二次函数：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题训练
考点目录
直角三角形存在性问题 等腰三角形存在性问题
等腰直角三角形存在性问题 三角形相似问题
例1．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为．
(1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标．
例2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点．
(1)求的值．
(2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．
例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当的值最大时，求此时点的坐标；
(4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________．
变式1．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点．
(1)A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大；
(4)在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由．
变式3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标；
(3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标．
例1．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标．
例2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
例3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出当的面积为3时，的值；
(3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
变式1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
(1)求出二次函数的解析式．
(2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标．
(3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标．
变式2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行于y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值．
(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标．
例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)无论k取何值，此抛物线必经过一个定点，这个定点的坐标是____；
(2)如图1：若，点P为抛物线上一点，且在B、C两点之间运动．是否存在点P使得的面积取得最大值？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2：若，并将此抛物线上下平移，它的顶点是D，与x轴有两个交点E、F，如果是一个等腰直角三角形，问如何平移？
例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为 ；
(3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标．
(4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
变式1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______；
(3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标．
(4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
变式2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式和点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)求直线函数解析式；
(4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标．
例1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，．
(1)求点的坐标和抛物线的解析式；
(2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
例2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和C点坐标；
(2)当线段的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
例3．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点．
(1)求的面积；
(2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标．
变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如图1所示，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线下方的抛物线上存在一个动点P，使四边形的面积为16，试求出点P的坐标；
(3)如图2，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，点Q为上的一个动点，求的最小值．
变式3．（25-26九年级上·上海·月考）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点．
(1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．二次函数综合：特殊三角形存在性问题、三角形相似问题训练
考点目录
直角三角形存在性问题 等腰三角形存在性问题
等腰直角三角形存在性问题 三角形相似问题
例1．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为．
(1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为，
(2)
(3)或或或．
【详解】（1）解：根据题意，得
，解得，
∴抛物线解析式为；
令，解得，
∴．
由直线经过两点，得
，解得，
∴直线解析式为．
（2）解：设点的坐标为，连接，
因为对称轴为，，
所以，故，
因为，故，
，
∴当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：设，
又，，
，，，
①若点为直角顶点，则，
即：，解得：；
②若点为直角顶点，则，
即：，解得：，
③若点为直角顶点，则，
即：，
解得： ， ；
综上所述的坐标为或或或．
例2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点．
(1)求的值．
(2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或或；
(3)点的坐标为或或或
【详解】（1）解：把，代入中得：
，
解得，；
（2）解：由（1）知，，
设点，
∵，，
，
的面积为8，
，
当时，，即，
解得，
∴点的坐标为；
当时，，即，
解得，，，
∴点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或；
（3）解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴,
设，
，
，，
，
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为或；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或．
例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当的值最大时，求此时点的坐标；
(4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴于E，
令，则，
解得或，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，过点P作轴交直线于F，
∴，
∴，
∵是个定值，
∴当最大时，有最大值，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，此时点P的坐标为；
（4）解：设点Q的坐标为；
当时，如图所示，
过点P作轴于，过点Q作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（不符合题意）；
当时，如图所示，过点P作轴于，过点Q作轴于，
同理可证，
∴，即，
解得或（不符合题意）；
当时，如图所示，过点Q作轴于，过点P作于，
同理可证，
∴，即，
解得或；
综上所述，点Q的横坐标为或或或．
故答案为：或或或．
变式1．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②点E的坐标是或
(3)点的坐标是或或或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
①∵的面积为，
∴，
解得：，，
∴当的面积为时，点的横坐标为或；
②直线能把分成面积之比为的两部分．理由如下：
∵轴于点，，
∴与的底在同一直线上，高为，
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
综上所述，直线能把分成面积之比为的两部分，点的坐标是或；
（3）抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，
，
，
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此时点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点．
(1)A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大；
