平行四边形（解析版）
【一维夯实双基】
1．（2025·河北唐山·二模）五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ）
A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为
解：根据多边形的外角和为，得始终为，
故选：D．
2．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，
点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故选：C．
3．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵点是对角线的中点，点是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴；
故选B．
5．（2025·四川南充·二模）如图，是的外角平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：四边形为平行四边形，
，，
，，
是的外角平分线，
，
故选：B．
6．（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意；
D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意；
故选：C．
7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
解：根据作图可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选D．
8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
9．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ．
解：∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ．
解：连接，
由作图可知， 垂直平分，
∴，
∵点N恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ．
解：∵折叠，
∴，
∵平行四边形纸片，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12
12．（2025·江苏镇江·一模）如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为 ．
解：∵四边形与四边形都是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：2．
13．（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
14．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的度数为．
15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是平行四边形边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
（1）证明：是线段的中点，
．
，
．
在和中，
．
（2），是线段的中点，
．
，
．
又，
∴四边形是平行四边形，
．
17．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
（1）证明：∵，
，
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）得，
，，
∴
即
，
四边形是平行四边形．
18．（2025·浙江宁波·二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中作一个以为腰的等腰△ABC；
(2)在图2中以为边画一个平行四边形．
（1）解：如图所示，等腰△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
19．（2025·山东潍坊·二模）如图，点是的中点，，，请找出图中的平行四边形，并说明理由．
解：四边形，是平行四边形，理由如下：
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形．
20．（2025·浙江杭州·二模）已知：如图，在梯形中，，，E是上一点，且，．求证：
(1)四边形是平行四边形；
(2)是等边三角形．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【二维提升能力】
1．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长 B．的大小
C．四边形的面积 D．线段的长
解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
∴四边形是平行四边形，
则与的面积分别为与面积的一半，
四边形的面积 ，
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
故选：．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
解：点、、分别是边、、的中点
∴为△ABC的中位线，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵，是边的中点，
∴，
故C错误，符合题意，
故选：C．
3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即，
故选：．
4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．12
解：∵在中，对角线，交于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵的平分线和的平分线交于上一点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：A
6．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形；
A．不一定相等，选项错误，不符合题意；
B．不一定相等，选项错误，不符合题意；
C．不一定相等，选项错误，不符合题意；
D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意；
故选：D．
7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点F为的中点，
∴；
故答案为：4．
9．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
解：如图，过点C作，交的延长线于点F，
∵四边形为平行四边形，，
，，，
，
，
，，
， ，
，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
在和中，
，
，
，
在中， ，
故答案为：
10．（2025·江苏淮安·二模）如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点，当恰好为的中点时，则平行四边形的面积为 .
解：∵是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得，，
，
，
∵F为的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴平行四边形的面积为．
故答案为：．
11．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，，点，分别在边上运动，满足，连接，当四边形的周长最小时，则的长为 ．
解：∵，
∴，
四边形的周长，
∴当四边形的周长最小时，最小，此时，
如图，过点A作于点M，
∴，
又∵在中，，即，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.5．
12.（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，分别是边，的中点，连接，与对角线相交于点，，分别是，的中点，若的面积为160，则四边形的面积为 ．
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵，分别是边，的中点，
∴，
，
，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
，
，分别是，的中点，
，
即，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴△ACD∽△OCN，
，
的面积为160，
，
，
，
，
平行四边形的面积为，
故答案为：．
13．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
14．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：
命题1：若连接交于点，则．
命题2：若连接，则．
命题3：若连接，则．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
解：命题1：若连接交于点，则．
命题1是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，且，，
为的中点，
是的中位线，则，
，则；
命题2：若连接，则．
命题2是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
；
命题3：若连接，则．
命题3是真命题，证明如下：
连接，交于，如图所示：
是斜边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
15．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在△ABC中，，分别为边，的中点，．
求证：
(1)；
(2)．
（1）证明：∵，分别为边，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
16．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若 ，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
解：添加②为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，如图，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形．
添加③为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
选择①无法得出四边形是平行四边形．
17．（2025·重庆·一模）学行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，① ，
．
平分，平分，
，．
② ，
③ .
