答案解析
选则题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C B D C B D A BC AD ABC
填空题
12．或
13．
14. ①③④
解答题
15．(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，
由题意得，
解得或，
因为，所以，代入可得，
所以；
（2），
则，
.
16．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，故，且，
又，且，则且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面.
（2）由题意得，所以，
又因为，所以，
又因为平面，平面，
所以，，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，，则，
设平面与平面所成夹角为，
则，
即平面与平面所成夹角的余弦值为.
17．(1)2；
(2)；
【解析】（1）因为梯形为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由题意，椭圆，直线CD的方程为，
设，，则，化简得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范围为.
18．（1）由，得，即，所以是公差为1的等差数列.
（2）①由（1）及已知得，，则，
，于是，
两边同乘以，得，
两式相减得，
，所以.
②不等式
依题意，对任意的恒成立，令，
则，
因此数列为递减数列，则当时，，则，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，，则；
（2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点，
则，得，
则，即，
故曲线的方程为；
（ⅱ）设，且，，
由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为，
联立，得，
则，
即
，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，，
联立，得，
则，
则，
，
因为，所以
，
则，
即，即，
因为直线不过点，所以，
则，得，
则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直；
当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，，
联立，得，则，
则
，不符合题意.
综上，BD与曲线在P点处的切线垂直．
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答案第1页，共2页铁人中学2024级高二下学期开学考试 数学 试题 考试时间： 2026 年 3月
铁人中学2024级高二下学期开学考试 数学 试题 考试时间： 2026 年 3月
铁人中学2024级高二下学期开学考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
命题人： 审题人：
第Ⅰ卷 客观题部分
一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线C：的焦距为，点在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A．920 B．952 C． D．-920
7.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论错误的是（ ）
A．d＞0 B．的最小值为
C．当时，的最大值为11 D．数列前项和为，最小
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．在等差数列中，，，则前9项和.
B．已知为等比数列的前项和，，，则-1.
C．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则2.
D．数列为等比数列，，，则.
11．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（ ）
A． B．是等差数列
C． D．
第ⅠⅠ卷 主观题部分
填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)
12．已知曲线，则曲线过点)的切线方程为 ．
已知函数，，则数列的通项公式为 ．
14．平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论.
①曲线关于轴对称；
②面积的最大值为；
③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上；
④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为
解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．已知等比数列的前项和为，已知，且的公比
(1)求数列的通项公式
(2)令，数列的前项和为，求证：
16．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点.
(1)求证：平面
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值
17．在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为
(1)若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；
(2)设，直线CD经过点，求的取值范围；
18．已知数列的前n项和为，，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标；
(2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线．
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直．
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