2025-2026学年湖南省长沙市高一下学期第一次月考数学练习卷01（人教A版）（含答案）

2026年湖南省长沙市高一下学期第一次月考练习卷01
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.难度：0.38
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合的元素个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ）
A． B． C． D．1
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（）
（注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则整数属于同一个类
10．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则其面积为2
B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2
D．的最小值为
11．如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当是线段的中点时，
B．当时，
C．当为定值时，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________.
13．已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________．
14．若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”．
(1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集；
(2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集．
16．悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设.
①证明的值为定值，并求这个定值；
②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解 若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.
17．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
18．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：.
(1)写出方程的复数根；
(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，.
（i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则
（ii）求的值（用表示）.
19．已知在△中，.点在边上.点与点关于对称，直线过点，且点和点在△的边上.记△和△的面积分别为和.
(1)若，，且点与点重合.
（i）当时，求；
（ii）求的最大值；
(2)求的最小值.
试卷第1页，共3页
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2026年湖南省长沙市高一下学期第一次月考练习卷01
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C B C B B ABD BCD
题号 11
答案 ACD
12．由为奇函数，所以，
即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，可得，
所以函数关于直线对称，
所以，从而得，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，
所以在中，令，得，
令，得，
令，得，
所以，于是
.
故答案为：
13．由.
所以.
如图：
取中点为，连接，则.
所以.
因为为的外心，所以.
由.
又根据余弦定理，.
因为，
所以
.
当时，取得最大值，为，所以的最大值为.
14．
由棣莫弗公式得
上式为实数当且仅当，即，即，
故所求的最小值为18．
故答案为：18.
15．（1）解： 阶梯分式不等式，
或或，
即或或，
解得或或，
综上，该不等式的解集为；
（2）解：阶梯分式不等式
或或，
即或或，
即或或，
解得或或，
综上，该不等式的解集为．
16．（1）是奇函数，
证明如下： 由题意得 ，定义域为，关于原点对称.
对任意，有： .
因此是上的奇函数,
（2）①
.
故的定值为.
② 将区间等分为份，等分点满足，
由①得.
倒序相加得：，
，
化简不等式左边：
，
又，,由基本不等式，
当且仅当取等号（时无意义），
故，因此： 且.
不等式有解等价于，
即： ，
又为正整数，故存在满足条件的，值为1，2，3.
17．（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
18．（1）由题意有，
所以；
（2）（i）由已知有1的5次方根为：易知是方程的根，
由提示，，则是方程的根，
又，
依次类推均为1的五次方根，命题得证；
（ii）（*），
由（2）易证：若，则均为方程的根.
由代数基本定理可知，
所以，
所以
又均为方程的根，，
所以，
则（*）等于，
因为，
所以
.
19．（1）（i）因为，，所以△是等边三角形，，
而，，则，
所以.
由题意点在边上，，故.
（ii）由于，则，，，
所以，由正弦定理，，，
所以，则，因此， ，
则，，
令，，
因为，所以在单调递增，在单调递减，则时最大，而，所以.
（2）分情况讨论并建立对应平面直角坐标系：
①当点在边上时，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，，，，，
则，，
，
则

易有，，所以，，
当且仅当，，，分别为，，的中点时，，
所以.
②当点在边上时，可分为在线段上和在线段上两种情况，而两种情况显然等效. 设在线段上，考虑固定点，由于，增大时，点更靠近点，点更靠近点，则增大，直到点与点重合，最大值为，
设此时与交于点，，则，
，，，，
设是点到的距离，是点到的距离，则，，，
，则.
综上所述，的最小值是4.
答案第1页，共2页
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