二次函数综合：面积问题、角度问题训练
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面积问题 角度问题
例1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或或
【详解】（1）解：抛物线过点、，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：存在点Q，使得与的面积相等，
，
顶点，
当时，，则，
设直线的解析式为，
过点，，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
与的面积相等，
，
如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F，
设，则，
，
，
，即，
或，
解得或2或或，
，
舍去，
当时，；
当时，；
当时，；
或或．
例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)过点A作轴于点，以、为邻边作．
①当时，求的面积．
②当线段被轴分成的两部分时，求的值．
③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或；③或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴函数表达式为：．
（2）①解：∵点在抛物线上，且点的横坐标为，点的坐标为，
∴当，，，
∵，
∴点，
∴，
∴．
②解：∵轴，
∴点的横坐标为，
∴，
设点的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，
当时，点在点的右侧，
∴，
解得：；
当时，点在点的左侧，
∴，
解得：，
∴点在上，
∴当线段被轴分成两部分时，点需在轴的左侧，即点，如图，
过点作轴于点，
∵，
∴，
当，有，解得：；
当，有，解得：；
综上所述，线段被轴分成的两部分时，的值为或．
③解：∵点的坐标为，
∴，
解得：，
∴点在直线上运动，
∵，
∴，
当时，，此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意；
当时，点与点重合，平行四边形不存在；
当时，此时，，不符合题意；
当时，，此时不符合题意；
∵，
∴顶点为，
∴点的纵坐标为，即；
当时，，；
此时点为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意；
当时，此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意；
当时，不符合题意；
综上所述，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，的取值范围为：或．
例3．（25-26九年级下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点N的坐标；
(3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴过点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
和以为公共底边，
这两个三角形的面积比等于点和点到直线的水平距离之比．
∴，
设，对其配方：
由题意，点在直线下方的抛物线上，且在对称轴右侧，
．
在时，随的增大而增大，
，分子为定值，
越大，越小．
当取最大值时，
的最小值为1．
例4．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图，连接，求直线的解析式；
(3)如图，点是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为
【详解】（1）解：∵点，，
∴把点，代入，
得，
解得，
∴该抛物线的函数解析式为．
（2） 解：∵抛物线与轴交于点，
点．
设直线的解析式为，代入，
则，
解得，
直线的解析式为．
（3）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点．
，
．
，
，
，
又∵
．
设点，
则点，
，
，解得，
点的坐标为．
变式1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的横坐标为或
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
当时，，
，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（3）解：设，则，
，
的面积为，
，
解得：，，
∵轴于点，
当的面积为时，点的横坐标为或．
变式2．（25-26九年级上·山东威海·期末）直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B．
(1)直接写出c的值： ；
(2)当时，抛物线有最小值，求a的值；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值．
【答案】(1)2
(2)a的值为
(3)面积的最大值为
【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴交于点A，B，
∴，，
又∵抛物线过点B，
∴．
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
当，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
∴，
解得，
当，时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，此时，
∴，得（舍），
综上，．
（3）解：由（2）可知，抛物线的表达式为，
如图，过点P作y轴的平行线，交于点Q．
设，则．
∴．
∴．
当时，取到最大值为：
∴面积的最大值为．
变式3．（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
(1)用配方法将二次函数化为的形式；
(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；
(3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3),此时
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴在这个范围内，
∴二次函数的最小值为，
∵，
∴当时，取得最大值，且最大值为，
故的取值范围为．
（3）解：由得，
解方程得，得，
点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m，
故
过点P作轴于点F，交直线于点Q，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设，则，
则，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当，的面积最大，且最大值为，此时．
变式4．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
(3)设为直线上方的抛物线上一点，连结、，以、为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为____________；
(4)如图2，若在轴上有两个动点、，且，则的最小值为____________．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设点M的坐标为，
∵，，
∴，
，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，；
∴点M的坐标为或；
（3）解；如图，过点作轴交于点，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值；
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当最大时，有最大值，
∴的最大值为；
（4）解：如图，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，，，
则，，
由轴对称的性质可得，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵，
∴的最小值为．
例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标．
(3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)Q点坐标为或
(3)存在，点P坐标为或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由抛物线的解析式为，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴点到的距离与点到的距离相等，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，，即，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
∴点的坐标为或．
（3）解：存在．
∵抛物线交y轴于点，经过点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当射线在的右侧时，
∵，
∴轴，
∴点与点重合，
∵，
∴，
∴；
②当射线在的左侧时，
∵，
∴，
设，则，
∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作平行轴交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式：
(3)在（2）的条件下，过点作轴于点，连接，作交的延长线于点，过点作的垂线交轴于点，作的角分线交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，得，故，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
令，得，解得或，故，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，
过点作轴的平行线，交于点，则，
∴，
∵、两点的水平距离为，
∴，
∴与的函数解析式为；
（3）解：过点作轴于，则，
过点作于，则，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，．
∵，
∴，
．
∵，
．
平分，
．
∵，，
∴．
又，
，
，
∴．
∵，
∴，
∴
即，解得，
此时，．
由，得，即，解得．
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，即，解得．
∴点的坐标为．
例3．（25-26九年级下·湖南常德·开学考试）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为4，此时
(3)，
【详解】（1）解：把，代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点Q作轴于点D，如图：
当时，，即，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：
∴直线的解析式为：，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为4，此时；
（3）解：设直线的表达式为：，
把，代入得：，
解得： ，
∴直线的表达式为：，
将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，
则，
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴，
