贵州黔东南州2026届高三高考一模数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 贵州黔东南州2026届高三高考一模数学试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 232.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
黔东南州 2026 届高三模拟统测 数 学 试 卷
注意事项:
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 若集合 ,则 中的元素个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 已知复数 满足 ,则复数 的实部和虚部分别是
A. -1,1 B. 2,1 C. -1, i D. 2, i
3. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，则
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
5. 一艘轮船从 处出发，沿着正东方向行驶到 处，再从 处向北偏西 方向行驶 千米,到达 处,此时, 处在 处的东北方向,则 两处之间的距离是
A. 30 千米 B. 千米 C. 20√6千米 D. 千米
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是
A. B.
C. D.
7. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集是
A. B. C. D.
8. 将 6 名同学安排到 A，B，C三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排 1 名同学去 A 公司实习，至少安排 2 名同学去 B 公司实习，至少安排 2 名同学去 C 公司实习，则不同的安排方法有
A. 120 种 B. 150 种 C. 210 种 D. 300 种
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 与圆 ,则
A. 直线 过定点
B. 当 时,直线 被圆 所截的弦长为
C. 当直线 与圆 相交时,
D. 当直线 与圆 相切时,
10. 如图，这是某校写作兴趣小组 25 名同学暑假的课外阅读量(单位:本)的折线统计图，则
A. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的众数是 4 本
B. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的中位数是 5 本
C. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的平均数是 4.4 本
D. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的第 80 百分位数是 6 本
11. 正四棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 ，过 的中点 作球 的截面 ,则
A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 平面 与平面 夹角的余弦值是
C.
D. 截面 的面积的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知单位向量 满足 ，则向量 的夹角的余弦值是_____▲_____.
13. 已知双曲线 上任意一点 到其两条渐近线的距离之积为 ，则双曲线 的离心率为_____▲_____.
14. 已知函数 若 ,则 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的 的最小值.
16.(15分)
某厂质检员对该厂生产的零件进行质检. 若第一次检测到某件零件不合格, 则判断该零件不合格; 若第一次检测到某件零件合格, 则进行第二次检测, 若第二次检测该零件也合格, 则判断该零件合格, 否则为不合格. 若零件合格, 则获利 10 元; 若零件不合格, 则亏损 20 元. 已知每件该零件第一次检测合格的概率为 ，第二次检测合格的概率为 ，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测 3 件该零件，至少有 2 件合格的概率；
(2)已知一箱中有 4 件该零件，记这箱零件总获利 元，求 的分布列与期望.
17. (15 分)
如图，在三棱柱 - 中，平面 平面 ,四边形 是矩形， .
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
18.(17分)
已知椭圆 的焦距与短轴长均为 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 在 轴上方，过点 作斜率为 的直线 ,交椭圆 于另一个点 .
①证明: .
② 求 面积的最大值.
19.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)当 时，证明:当 时， .
(3)若 有两个零点，求 的取值范围.
黔东南州 2026 届高三模拟统测 数学试卷参考答案
1. 由题意可得 ,则 中有 4 个元素.
2. 由题意可得 ,则复数 的实部和虚部分别是 2,1 .
3. A 由 ，得 ，解得 ，则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
4. 由题意可得 ,则 .
5.B 如图，由题意可知 千米， ， ,则 千米.
6. 由题意可得 ,则 图象的对称中心是 .
7. 设 ,则 . 因为 ,所以 ,即 ,所以 在 上单调递减. 不等式 等价于不等式 ,即 . 因为 ,所以 ,所以 . 因为 在 上单调递减,所以 ，解得 .
8. C 安排 1 名同学去 A 公司实习，有 种不同的安排方法; 安排 2 名同学去 A 公司实习,有 种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有 种.
9. ABD 由题意可知直线 过定点 ,则 正确. 当 时,直线 ,圆 的圆心 到直线 的距离 ,则直线 被圆 所截的弦长为 正确. 当直线 与圆 相交时,圆心 到直线 的距离 ,解得 错误. 当直线 与圆 相切时,圆心 到直线 的距离 ,解得 正确.
