2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.2.4.2向量的数量积的运算律（含解析）

6.2.4.2向量的数量积的运算律
一．选择题
1．已知|a|＝1，|b|＝2，向量a，b的夹角为，则a·(a＋b)＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．＋1
2．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
3．在平面斜坐标系中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量)，则点P的坐标为(x，y)．若点P在斜坐标系中的坐标为(2，－1)，则||＝(　　)
A．＋1 B．
C． D．2＋1
4．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．对任意向量a，b，都有a·b＝b·a
B．若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c
C．对任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)
D．对任意向量a，b，c，都有(a＋b)·c＝a·c＋b·c
5．已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上的动点，则·的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．
6．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是 (　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
7．(多选题)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则(　　)
A．a·b＝1
B．a与b的夹角为
C．a⊥(a－2b)
D．a－b在b上的投影向量为－b
二．填空题
8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，若(ka－2b)⊥(a＋b)，则k＝________.
9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则向量a与b的夹角θ的取值范围是________.
10．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a＋b在向量b上的投影向量是__________.
三．解答题
11．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－2e2，b＝e1＋λe2，且a与b的夹角θ为锐角，求实数λ的取值范围。
12．在△ABC中，M是边BC的中点，AM＝3，BC＝10，求·的值
13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝13.
(1)求a与b的夹角；
(2)若a在b上的投影向量为c，求c·(a＋b)的值．
6.2.4.2向量的数量积的运算律
一．选择题
1．C　解析：因为|a|＝1，|b|＝2，向量a，b的夹角为，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1×2×＝2.故选C．
2．B　解析：因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b.又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.
故选B．
3．C　解析：由题意得＝2e1－e2，
则2＝(2e1－e2)2＝4e－4e1·e2＋e＝4|e1|2－4|e1|·|e2|cos 60°＋|e2|2
＝4－4×1×1×＋1＝3，故||＝.
故选C．
4．AD　解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|a|·|b|cos〈a，b〉，
可得a·b＝b·a，故选项A正确；
由a·b＝a·c可得a·(b－c)＝0，
又a≠0，可得b＝c或a⊥(b－c)，故选项B错误；
(a·b)c＝|a||b|cos〈a，b〉c＝λc(λ∈R)，
a(b·c)＝|c||b|cos〈c，b〉a＝μa(μ∈R)，
所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确．
故选AD．
5．D　解析：设AE＝x，x∈[0，1]，·＝(＋)·＝·＋·
＝||·||cos∠ADC＋||·||cos 0°＝＋x∈，
所以·的最大值为.故选D．
6．C　解析：由题意，得2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，所以·＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形．故选C．
7．BCD　解析：对于A，由|a＋b|＝，得(a＋b)2＝3，即a2＋b2＋2a·b＝3，1＋1＋2a·b＝3，
解得a·b＝，故A错误；
对于B，设a与b的夹角为θ，由上可知a·b＝，即|a|·|b|·cos θ＝，所以cos θ＝，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故B正确；
对于C，因为a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2×＝0，所以a⊥(a－2b)，故C正确；
对于D，a－b在b上的投影向量为·＝·b＝·b＝－b，故D正确．
故选BCD．
二．填空题
8． 　解析：因为|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝5×4×＝－10.
由(ka－2b)⊥(a＋b)，得(ka－2b)·(a＋b)＝ka2－2b2＋(k－2)a·b＝25k－2×16－10(k－2)＝15k－12＝0，解得k＝.
9． 　解析：因为(a－2b)·(2a＋b)
＝2a2＋a·b－4a·b－2b2
＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16
＝－14－3×3×4cos θ≥4，
所以cos θ≤－，所以θ∈.
10． b　解析：因为向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝1×2×＝－1，则(a＋b)·b＝a·b＋b·b＝－1＋22＝3，所以向量a＋b在向量b上的投影向量是·＝b.
三．解答题
11．解：因为a与b的夹角θ为锐角，
所以cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，
解得λ∈(－∞，－2)∪.
12．解：·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝||2＋(＋)·＋||||cos π＝9－25＝－16.
13．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4|a|2－4a·b－3|b|2＝64－4a·b－27＝13，
解得a·b＝6，所以cos〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为60°.
(2)因为c＝|a|cos〈a，b〉＝b，所以c·(a＋b)＝b·(a＋b)＝a·b＋b2＝4＋6＝10.
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