山东省青岛市2026年高三高考一模数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省青岛市2026年高三高考一模数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年高三年级第一次适应性检测 数学试题
2026. 03
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 成等比数列,则
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
4. 已知 是两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知变量 的统计数据如下,若 与 的回归直线方程为 ,则
2.8 3.3 5.0 6.7 7.2
2.6 4.0 5.1 5.4
A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1
6. 某空间站由 三个舱构成,某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展,每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法的种数为
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
7. 如图，点 为矩形 边 的中点，以动直线 为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点 都落在边 上，记该落点为 ，过点 作 垂直于 交直线 于 点 ,点 的轨迹为曲线 的一部分,则 为
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
8. 已知函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 为奇函数, , 则
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 在区间 上单调递增
B. 恰有两个零点
C. 不等式 的解集为
D. 若 ，则 的最小值为 2
11. 已知四面体 满足 ， ，点 均在球 的表面上，球 与四面体的 4 个面均相切，过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ,则
A. 球 的表面积为
B. 当四面体 体积最大时,
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时， 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____.
13. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 在第一象限的交点为 ，若直线 与 的一条渐近线平行，则 的离心率为_____.
14. 记 内角 的对边分别为 ， ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
函数 的部分图像如图所示.
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)已知 ，且 ，求 的值.
16. (15 分)
如图，在菱形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ,得到四棱锥 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 和平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若存在 ，使得 ，求 的最大值.
18. (17 分)
在某生成式人工智能模型中，有一种简化的 “词元生成器”，该模型只有两种词元 , 且生成词元总数不超过 . 若生成 ,则过程立即结束; 否则继续生成,直至总数达到 . 每个词元生成需要先预测,再审核. 假设每次预测为 的概率均为 0.5,且各次预测相互独立. 审核规则如下:
① 若预测中第一次出现词元 ，则审核后生成 的概率均为 0.5 ；
②若预测中第二次出现词元 ，则审核后必生成 ；
③若预测中出现词元 ，则审核后必生成 .
设 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求 ；
(2)求 的分布列；
(3) 求 .
19. (17 分)
已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，长轴长为 4
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线 交 于 两点，点 在 上，点 为直线 与 轴的交点， 点 的横坐标为点 横坐标的 3 倍.
( i ) 证明: ；
(ii) 若点 都在曲线 上,求 的最大值.
2026年高三年级第一次适应性检测参考答案及评分标准
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1-8: BBAB CDDC
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. BD 10. ABD 11. ACD
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 0.8; 13. ; 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13分)
解: (1) 由图可得 ,所以 ,且 得 ,又因为 ,所以 ,所以 . 3 分又因为 ,
解得 ,
所以 在 上的单调递增区间为 6 分
(2)因为 .
所以 8 分
因为 所以 ,即 ,
所以 10 分
所以 13 分
16. (15分)
解: (1) 由题得 为等边三角形、又因为 为 中点，所以 ， 故有 ,又因为 ,
所以 平面 4 分
又因为 平面 ,所以平面 平面 6 分
(2)如图，以 为原点， ， 以及垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由题得 ，因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 即为二面角 的平面角，即 8 分
则 10 分所以 ,
设平面 的法向量 ,
则 ,即 ,
取 12 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 14 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 15 分
17. (15分)
解: (1) 由题得 3 分
若 ,则 在 上单调递减,
若 ,当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增 6 分
(2)由(1)得,若存在 ,使得 ,则必有 ,
所以 等价于 . 9 分
即 ,化简得: 12 分
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减.
所以 .
当 时等号成立,
所以 的最大值为 15 分
18.(17分)
解: (1) 4 分
(2) 时，第 个词元输出为 ，
若前面 个词元都预测为 ,其概率为 ,
若前面 个词元有一个预测为 ,其概率为 ,
故 , 7 分
当 时,
若前面 个词元都没有预测为 ,其概率为 ,
若前面 个词元有一个预测为 ,其概率为 ,
故
所以 的分布列为:
X 1 2 3 ...
P 7、25 0 ...
10 分
(3)由(1)得 ,
12 分
所以 15 分
所以 17 分
19. (17分)
解: (1) 由题得, ,得 ,
所以 的方程为 4 分
(2)(i)(法1)设 ，
因为 ,两式作差得: 7 分又因为 ,即 ,所以 ,
所以 10 分
(法2) 由题可知直线 斜率存在且不为 0,
设
由 ,所以 7 分
所以 ,
因为 ,得 ,所以 10 分
(ii) 设 ,其中 ,
因为 ,所以 ,
两式相乘得: ，又因为 ，
所以 .
所以 13 分
令 15 分
所以 ,令 ,
又因为 在区间 上单调递增;
所以 ,
显然 在 (0.2) 上单调递增，因为 ，得 ，所以 ，
所以 (当且仅当 时取等号).