联立上式和直线的表达式得：，
解得：或（舍去），
∴点，
当点M在下方时，如图，此时点的位置为，
∵，
∴，
则直线的表达式为：，
联立和新抛物线的表达式得：，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴；
当点M在上方时，令点关于直线的对称点为，作直线交新抛物线于，
由轴对称的性质可得，
∴，即点即为所求，且点和点的中点在直线上，，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
设直线的表达式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的表达式为，
联立和新抛物线的表达式得，
解得：或（不符合题意，），
∴；
综上所述，，．
例4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在轴上的交点的连线与轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点（点在点的右侧）、与轴交于点，顶点为点，且．
(1)求证：抛物线是“半垂抛物线”；
(2)已知点是抛物线上一点，横坐标为，连接．
①若点位于轴下方，且，求直线的解析式；
②若，求此时的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【详解】（1）解：连接，
∵抛物线交轴于点，
∴，即，
∴抛物线为，
∴点；，对称轴为，
∴
∵，
∴，
解得：，
即抛物线解析式为，
∴点，
∴，
∴，
故该抛物线为“半垂抛物线”，
（2）解：①如图，设直线交轴于点，过点作，设延长交轴于点，
由（1）可知：点；，
∴直线的解析式为：，
∴直线与轴交点坐标为，
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴点，
∴直线的解析式为：，
联立抛物线和直线解析式得：
，
解得：，，
即点，
∵点，，
∴直线的解析式为，
②解：如图所示，作的外接圆，交抛物线于点，则
∵点是的外接圆的圆心，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴点在上，
设，
∵，
∴
解得：
∴,
∴
设
∵
∴
整理得，
即
∵不与重合，
∴
∴
变式1．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．
(1)若，求顶点的坐标及线段的长；
(2)连接，，，若，求点的坐标．
【答案】(1)D的坐标为，
(2)
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
则抛物线顶点的坐标为，
令，则或，
，，
．
（2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
则，，
解得：，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
如图，过点作交的延长线于点，垂足为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
令，解得，
．
，，
∴，
∴，
是的中点，
．
点在直线上，
，
解得：（舍去）或，
．
变式2．（25-26九年级下·重庆·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)11或
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
代入抛物线得：
，解得：，
∴．
（2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，
则，，
∴，
∵，
∴当时，最大，
此时，，即，
由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，得，，
∴，，
∴，，
∴，
∴最小值为．
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图：连接，
∴
∴，
∴
如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，
解得：（舍），，即点K的横坐标为11；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，解得：（舍），，
故点K的横坐标为．
综上所述，点K的横坐标为11或．
变式3．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
(3)存在，的坐标为或
【详解】（1）解：当时，代入，解得，
∵抛物线交轴于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交轴于，且过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为：，
不妨设点，那么，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴此时，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为：，
∵，
∴不妨设直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，最小，
过点作，过点作交于，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为，
如下图所示，、、三点共线：
不妨设点，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴，
同理，∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知，，，，
∴，且点为的中点，
∵轴于点，交于点，
∴，垂直平分线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当点满足时，
则，
∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，
如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T，
∴，
在上取，连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点在第一象限，
如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，
则四边形和为矩形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
不妨设，则，
∵四边形和为矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点Q的坐标为或．
变式4．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的横坐标为或
【详解】（1）解：∵中，
∴当时，，即，
．
，
，，
，．
将，代入，
得，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
直线的解析式为，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
新抛物线的解析式为．
①如图：当点在轴下方时．
，，
，
是的平分线．
点关于轴的对称点为，
直线的解析式为．
当时，解得（舍去）或，
点的横坐标为；
②如图：当点在轴上方时．
，
是等腰三角形，
．
设，
，解得或舍去，
，
直线的解析式为．
令，解得或舍去，
点的横坐标为．
综上所述，点的横坐标为或．二次函数综合：面积问题、角度问题训练
考点目录
面积问题 角度问题
例1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)过点A作轴于点，以、为邻边作．
①当时，求的面积．
②当线段被轴分成的两部分时，求的值．
③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
例3．（25-26九年级下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点N的坐标；
(3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值．
例4．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图，连接，求直线的解析式；
(3)如图，点是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点，当时，求点的坐标．
变式1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标．
变式2．（25-26九年级上·山东威海·期末）直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B．
(1)直接写出c的值： ；
(2)当时，抛物线有最小值，求a的值；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值．
变式3．（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
(1)用配方法将二次函数化为的形式；
(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；
(3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标．
变式4．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
(3)设为直线上方的抛物线上一点，连结、，以、为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为____________；
(4)如图2，若在轴上有两个动点、，且，则的最小值为____________．
例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标．
(3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作平行轴交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式：
(3)在（2）的条件下，过点作轴于点，连接，作交的延长线于点，过点作的垂线交轴于点，作的角分线交于点，若，求点的坐标．
例3．（25-26九年级下·湖南常德·开学考试）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标．
例4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在轴上的交点的连线与轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点（点在点的右侧）、与轴交于点，顶点为点，且．
(1)求证：抛物线是“半垂抛物线”；
(2)已知点是抛物线上一点，横坐标为，连接．
①若点位于轴下方，且，求直线的解析式；
②若，求此时的值．
变式1．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．
(1)若，求顶点的坐标及线段的长；
(2)连接，，，若，求点的坐标．
变式2．（25-26九年级下·重庆·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
变式3．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
变式4．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