(4)在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)抛物线的解析式为
(3)当时，的面积最大，最大值是9
(4)存在点或，使为直角三角形
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
故答案为：6，0；0，；
（2）解：将、代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：过点P作轴于D，交于点E，如图1所示．
设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值是9；
（4）解：当时，有，
解得：，，
∴点C的坐标为，
设点Q的坐标为，
则，，，
分以下三种情况讨论：
当时，有，
即，
解得：；
当时，有，
即，
解得：；
当时，有，
即，
方程无解．
综上所述：在直线上存在点或，使为直角三角形．
变式3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标；
(3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）解：将、两点代入，
，
解得，
抛物线解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：，，
，
设点，则，
，
当时，，
解得，，
此时或；
当时，，
此时方程无解；
综上所述，P点坐标为或．
（3）解：依题意，设，
由（1）得，
∵，
∴，
，
∵为直角三角形，
∴当时，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
此时；
∴当时，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
此时；
∴当时，如图所示：
则，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
则
解得，
此时或，
综上：E的坐标为或或或．
例1．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点E的坐标为或．
【详解】（1）解：将点，代入关系式，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形，
∴点E的坐标为，
当时，，
整理得，
解得，
∴点E的坐标为或．
例2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，
【详解】（1）解：对于直线，
当时，；时，；
∴，，
∵，
设二次函数解析式为，
代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴，
∵，
∴；
①如图1，当时，，
∴，；
②如图2，当时，
过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：存在，，，．
例3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求出当的面积为3时，的值；
(3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)的值为
(3)或或或
【详解】（1）解：将，代入中，
，
解得：，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：对，令，则，
∴；
如图
设直线的解析式为：，将，代入，得
，
解得：，，
直线的解析式为：，
，，点、分别是抛物线和直线上的点，
点坐标为，点坐标为，
，
，，
，
解得：，，
，，符合点是线段上的一个动点，
的值为．
（3）解：设点的坐标为：，
由，可知，
，，，
若是等腰三角形，则
①当时，即，得，解得：，，
∴点的坐标为或；
如图
或
②当时，即，得，解得：，（舍去），
∴点的坐标为；
如图
③当时，即，得，解得：，
∴点的坐标为；
如图
综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或．
变式1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
(1)求出二次函数的解析式．
(2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标．
(3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为或或或
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
将、、代入解析式可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入解析式可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，为，此时，
∴；
（3）解：由（2）可得：，，，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，如图：
解得：或或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点，，两点重合，不符合题意；
当时，，此时点，，符合题意；
当时，，如图：
解得：或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点，，符合题意；
当时，，如图：
解得：或或，
∵，
∴不符合题意，舍去，
当时，，此时点,，符合题意；
当时，，此时点,，符合题意；
综上所述，点的坐标为或或或．
变式2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行于y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，
(2)的最大值为，
(3)存在，点P的坐标为或或或
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当时，；
当时，，
解得：，
，
∵抛物线经过两点，
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得：，
，
∵，
∴设直线表达式为，把代入，
，
解得：，
∴直线表达式为，
设，则，
，
∴当时，的最大值为，
∵M在直线上，
当时，，
；
（3）解：存在．如图，
由（2）得，当最大时，则，
；
，
．
∵点P在x轴上，
当点与原点O重合时，则；
当时，则，
；
当点与点D重合时，
则，
∴；
当时，则，
．
综上所述，存在以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或．
变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值．
(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点、，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将代入得：
解得，
直线的表达式为，
如图，设点，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
（3）解：二次函数的对称轴为直线，
设，
将代入，则，
∴，
∵，
∴，
∵点的水平距离为，竖直距离为，
∴由勾股定理得，，
同理，得，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴或，
当时，则，即，
解得或，
∴点的坐标为或；
当时，则，即，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
例1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)无论k取何值，此抛物线必经过一个定点，这个定点的坐标是____；
(2)如图1：若，点P为抛物线上一点，且在B、C两点之间运动．是否存在点P使得的面积取得最大值？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2：若，并将此抛物线上下平移，它的顶点是D，与x轴有两个交点E、F，如果是一个等腰直角三角形，问如何平移？
【答案】(1)
(2)存在，点P坐标为
(3)平移方式为：将二次函数向下平移8个单位
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴当时，即，
代入得，
∴无论k取何值，抛物线必经过定点；
（2）解：当时，
，
当时，，
解得或，
∴点A为，点B为，
当时，
，
∴点C为，
设点P为，其中，直线的函数解析式为，且直线与y轴交点于点D，
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数解析式为，
当时，
，
∴点D为，
∴的面积为
，
∵，
∴开口向上，有最小值，且当时，函数值越来越大，
又∵，
∴当时，即点P与点B重合时，的面积取得最大值，
∴
，
此时点P为；
（3）解：当时，
，
∴点D为，
由题意得，设抛物线上下平移h个单位，
∴平移后的解析式为，
∴顶点为，
由题意得，点E、F关于对称轴对称，
则设、，
∴代入二次函数得
，
∵为等腰直角三角形，
∴，且，
∴
，
，
∴
，
又∵
∴
解得，
当时，，
∴E、F重合，舍去，
当时，，
∴此时、、，
∴平移方式为：将二次函数向下平移8个单位．
例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为 ；
(3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标．
(4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐标为或
(4)在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，
将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）对称轴为直线，，
点B横坐标为，C横坐标为1．
把代入抛物线解析式得：，
．
如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，
此时取得最小值，则此时的周长最小，
设直线解析式为，将点B的坐标代入得：，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
解得：，
点D的坐标为，
故答案为：；
（3）解：由（2）得：，
设直线解析式为，
，解得：，
直线解析式为，
设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，
，
，
直线将的面积分成两部分，
或，
或，
，
或，
或，
点P的横坐标为或，
把代入得：，
此时；
把代入得：，
此时，
综上所述，点P的坐标为或；
