复合音函数
一、回归教材
2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 250 页阅读与思考:
阅读与思考
振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为 24 小时的生理运动称为中周期运动, 如血压、血糖浓度的变化; 小于 24 小时的叫短周期运动, 如心跳、脉搏每分 50~70 次、呼吸每分 16~24 次；大于 24 小时的叫长周期运动, 如人的情绪、体力、智力等.
声音中也包含着正弦函数, 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波. 每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数 . 音有四要素: 音调、响度、音长和音色. 这都与正弦函数的参数有关. 响度与振幅有关, 即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大，音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小. 音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利. 像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为 的基音的同时,其各部分, 如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动, 产生的频率恰好是全段振动频率的倍数,如 等. 这些音叫谐音,因为其振幅较小,我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是 .
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同, 但音色不同, 人们由此分辨出不同的声音.
周期函数产生了美妙的音乐!
二、挖掘考点
1. 复合音函数
复合音函数是描述声音合成的数学模型, 常见形式为
(1)物理意义
复合音由多个纯音叠加而成，纯音模型为 . 发声体振动时， 基音频率为 ，其部分振动产生的频率为 ， ， ， ，这些频率的正弦函数叠加形成复合音.
(2)函数性质
①周期性: 的周期为 .
证明: 的定义域为 ,且 ,所以 的周期为 .
②对称性:图象关于点 对称.
证明: ,
所以对任意 有
所以 的图象关于 对称
③单调性与极值:例如 在 上有 2 个极大值和 1 个极小值点.
(3)应用场景
常用于分析声音信号、音乐合成等领域，通过研究函数的性质(如零点、 极值)可理解声音的特征.
2.Fejér-Jackon 不等式及证明
Fejér-Jackon 不等式: 当 时, .
证明: 当 时, ,
令 ,得 ,或 ,
当 时, ,或 ,
即 ,或 ,
则 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
同理可得, 在剩余的区间中单调递增与单调递减交替出现,则 的极小值点为 ,
下面用数学归纳法证明: 当 时, .
(1)当 时， ，在 时满足条件；
(2)假设当 时成立，即当 时， 0 , 则
当 时, ,极小值点 ,
,即当 时, .
由( 1 )、( 2 )可知，当 时， 对 成立.
三、面向高考
例 1 函数 在 的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】 ,令 ,则 ,或 ,所以 ,又 ,所以 ,或 ,或 ,故选 B.
例 2 已知函数 ,则 的最小值是_____.
【答案】
【解析】方法一:
令 ,得 ,或 ,
的最值点满足
的最小值是 .
方法二: ,
,
设 ,则 ,
,
当 时, ,当 时, ,
函数 在 上单调递增,在 , 1) 上单调递减,
当 时, ; 当 时, ,
,即 ,
的最小值是 .
方法三: ,
当且仅当 ,即 时等号成立.
,
的最小值是 .
四、模拟演练
1.(广东省实验中学 2024-2025 学年高一下学期期中考试 8)声音是由物体振动产生的声波. 我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 . 音有四要素:音调，响度，音长和音色，它们都与函数 中的参数有关，比如:响度与振幅有关，振幅越大的度越大，振幅越小响度越小; 音调与频率有关, 频率低的声音低沉, 频率高的声音尖利. 像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音. 我们听到的声音函数是 ,结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是_____( ).
A. 函数 具有奇偶性
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 若声音甲对应函数近似为 ,则声音甲的响度不一定比纯音 的响度大
D. 若某声音乙对应函数近似为 ，则声音乙一定比纯音 更低沉
2. (安徽省合肥一六八中学 2023 届高三最后一卷 6) 数学与音乐有着紧密的关联. 声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的. 纯音的数学模型是函数 ， 我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音. 已知刻画某复合音的函数为 ,则其部分图象大致为 ( )
A
B
C
D
3. 声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的. 已知纯音的数学模型是函数 . 我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则()_____
A. 的最大值为
B. 为 的一个周期
C. 为曲线 的对称轴
D. 为曲线 的对称中心
4. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 ,音调、音色、音长、响度等都与正弦函数及其参数有关. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列说法错误的是 ( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 在 上有三个极值点 D. 在 上是增函数
5.(北京市朝阳区 2023 届高三一模 8)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 的一个周期为
B. 的最大值为
C. 的图象关于直线 对称
D. 在区间 上有 3 个零点
6.(江西省萍乡市2023-2024学年高三上学期期中考试 8)法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如 的简单正弦型函数之和,这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍 (频率是指单位时间内完成周期性变化的次数, 是描述周期运动频繁程度的量), 其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的 2 倍，第三泛音的频率是第一泛音的 3 倍 . 例如,某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达: ,(其中自变量 表示时间)，每一项从左至右依次称为第一泛音、第二泛音、第三泛音. 若一个复合音的数学模型是函数 (从左至右依次为第一泛音、第二泛音)，给出下列结论:
① 的一个周期为 ；
② 的图象关于直线 对称；
③ 的极小值为 ；
④ 在区间 上有 2 个零点.
