12.〔多选〕在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，则（ ）
A.AB⊥CD
B.三棱锥A-BCD的体积为
C.三棱锥A-BCD外接球的半径为
D.异面直线AD与BC所成角的余弦值为
解析：ABD 将三棱锥补形为长方体，如图所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；长方体的体积V1＝1×1×2＝2，三棱锥E-ABC的体积V2＝V三棱锥A-BEC＝××1×2×1＝，同理，三棱锥N-ABD，三棱锥F-BCD，三棱锥M-ACD的体积也为，所以三棱锥A-BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确；长方体外接球的直径为＝，所以长方体外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥A-BCD的外接球，所以三棱锥A-BCD外接球的半径为，故C错误；连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM（或其补角）为异面直线AD与BC所成的角，由已知OA＝AD＝，OM＝MN＝，AM＝2，所以cos∠AOM＝＝－，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确.
13.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为 ［，］ .
解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线D1P与BC1所成的角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈［，］，又∠AD1P∈（0，π]，∴∠AD1P∈［，］.
14.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC.
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝.
15.如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱锥A1-APB的体积；
（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，
∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
（2）当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
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