10.BCD 由图可得这 25 名同学暑假的课外阅读量的众数是 5 本, 中位数是 5 本, 平均数是 本,第 80 百分位数是 6 本,则 错误, , C, D均正确.
11. ACD 如图,作 平面 ,则 为线段 的中点, 是直线 与平面 所成的角. 因为 ,所以 ,所以 正确. 取棱 的中点 ,连接 . 易证点 在线段 上， ，则 . 由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面 的夹角或其补角,则平面 与平面 夹角的余弦值是 , B 错误. 因为 ,所以 在正四棱锥 外部,连接 ,则 ,解得 正确. 连接 ,当 截面 时,截面 的面积最小. 因为 ,所以截面 的面积的最小值为 , 正确.
12. 因为 ，所以 . 因为 为单位向量，所以 ,所以 .
13. 或 设 . 因为点 在双曲线 上,所以 ,则点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 ,即 ,即 ,解得 或 ，故双曲线 的离心率为 或 .
14. 当 时, 恒成立,此时 . 当 时,由 ,得 ,所以 ,即 . 当 时,由 ,得 ,即 . 设 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,则 . 综上, 的取值范围是 .
15. 解: (1) 由题意可得 2 分
解得 , 4 分
则 . 6 分
(2)由(1)可知 . 8 分
由 ,得 ,即 , 9 分
即 ,解得 或 . 11 分
因为 ,所以 的最小值是 6 . 13 分
16. 解:(1)由题意可得随机检测 1 件该零件合格的概率是 , 2 分
则检测 3 件该零件,至少有 2 件合格的概率是 . 6 分
(2)由题意可知 的所有可能取值为 . 7 分
8 分
9 分
10 分
11 分
12 分
则 的分布列为
-80 -50 -20 10 40
27 64 81 256
13 分
故 . 15 分
17.(1)证明:因为 ，所以 ，所以 . 1 分因为平面 上平面 ,且平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 . 3 分
因为四边形 是矩形,所以 . 4 分因为 平面 平面 ,且 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:由(1)可知 两两垂直，则以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 , ,则 . 6 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 7 分
易知平面 的一个法向量为 . 8 分设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 10 分
(3)解:假设存在满足条件的点 ，且 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 . 11 分
由 (2) 可知 .
则 . 12 分
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ,
所以 ,解得 , 14 分
则存在满足条件的点 ,此时 . 15 分
18. 解: (1) 由题意可得 解得 , 2 分则椭圆 的标准方程是 . 3 分
(2)由 得 或 4 分因为点 在 轴上方,所以 ,
则直线 的方程为 . 6 分
由 得 ,
则 ,所以 ,
故点 的坐标为 . 8 分
① 证明:因为 ，
所以直线 的斜率 , 10 分
则 ,故 . 11 分
②因为 ，
所以 . 12 分
因为 ,
所以
. 13 分
因为 ,所以 的面积 . 14 分
设 ,由 ,得 ,当且仅当 时,等号成立,
则 . 15 分
易证函数 在 上单调递增，则 , 16 分
故 ,即 面积的最大值为 . 17 分
19.(1)解:当 时， ，则 ， 1 分
从而 , 2 分
故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 3) 或 . 3 分
(2)证明: 设 ,则 . 4 分
显然 在 上恒成立,所以 在 上单调递减. 5 分
又 ,所以 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
故 ,即当 时, . 7 分
(3)解:由题意可得 .
设 ,则 . 8 分
① 若 ，显然 ，则 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
又 ,所以当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ,所以 只有一个零点,故 不符合题意. 10 分
②若 ，则当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ,所以 ,又 ,
所以存在唯一的 ,使得 .
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,所以 ,又当 时, ,
所以 恰有两个零点,则 符合题意. 12 分
③若 ，则由 (1) 知 在 上单调递增，此时 只有一个零点，则 不符合题意. 14 分
④若 ，则当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,所以 ,又 ,
所以存在唯一的 ,使得 .