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④ ．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则四边形是菱形．理由如下：
由上可知，四边形是平行四边形，
又平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：，，，四边形是菱形．
18．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且．
(1)求证：；
下面是小轩的证明过程：
证明：四边形是平行四边形，
．①
，
，②
在与△CDF中，
，
；
上述推理过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程．
(2)请添加一个条件 ，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由）
（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误.
证明：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，
∴.
在和△CDF中，
，
∴；
故答案为：②；
（2）解：.（答案不唯一）
∵，，
∴四边形是平行四边形.
当时，
∴四边形是矩形.
故答案为：.（答案不唯一）
19．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点，在对角线上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ．
（1）证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
20．（2025·贵州黔东南·二模）如图，小明在中，进行了如下尺规作图：
①以点B为圆心，以的长为半径作弧交边于点E；
②分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的周长．
解：（1）是等腰三角形．理由如下：
由作图可知，平分，
．
又四边形是平行四边形，
．
．
．
．
是等腰三角形；
（2）如图，连接，由（1）知，
，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形．
，
四边形的周长为20．
【三维探究创新】
1．（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：连接交于点，
①正六边形，
，
和是等边三角形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，故①符合题意；
②，，
，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，故②符合题意；
③，，，
与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意；
④，，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故④符合题意，
则符合题意得有3个，
故选：C．
2．（2025·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，点，，，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
∴，
又∵，，
∴，
∴是平行四边形，
∴当时，的周长最小，这时是矩形，即，
∴
解得：，
故选：B．
3．（2025·福建厦门·二模）如图，已知平行四边形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点，分别落在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，且．若平行四边形的面积为，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
解：如图，连接，
由题意可得：的面积为，
设，则，
∴，，
点在反比例函数上，
∴，
设点的横坐标为，则，
由平行四边形的性质可知，，，
∵由到向上移动，向右移动，
由到向上移动，向右移动，
∴
又∵点在反比例函数上，
，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
故选：C．
4．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解:第一个图形：一组对边平行另一组对边相等，不能判定；
第二个图形：根据四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，可以判定；
第三个图形：一组对边相等，一组对角线被平分，不能判定；
第四个图形：
过点B作交于点E，交于点F，
∵交于点E，交于点F，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴,
又∵，即对角线互相平分，可以判定．
故选：B．
5．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
解:∵，
∴，
如图，当是平行四边形的边时，且．
点可以看作是由点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
点可以看作是由点按同样平移方式得到，或者点是由点按同样的平移方式得到，
点的坐标为或，即或．
当是平行四边形的对角线时，的中点与的中点重合，
同理可得．
又点在象限内，
点的坐标为或．
故选：D．
6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：A．
7．（2025 山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 ．
解：如图，过M作MN⊥AP于N，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴MN：BC＝AM：AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴AMAB＝3，PQ＝2PM，
∴MN：8＝3：10，
∴MN＝2.4，
∵PM≥MN，
∴PQ≥2MN＝4.8，
∴PQ的最小值是4.8．
故答案为：4.8．
8．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ．
解：过A作于点H，
，
在中，．
，
∵，将分成面积相等的四部分，
∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O，
在中，，，
∴，．，，
连接，
∴经过中心点O，
∴，
∵
．
同理得：，
∴，．
设，过作于点Q，
在中，
在中，由三角形面积公式：
．
过E作于延长线上点G，
又，，
且．
在中，
又平行四边形的对称性与面积平衡可得，
，
解得，
．
过M作交于P，过A作于点H，
则．
，．
．
在中，由勾股定理：
．
故答案为：．
9．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
解：如图，在中，，，，
则，
∵是等边三角形，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的平分线交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴直线和直线重合，
即点在上运动，
∵的面积，
则最大时，的面积最大，
根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大，
此时，如图，
则，
∴，
∴，
故答案为：5．
10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
∴，
故答案为： ．
11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
12．（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，，点D是上一点，且，连接，点F是的中点，连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，l与的交点为E；
(2)在（1）的基础上，连接，．求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，直接写出线段的长．
（1）解：如图，直线l即为所作，
（2）证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：∵F是的中点，，
∴，
由（1）知，四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴．
13．（2025·福建莆田·二模）问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
解（1）如图，即为所求，
，，
四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
；
（2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求，
理由如下：
，，
四边形、四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
．