综上, 的最大值为 17 分
2026. 03
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则
A. 1 B. C. 2 D. 4
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 成等比数列,则
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
4. 已知 是两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知变量 的统计数据如下,若 与 的回归直线方程为 ,则
2.8 3.3 5.0 6.7 7.2
2.6 4.0 5.1 5.4
A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1
6. 某空间站由 三个舱构成,某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展,每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法的种数为
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
7. 如图，点 为矩形 边 的中点，以动直线 为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点 都落在边 上，记该落点为 ，过点 作 垂直于 交直线 于 点 ,点 的轨迹为曲线 的一部分,则 为
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
8. 已知函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 为奇函数, , 则
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 在区间 上单调递增
B. 恰有两个零点
C. 不等式 的解集为
D. 若 ，则 的最小值为 2
11. 已知四面体 满足 ， ，点 均在球 的表面上，球 与四面体的 4 个面均相切，过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ,则
A. 球 的表面积为
B. 当四面体 体积最大时,
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时， 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____.
13. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 在第一象限的交点为 ，若直线 与 的一条渐近线平行，则 的离心率为_____.
14. 记 内角 的对边分别为 ， ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
函数 的部分图像如图所示.
(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)已知 ，且 ，求 的值.
16. (15 分)
如图，在菱形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ,得到四棱锥 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当二面角 为 时，求 和平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若存在 ，使得 ，求 的最大值.
18. (17 分)
在某生成式人工智能模型中，有一种简化的 “词元生成器”，该模型只有两种词元 , 且生成词元总数不超过 . 若生成 ,则过程立即结束; 否则继续生成,直至总数达到 . 每个词元生成需要先预测,再审核. 假设每次预测为 的概率均为 0.5,且各次预测相互独立. 审核规则如下:
① 若预测中第一次出现词元 ，则审核后生成 的概率均为 0.5 ；
②若预测中第二次出现词元 ，则审核后必生成 ；
③若预测中出现词元 ，则审核后必生成 .
设 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求 ；
(2)求 的分布列；
(3) 求 .
19. (17 分)
已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，长轴长为 4
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线 交 于 两点，点 在 上，点 为直线 与 轴的交点， 点 的横坐标为点 横坐标的 3 倍.
( i ) 证明: ；
(ii) 若点 都在曲线 上,求 的最大值.
2026年高三年级第一次适应性检测参考答案及评分标准
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1-8: BBAB CDDC
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. BD 10. ABD 11. ACD
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 0.8; 13. ; 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13分)
解: (1) 由图可得 ,所以 ,且 得 ,又因为 ,所以 ,所以 . 3 分又因为 ,
解得 ,
所以 在 上的单调递增区间为 6 分
(2)因为 .
所以 8 分
因为 所以 ,即 ,
所以 10 分
所以 13 分
16. (15分)
解: (1) 由题得 为等边三角形、又因为 为 中点，所以 ， 故有 ,又因为 ,
所以 平面 4 分
又因为 平面 ,所以平面 平面 6 分
(2)如图，以 为原点， ， 以及垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由题得 ，因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 即为二面角 的平面角，即 8 分
则 10 分所以 ,
设平面 的法向量 ,
则 ,即 ,
取 12 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 14 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 15 分
17. (15分)
解: (1) 由题得 3 分
若 ,则 在 上单调递减,
若 ,当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增 6 分
(2)由(1)得,若存在 ,使得 ,则必有 ,
所以 等价于 . 9 分
即 ,化简得: 12 分
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减.
所以 .
当 时等号成立,
所以 的最大值为 15 分
18.(17分)
解: (1) 4 分
(2) 时，第 个词元输出为 ，
若前面 个词元都预测为 ,其概率为 ,
若前面 个词元有一个预测为 ,其概率为 ,
故 , 7 分
当 时,
若前面 个词元都没有预测为 ,其概率为 ,
若前面 个词元有一个预测为 ,其概率为 ,
故
所以 的分布列为:
X 1 2 3 ...
P 7、25 0 ...
10 分
(3)由(1)得 ,
12 分
所以 15 分
所以 17 分
19. (17分)
解: (1) 由题得, ,得 ,
所以 的方程为 4 分
(2)(i)(法1)设 ，
因为 ,两式作差得: 7 分又因为 ,即 ,所以 ,
所以 10 分
(法2) 由题可知直线 斜率存在且不为 0,
设
由 ,所以 7 分
所以 ,
因为 ,得 ,所以 10 分
(ii) 设 ,其中 ,
因为 ,所以 ,
两式相乘得: ，又因为 ，
所以 .
所以 13 分
令 15 分
所以 ,令 ,
又因为 在区间 上单调递增;
所以 ,
显然 在 (0.2) 上单调递增，因为 ，得 ，所以 ，
所以 (当且仅当 时取等号).
综上, 的最大值为 17 分
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