（4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下：
设点Q的坐标为，
设交y轴于点K，则，
根据题意得：，
如图3，过点M作于点N，则，此时,
，
，
在和中
，
，
,
，
点，
把点代入得：，
解得：（不合题意，舍去）或0，
此时点Q的坐标为；
如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，,
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得：或（不合题意舍去），
；
如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得： （不合题意舍去）或，
；
如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，
同理，
，
，
点，
把点代入得：，
解得：或0（不合题意，舍去），
点；
综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或
变式1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______；
(3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标．
(4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)存在，或或或
【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵对称轴为直线，，
∴点横坐标为，横坐标为1．
把代入抛物线解析式得：，
∴，．
如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，
此时取得最小值，则此时的周长最小，
设直线解析式为，
把坐标代入得：，
解得：，
即直线解析式为，
令，解得，
即点D的坐标为；
故答案为：
（3）解：由（2）得：，，
设直线解析式为，
∴
解得：，
∴直线解析式为，
设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，
∴，
∴．
∵直线将的面积分成两部分，
∴或，
∴或，
∵，
∴或
∴或，
∴点P的横坐标为或，
把代入得：，
此时；
把代入得：，
此时；
综上所述，点P的坐标为或；
故答案为：或
（4）解：存在，
设点Q的坐标为，
设交y轴于点K，则，
根据题意得：，
如图，过点M作于点N，则，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点，
把点代入得：
，
解得：（舍去）或0；
此时点Q的坐标为；
如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，，
同理
∴，，
∴，
∴点，
把点代入得：
，
解得：或（舍去），
∴点；
如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，，
同理
∴，，
∴，
∴点，
把点代入得：
，
解得：（舍去）或；
∴点；
如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，，
同理
∴，，
∴，
∴点，
把点代入得：
，
解得：或0（舍去）；
∴点；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
变式2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式和点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)求直线函数解析式；
(4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为；
(2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
(3)直线函数解析式为；
(4)点坐标为或．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数解析式为，
∵点横坐标为，且在抛物线上，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：由（）得点坐标为，
∵点坐标为，
设直线函数解析式为，
∴，解得：，
∴直线函数解析式为；
（4）解：设，则，
如图，当，，
∴，
解得：（舍去）或，
此时点坐标为；
如图，当，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
此时点坐标为；
综上可得：点坐标为或．
例1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，．
(1)求点的坐标和抛物线的解析式；
(2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）解：∵与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：由（1）可知直线解析式为，
∵为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，，
∴，，
∴，， ，
∵相似，且，
∴或，
当时，则有，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
例2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和C点坐标；
(2)当线段的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或
【详解】（1）解：由A、B的坐标分别为、，
则抛物线的表达式为：，
解得：，，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，
故点；
（2）解：由点A、C的坐标得直线的表达式为：，
设点D的横坐标为m，
则点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，点；
（3）解：存在，理由：
点，则，，
以点O，D，E为顶点的三角形与相似，
则或，即或，
即或，
解得：或（舍去）
解得或（舍去），
综上：或．
例3．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点．
(1)求的面积；
(2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标．
【答案】(1)的面积为
(2)点的坐标为或
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
将代入 ，
得，解得，
函数表达式为，
∴点、、，
令直线表达式为，
由、，
得，解得，
∴直线表达式为，
过点作垂直于轴，交于点，如下图所示：
当时，，
∴，
∴，
∴，
故的面积为．
（2）解：，
，
，
设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种：
当时，
有，即，
由，解得，
由，解得或，
故该情况下；
当时，
有，即，
由，解得，该方程无解，
则不存在该情况；
当时，
有，即，
由，解得，
由，解得或，
故该情况下；
综上，点的坐标为或．
变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，的值最大，最大值为；或．
【详解】（1）解：把，，代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为：，
由题知，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
存在，理由如下：
∵轴，即轴，
∴，
∵是直角三角形，
∴要使相似，只有保证是直角三角形即可，
当时，如图，
∴，
此时轴，关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由知，
∵，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
变式2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如图1所示，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线下方的抛物线上存在一个动点P，使四边形的面积为16，试求出点P的坐标；
(3)如图2，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，点Q为上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)的最小值为
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为：，
令，解得或，
∴，，
∵，
设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
设点P的横坐标为m，则，过点P作轴交于点M，
∴，
∴，
∴
，
∵四边形的面积为16，
∴，
解得，，
∴或．
（3）解：如图，过点B作交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点F的纵坐标为：，
∴．
在上取，过点E作，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，
则，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
则的最小值为．
变式3．（25-26九年级上·上海·月考）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点．
(1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或．
【详解】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
顶点D的坐标为；
（2）解：抛物线与y轴交于点A，
当时，，
,
,，
，，，
，
是直角三角形，且，
，，
，
，
，，
，
，即，
若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形，
也是锐角三角形，且点在第四象限，
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
点P在直线上，
设，
如图，过点作于点，则，，
当时，则，
，
，
解得，此时，
点P的坐标为．
当时，则，
，
，
解得，此时，
点P的坐标为．
综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．