14．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：EF⊥CD．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴
（2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
选择条件②，四边形为菱形，理由如下：
∵
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵EF⊥CD，
∴，
∴四边形为菱形．
15．（2025 吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
【探究发现】解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
【探究证明】证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．平行四边形（原卷版）
【一维夯实双基】
1．（2025·河北唐山·二模）五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形顶点B推至点B落在线段AC上，得到图2，则调整后多边形的外角和（ ）
A．增加了 B．增加了 C．减少了 D．始终为
2．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川南充·二模）如图，是的外角平分线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
9．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ．
11．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则 ．
12．（2025·江苏镇江·一模）如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为 ．
13．（2025·山东济南·中考真题）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
14．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长．
16．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
17．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
18．（2025·浙江宁波·二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中作一个以为腰的等腰△ABC；
(2)在图2中以为边画一个平行四边形．
19．（2025·山东潍坊·二模）如图，点是的中点，，，请找出图中的平行四边形，并说明理由．
20．（2025·浙江杭州·二模）已知：如图，在梯形中，，，E是上一点，且，．求证：
(1)四边形是平行四边形；
(2)是等边三角形．
【二维提升能力】
1．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长 B．的大小
C．四边形的面积 D．线段的长
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．12
5．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
6．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
8．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
9．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
10．（2025·江苏淮安·二模）如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点，当恰好为的中点时，则平行四边形的面积为 .
11．（2025·广西南宁·二模）如图，在中，，点，分别在边上运动，满足，连接，当四边形的周长最小时，则的长为 ．
12.（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，分别是边，的中点，连接，与对角线相交于点，，分别是，的中点，若的面积为160，则四边形的面积为 ．
13．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
14．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题：
命题1：若连接交于点，则．
命题2：若连接，则．
命题3：若连接，则．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
15．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在△ABC中，，分别为边，的中点，．
求证：
(1)；
(2)．
16．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若 ，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
17．（2025·重庆·一模）学行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，这两条角平分线与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写做法，保留作图痕迹）
(2)已知：四边形是平行四边形，连接，平分，平分．
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，① ，
．
平分，平分，
，．
② ，
③ .
，，
四边形是平行四边形．
实践小组进一步研究发现：平行四边形中，若，请你模仿题中表述，补全以下结论：作平行四边形一组对边与一条对角线的两夹角的角平分线，则④ ．
18．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且．
(1)求证：；
下面是小轩的证明过程：
证明：四边形是平行四边形，
．①
，
，②
在与△CDF中，
，
；
上述推理过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程．
(2)请添加一个条件 ，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由）
19．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，点，在对角线上，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，四边形的面积为2，则的面积为 ．
20．（2025·贵州黔东南·二模）如图，小明在中，进行了如下尺规作图：
①以点B为圆心，以的长为半径作弧交边于点E；
②分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的周长．
【三维探究创新】
1．（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，点，，，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建厦门·二模）如图，已知平行四边形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点，分别落在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，且．若平行四边形的面积为，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以A，B，C，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025 山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 ．
8．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ．
9．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，将沿（点分别在边上）折叠，使点与点重合，点落在平面上点处．若，，，则的长为 ．
11．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
12．（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，，点D是上一点，且，连接，点F是的中点，连接．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，l与的交点为E；
(2)在（1）的基础上，连接，．求证：四边形是平行四边形；
(3)若，，直接写出线段的长．
13．（2025·福建莆田·二模）问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
14．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：EF⊥CD．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
15．（2025 吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