其中正确结论的个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.(云南省临沧地区中学2025届高三高考适应性月考卷(五)8)声音是由于物体的振动产生的波. 我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是 . 下列关于函数 的命题:
① 当 时， 的图象关于直线 对称
② 当 时,若 ,则
③ 当 时， 是 的周期
④ 为奇函数
正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.(重庆市2023届高三临门一卷(三)11)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 的一个周期为
B. 的最小值为
C. 的图象关于点 对称
D. 在区间 上有 3 个零点
9.(四川省成都市玉林中学2024-2025学年高一下学期3月诊断性评价 11)声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数 . 像我们平时听到的乐音不只是一个音在响,而是许多音的结合,称为复合音. 我们听到的声音函数是 ，结合上述材料及所学知识，判断下列说法中正确的有( )
A. 函数 是奇函数
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 的最小正周期为
D. 函数 的图象向右平移 个单位长度后与纯音 的图象重合
10. (安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期 7 月期末质量统测 10) 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数 为非零常数, 为变量),而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ,则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于点 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上有 2024 个零点
11.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2024-2025 学年高一下学期期中联考 11)声音也包含着正弦函数. 我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二分之一、 三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来. 例如，某一个复合音的函数为 ，关于 ， 下列说法正确的是( )
A. 是函数 的一个周期
B. 关于点 中心对称
C. 在区间 上为增函数
D. 函数 的值域为
12. (辽宁省沈阳市2023届高三下学期教学质量监测(一)12)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论中正确的为( )
A. 在 上是增函数
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 若 ，则 .
13. (江苏省南京市第一中学 2022-2023 学年高三上学期 9 月质量检测 11)声音是由物体振动产生的声波，其中包含若正弦函数，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的个数有( )
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上是增函数
C. 的最大值为
D. 若 ,则
14. (四川省成都市2025 届高三第三次诊断性检测 11 ) 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音. 已知纯音的数学模型是函数 . 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一， 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 ， 等. 即我们听到的声音的函数是 . 则( )
A. 的图象关于 对称
B. 在 上有 2 个极大值点,1 个极小值点
C.
D. 在 上恒成立
15.(深圳外国语中学 2025-2026 学年度高三第一次月考 19)数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数 . 我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合, 称为复合音. 复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动, 它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动. 已知刻画某声音的函数为
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的单调区间；
(3)函数 ，若 在 上有三个不同的极值点 ,证明: 为定值.复合音函数
一、回归教材
2019 人教 A 版高中数学必修第一册第 250 页阅读与思考:
阅读与思考
振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为 24 小时的生理运动称为中周期运动, 如血压、血糖浓度的变化; 小于 24 小时的叫短周期运动, 如心跳、脉搏每分 50~70 次、呼吸每分 16~24 次；大于 24 小时的叫长周期运动, 如人的情绪、体力、智力等.
声音中也包含着正弦函数, 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波. 每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数 . 音有四要素: 音调、响度、音长和音色. 这都与正弦函数的参数有关. 响度与振幅有关, 即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大，音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小. 音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利. 像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为 的基音的同时,其各部分, 如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动, 产生的频率恰好是全段振动频率的倍数,如 等. 这些音叫谐音,因为其振幅较小,我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是 .
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同, 但音色不同, 人们由此分辨出不同的声音.
周期函数产生了美妙的音乐!
二、挖掘考点
1. 复合音函数
复合音函数是描述声音合成的数学模型, 常见形式为
(1)物理意义
复合音由多个纯音叠加而成，纯音模型为 . 发声体振动时， 基音频率为 ，其部分振动产生的频率为 ， ， ， ，这些频率的正弦函数叠加形成复合音.
(2)函数性质
①周期性: 的周期为 .
证明: 的定义域为 ,且 ,所以 的周期为 .
②对称性:图象关于点 对称.
证明: ,
所以对任意 有
所以 的图象关于 对称
③单调性与极值:例如 在 上有 2 个极大值和 1 个极小值点.
(3)应用场景
常用于分析声音信号、音乐合成等领域，通过研究函数的性质(如零点、 极值)可理解声音的特征.
2.Fejér-Jackon 不等式及证明
Fejér-Jackon 不等式: 当 时, .
证明: 当 时, ,
令 ,得 ,或 ,
当 时, ,或 ,
即 ,或 ,
则 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
同理可得, 在剩余的区间中单调递增与单调递减交替出现,则 的极小值点为 ,
下面用数学归纳法证明: 当 时, .
(1)当 时， ，在 时满足条件；
(2)假设当 时成立，即当 时， 0 , 则
当 时, ,极小值点 ,
,即当 时, .
