2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示（含解析）

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
一．选择题
1．设x为实数，若向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则x的值为(　　)
A．－ B．－4
C． D．4
2．(多选题)若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(　　)
A．(，－) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
3．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若E为AF的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(多选题)下列各组向量，不能构成表示平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A．e1＝(1，2)，e2＝(4，－2)
B．e1＝(1，2)，e2＝(0，0)
C．e1＝(1，2)，e2＝(2，4)
D．e1＝(1，2)，e2＝(2，1)
5．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若以点A，B，C为顶点能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
二．填空题
6．若a＝(3，4)，b∥a，且b的起点为(1，2)，终点为(x，3x)，则b＝________.
7．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
9．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1，－m)，c＝(2，1)，b－a与c共线，则m＝________.
10．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________.
三．解答题
11．已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，求的坐标。
12．已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，n＝a＋kb(k∈R)．
(1)分别求2a－b，n的坐标；
(2)若向量c＝(1，－1)，且n与向量kb＋c平行，求实数k的值．
13．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c的的坐标；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)若线段AB的中点为M，线段BC的一个三等分点为N(点N靠近点B)，求.
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
一．选择题
1．B　解析：因为向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4.故选B．
2．AD　解析：因为a＋2b＝(，－3)，
×－(－1)×(－3)＝0，所以(－1，)与a＋2b是共线向量．
同理×(－) －(－3)×＝0，所以(，－)与a＋2b是共线向量．故选AD．
3．B　解析：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设|EF|＝1.又E为AF的中点，
所以E(0，0)，G(1，1)，C(2，1)，A(－1，0)，B(1，－1)，D(0，2)，则＝(2，1)，＝(2，－1)，＝(1，2)．
由＝λ＋μ，得(2，1)＝λ(2，－1)＋μ(1，2)，
所以解得则λ＋μ＝.故选B．
4．BC　解析：A，D选项，e1，e2不平行，可以作为基底；B选项，零向量和任意向量平行，所以e1，e2不能作为基底；C选项，2e1＝e2，所以e1，e2平行，不能作为基底．故选BC．
5．ABD　解析：因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，得m＝1，所以只要m≠1，以A，B，C三点为顶点即可构成三角形．故选ABD．
二．填空题
6． 　解析：因为b＝(x－1，3x－2)，且 a∥b，所以3(3x－2)－4(x－1)＝0，解得x＝，所以b＝.
7．－9　解析：＝(－8，8)，＝(3，y＋6)．因为A，B，C三点共线，即∥，所以－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.
8． 1　解析：因为A，B，C三点共线，
所以存在λ∈R，使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以x＝1－λ，y＝λ，所以x＋y＝1.
9． 3　解析：由题意知b－a＝(－2，－m＋2)，因为b－a与c共线，所以2×(－m＋2)－(－2)×1＝0，解得m＝3.
10． (3，1)或(1，－1)　解析：因为A(2，0)，B(4，2)，所以＝(2，2)．因为点P在直线AB上，且||＝2||，所以＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，因此点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．
三．解答题
11．解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意得，＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．
因为＝，所以解得所以C(0，4)．
又因为＝－，
所以解得
所以D(－2，0)．所以＝(－2，－4)．
12．
解：(1)依题意，2a－b＝2(－3，1)－(1，－2)＝(－7，4)，
n＝a＋kb＝(－3，1)＋k(1，－2)＝(k－3，1－2k)．
(2)由(1)知n＝(k－3，1－2k)，而kb＋c＝k(1，－2)＋(1，－1)＝(k＋1，－2k－1)，
由n与向量kb＋c平行，得(k－3)(－2k－1)＝(1－2k)(k＋1)，解得k＝－，
所以实数k的值是－.
13．
解：(1)因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝a，＝b，＝c，
所以a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)，
所以3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42)．
(2)mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
因为a＝mb＋nc，所以
解得
(3)因为线段AB的中点为M，线段BC的一个三等分点为N(点N靠近点B)，
所以＝＝，＝＝(－2，－1)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，即(x1＋2，y1－4)＝，(x2－3，y2＋1)＝(－2，－1)，
所以且
解得即点M的坐标为，点N的坐标为(1，－2)，所以＝.
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