2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：6.3.5平面向量数量积的坐标表示（含解析）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一．选择题
1．(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．若正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
3．若a＝(1，2)，b＝(m，3)，|a＋b|＝|a－b|，则实数m＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
4．在△ABC中，⊥，且||＝||＝，M是BC的中点，O是线段AM的中点，则·(＋)的值为(　　)
A．0 B．－
C．－ D．2
5．(多选题)已知a＝(t，－2)，b＝(－4，t)，则(　　)
A．若a∥b，则t＝±2
B．若a⊥b，则t＝0
C．|a－b|的最小值为2
D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0，＋∞)
6．(多选题)已知向量a＝(－1，3)，b＝(x，2)，且(a－2b)⊥a，则(　　)
A．b＝(1，2)
B．|a－2b|＝25
C．向量a与向量b的夹角是45°
D．向量a在b上的投影向量是(1，2)
7．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使得·有最小值，则点P的坐标为(　　)
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
8．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)
A．{2,3} B．{－1,6}
C．{2} D．{6}
9．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)
A．11 B．5
C．－14 D．10
二．填空题
10．已知向量a＝(m＋3，m－1)，b＝(－1，－1)，且|a|＝2|b|，则|a＋b|＝__________.
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，且a⊥b，则与b方向相同的单位向量为______.
12．在2×4的方格纸中，起点和终点均在格点的向量a，b如图所示，则向量a＋b，a－b的夹角的余弦值是________.
三．解答题
13．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)2；
(3)(a＋b)·(a－b)．
14．已知向量a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
15．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一．选择题
1．D　解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.
故选D．
2．B　解析：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以＝(1，2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3.故选B．
3．B　解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，即m＋6＝0，解得m＝－6.故选B．
4．C　解析：如图，以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(，0)，C(0，)．
因为M是BC的中点，所以M.因为O是线段AM的中点，所以O，
所以＝，＝，＝，所以＋＝，
所以·(＋)＝－×＋×＝－.
故选C．
5．AB　解析：已知a＝(t，－2)，b＝(－4，t)，
若a∥b，则t2＝－2×(－4)＝8，解得t＝±2，故A正确；
若a⊥b，则a·b＝－4t－2t＝0，解得t＝0，故B正确；
a－b＝(t＋4，－2－t)，|a－b|＝＝，
当t＝－3时，|a－b|有最小值，故C错误；
当t＝2时，a＝(2，－2)，b＝(－4，2)，b＝－a，
向量a与向量b的夹角为180°，故D错误．
故选AB．
6．ACD　解析：对于A，因为a＝(－1，3)，b＝(x，2)，所以a－2b＝(－1，3)－2(x，2)＝(－1－2x，－1)，
因为(a－2b)⊥a，所以1＋2x－3＝0，解得x＝1，故b＝(1，2)，故A正确；
对于B，由A选项可知a－2b＝(－3，－1)，故|a－2b|＝，故B错误；
对于C，cos〈a，b〉＝＝＝＝，所以向量a与向量b的夹角是45°，故C正确；
对于D，向量a在向量b上的投影向量为＝＝(1，2)，故D正确．
故选ACD．
7．C　解析：设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·取得最小值1.
此时点P的坐标为(3，0)．故选C．
8． 　∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C．
9．∵a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)．所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A．
二．填空题
10． 　解析：由|a|＝2|b|，得|a|2＝4|b|2，即(m＋3)2＋(m－1)2＝8.
整理得m2＋2m＋1＝0，解得m＝－1，
所以a＝(2，－2)，所以a＋b＝(1，－3)．
故|a＋b|＝＝.
11． 　解析：因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，且a⊥b，所以a·b＝x＋2＝0，所以x＝－2，故b＝(－2，1)．所以与b方向相同的单位向量为＝.
12．－　解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3，2)，所以a＋b＝(5，1)，a－b＝(－1，－3)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝.
所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.
三．解答题
13．
(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a·b＝3×1＋(－1)×　(－2)＝5.
(2)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(4，－3)，
因此，(a＋b)2＝42＋(－3)2＝25.
(3)由已知可得a－b＝(2,1)，则(a＋b)·(a－b)＝4×2＋(－3)×1＝5.
14．
解：(1)设a与b的夹角为θ.
因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，
|b|＝＝，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，所以(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
15．
(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
所以＝(1，1)，＝(－3，3)．
又因为·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)解：因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝.
设点C的坐标为(x，y)，
则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
所以解得
所以点C的坐标为(0，5)．
由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，
所以·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
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