由( 1 )、( 2 )可知，当 时， 对 成立.
三、面向高考
例 1 函数 在 的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例 2 已知函数 ,则 的最小值是_____.
四、模拟演练
1.(广东省实验中学 2024-2025 学年高一下学期期中考试 8)声音是由物体振动产生的声波. 我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 . 音有四要素:音调，响度，音长和音色，它们都与函数 中的参数有关，比如:响度与振幅有关，振幅越大的度越大，振幅越小响度越小; 音调与频率有关, 频率低的声音低沉, 频率高的声音尖利. 像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音. 我们听到的声音函数是 ,结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是_____( ).
A. 函数 具有奇偶性
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 若声音甲对应函数近似为 ,则声音甲的响度不一定比纯音 的响度大
D. 若某声音乙对应函数近似为 ，则声音乙一定比纯音 更低沉
2. (安徽省合肥一六八中学 2023 届高三最后一卷 6) 数学与音乐有着紧密的关联. 声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的. 纯音的数学模型是函数 ， 我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音. 已知刻画某复合音的函数为 ,则其部分图象大致为 ( )
A
B
C
D
3. 声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的. 已知纯音的数学模型是函数 . 我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则()_____
A. 的最大值为
B. 为 的一个周期
C. 为曲线 的对称轴
D. 为曲线 的对称中心
4. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 ,音调、音色、音长、响度等都与正弦函数及其参数有关. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列说法错误的是 ( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 在 上有三个极值点 D. 在 上是增函数
5.(北京市朝阳区 2023 届高三一模 8)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 的一个周期为
B. 的最大值为
C. 的图象关于直线 对称
D. 在区间 上有 3 个零点
6.(江西省萍乡市2023-2024学年高三上学期期中考试 8)法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如 的简单正弦型函数之和,这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍 (频率是指单位时间内完成周期性变化的次数, 是描述周期运动频繁程度的量), 其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的 2 倍，第三泛音的频率是第一泛音的 3 倍 . 例如,某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达: ,(其中自变量 表示时间)，每一项从左至右依次称为第一泛音、第二泛音、第三泛音. 若一个复合音的数学模型是函数 (从左至右依次为第一泛音、第二泛音)，给出下列结论:
① 的一个周期为 ；
② 的图象关于直线 对称；
③ 的极小值为 ；
④ 在区间 上有 2 个零点.
其中正确结论的个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.(云南省临沧地区中学2025届高三高考适应性月考卷(五)8)声音是由于物体的振动产生的波. 我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是 . 下列关于函数 的命题:
① 当 时， 的图象关于直线 对称
② 当 时,若 ,则
③ 当 时， 是 的周期
④ 为奇函数
正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.(重庆市2023届高三临门一卷(三)11)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是 ( )
A. 的一个周期为
B. 的最小值为
C. 的图象关于点 对称
D. 在区间 上有 3 个零点
9.(四川省成都市玉林中学2024-2025学年高一下学期3月诊断性评价 11)声音是由物体振动产生的声波，我们听到的每个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数 . 像我们平时听到的乐音不只是一个音在响,而是许多音的结合,称为复合音. 我们听到的声音函数是 ，结合上述材料及所学知识，判断下列说法中正确的有( )
A. 函数 是奇函数
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 的最小正周期为
D. 函数 的图象向右平移 个单位长度后与纯音 的图象重合
10. (安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期 7 月期末质量统测 10) 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数 为非零常数, 为变量),而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ,则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于点 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上有 2024 个零点
11.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2024-2025 学年高一下学期期中联考 11)声音也包含着正弦函数. 我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二分之一、 三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来. 例如，某一个复合音的函数为 ，关于 ， 下列说法正确的是( )
A. 是函数 的一个周期
B. 关于点 中心对称
C. 在区间 上为增函数
D. 函数 的值域为
12. (辽宁省沈阳市2023届高三下学期教学质量监测(一)12)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论中正确的为( )
A. 在 上是增函数
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 若 ，则 .
13. (江苏省南京市第一中学 2022-2023 学年高三上学期 9 月质量检测 11)声音是由物体振动产生的声波，其中包含若正弦函数，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的个数有( )
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上是增函数
C. 的最大值为
D. 若 ,则
14. (四川省成都市2025 届高三第三次诊断性检测 11 ) 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音. 已知纯音的数学模型是函数 . 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一， 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 ， 等. 即我们听到的声音的函数是 . 则( )
A. 的图象关于 对称
B. 在 上有 2 个极大值点,1 个极小值点
C.
D. 在 上恒成立
15.(深圳外国语中学 2025-2026 学年度高三第一次月考 19)数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数 . 我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合, 称为复合音. 复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动, 它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动. 已知刻画某声音的函数为
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的单调区间；
(3)函数 ，若 在 上有三个不同的极值点 ,证明: 为定值.