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,所以 ,又当 时, ,
所以 恰有两个零点,则 符合题意. 16 分
综上, 的取值范围为 . 17 分
注意事项:
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 若集合 ,则 中的元素个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 已知复数 满足 ,则复数 的实部和虚部分别是
A. -1,1 B. 2,1 C. -1, i D. 2, i
3. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，则
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
5. 一艘轮船从 处出发，沿着正东方向行驶到 处，再从 处向北偏西 方向行驶 千米,到达 处,此时, 处在 处的东北方向,则 两处之间的距离是
A. 30 千米 B. 千米 C. 20√6千米 D. 千米
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是
A. B.
C. D.
7. 已知定义在 上的函数 的导函数为 ,若 ,且 ,则不等式 的解集是
A. B. C. D.
8. 将 6 名同学安排到 A，B，C三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排 1 名同学去 A 公司实习，至少安排 2 名同学去 B 公司实习，至少安排 2 名同学去 C 公司实习，则不同的安排方法有
A. 120 种 B. 150 种 C. 210 种 D. 300 种
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 与圆 ,则
A. 直线 过定点
B. 当 时,直线 被圆 所截的弦长为
C. 当直线 与圆 相交时,
D. 当直线 与圆 相切时,
10. 如图，这是某校写作兴趣小组 25 名同学暑假的课外阅读量(单位:本)的折线统计图，则
A. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的众数是 4 本
B. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的中位数是 5 本
C. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的平均数是 4.4 本
D. 这 25 名同学暑假的课外阅读量的第 80 百分位数是 6 本
11. 正四棱锥 的外接球的球心为 ,半径为 ，过 的中点 作球 的截面 ,则
A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 平面 与平面 夹角的余弦值是
C.
D. 截面 的面积的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知单位向量 满足 ，则向量 的夹角的余弦值是_____▲_____.
13. 已知双曲线 上任意一点 到其两条渐近线的距离之积为 ，则双曲线 的离心率为_____▲_____.
14. 已知函数 若 ,则 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的 的最小值.
16.(15分)
某厂质检员对该厂生产的零件进行质检. 若第一次检测到某件零件不合格, 则判断该零件不合格; 若第一次检测到某件零件合格, 则进行第二次检测, 若第二次检测该零件也合格, 则判断该零件合格, 否则为不合格. 若零件合格, 则获利 10 元; 若零件不合格, 则亏损 20 元. 已知每件该零件第一次检测合格的概率为 ，第二次检测合格的概率为 ，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测 3 件该零件，至少有 2 件合格的概率；
(2)已知一箱中有 4 件该零件，记这箱零件总获利 元，求 的分布列与期望.
17. (15 分)
如图，在三棱柱 - 中，平面 平面 ,四边形 是矩形， .
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
18.(17分)
已知椭圆 的焦距与短轴长均为 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 在 轴上方，过点 作斜率为 的直线 ,交椭圆 于另一个点 .
①证明: .
② 求 面积的最大值.
19.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)当 时，证明:当 时， .
(3)若 有两个零点，求 的取值范围.
黔东南州 2026 届高三模拟统测 数学试卷参考答案
1. 由题意可得 ,则 中有 4 个元素.
2. 由题意可得 ,则复数 的实部和虚部分别是 2,1 .
3. A 由 ，得 ，解得 ，则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
4. 由题意可得 ,则 .
5.B 如图，由题意可知 千米， ， ,则 千米.
6. 由题意可得 ,则 图象的对称中心是 .
7. 设 ,则 . 因为 ,所以 ,即 ,所以 在 上单调递减. 不等式 等价于不等式 ,即 . 因为 ,所以 ,所以 . 因为 在 上单调递减,所以 ，解得 .
8. C 安排 1 名同学去 A 公司实习，有 种不同的安排方法; 安排 2 名同学去 A 公司实习,有 种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有 种.
9. ABD 由题意可知直线 过定点 ,则 正确. 当 时,直线 ,圆 的圆心 到直线 的距离 ,则直线 被圆 所截的弦长为 正确. 当直线 与圆 相交时,圆心 到直线 的距离 ,解得 错误. 当直线 与圆 相切时,圆心 到直线 的距离 ,解得 正确.
10.BCD 由图可得这 25 名同学暑假的课外阅读量的众数是 5 本, 中位数是 5 本, 平均数是 本,第 80 百分位数是 6 本,则 错误, , C, D均正确.
11. ACD 如图,作 平面 ,则 为线段 的中点, 是直线 与平面 所成的角. 因为 ,所以 ,所以 正确. 取棱 的中点 ,连接 . 易证点 在线段 上， ，则 . 由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面 的夹角或其补角,则平面 与平面 夹角的余弦值是 , B 错误. 因为 ,所以 在正四棱锥 外部,连接 ,则 ,解得 正确. 连接 ,当 截面 时,截面 的面积最小. 因为 ,所以截面 的面积的最小值为 , 正确.
12. 因为 ，所以 . 因为 为单位向量，所以 ,所以 .
13. 或 设 . 因为点 在双曲线 上,所以 ,则点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 ,即 ,即 ,解得 或 ，故双曲线 的离心率为 或 .
14. 当 时, 恒成立,此时 . 当 时,由 ,得 ,所以 ,即 . 当 时,由 ,得 ,即 . 设 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,则 . 综上, 的取值范围是 .
15. 解: (1) 由题意可得 2 分
解得 , 4 分
则 . 6 分
(2)由(1)可知 . 8 分
由 ,得 ,即 , 9 分
即 ,解得 或 . 11 分
因为 ,所以 的最小值是 6 . 13 分
16. 解:(1)由题意可得随机检测 1 件该零件合格的概率是 , 2 分
则检测 3 件该零件,至少有 2 件合格的概率是 . 6 分
(2)由题意可知 的所有可能取值为 . 7 分
8 分
9 分
10 分
11 分
12 分
则 的分布列为
-80 -50 -20 10 40
27 64 81 256
13 分
故 . 15 分
17.(1)证明:因为 ，所以 ，所以 . 1 分因为平面 上平面 ,且平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 . 3 分
因为四边形 是矩形,所以 . 4 分因为 平面 平面 ,且 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:由(1)可知 两两垂直，则以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 , ,则 . 6 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 7 分
易知平面 的一个法向量为 . 8 分设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 10 分
(3)解:假设存在满足条件的点 ，且 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 . 11 分
由 (2) 可知 .
则 . 12 分
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ,
所以 ,解得 , 14 分
则存在满足条件的点 ,此时 . 15 分
18. 解: (1) 由题意可得 解得 , 2 分则椭圆 的标准方程是 . 3 分
(2)由 得 或 4 分因为点 在 轴上方,所以 ,
则直线 的方程为 . 6 分
由 得 ,
则 ,所以 ,
故点 的坐标为 . 8 分
① 证明:因为 ，
所以直线 的斜率 , 10 分
则 ,故 . 11 分
②因为 ，
所以 . 12 分
因为 ,
所以
. 13 分
因为 ,所以 的面积 . 14 分
设 ,由 ,得 ,当且仅当 时,等号成立,
则 . 15 分
易证函数 在 上单调递增，则 , 16 分
故 ,即 面积的最大值为 . 17 分
19.(1)解:当 时， ，则 ， 1 分
从而 , 2 分
故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 3) 或 . 3 分
(2)证明: 设 ,则 . 4 分
显然 在 上恒成立,所以 在 上单调递减. 5 分
又 ,所以 在 上恒成立,所以 在 上单调递增,
故 ,即当 时, . 7 分
(3)解:由题意可得 .
设 ,则 . 8 分
① 若 ，显然 ，则 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
又 ,所以当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ,所以 只有一个零点,故 不符合题意. 10 分
②若 ，则当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ,所以 ,又 ,
所以存在唯一的 ,使得 .
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,所以 ,又当 时, ,
所以 恰有两个零点,则 符合题意. 12 分
③若 ，则由 (1) 知 在 上单调递增，此时 只有一个零点，则 不符合题意. 14 分
④若 ，则当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,所以 ,又 ,
所以存在唯一的 ,使得 .
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减.
又 ,所以 ,又当 时, ,
所以 恰有两个零点,则 符合题意. 16 分
综上, 的取值范围为 . 17 分
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