高考数学专题复习讲义全国通用版——函数的奇偶性与对称性 (原卷版+解析版)

函数的奇偶性与对称性
一、回归教材
2019 人教版高中数学必修第一册第 87 页习题 3.2 拓广探索第 13 题:
我们知道,函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
(1)求函数 图象的对称中心;
(2)类比上述推广，写出 “函数 的图象关于 轴成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数”的一个推广结论.
二、挖掘考点
1. 函数的奇偶性与对称性
(1)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
(2)函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 a) 为偶函数.
2. 函数的对称性
(1)满足 的函数 的图象关于直线 对称;
( 2 )满足 的函数 的图象关于直线 对称；
(3)满足 的函数 的图象关于点 对称;
(4)满足 的函数 的图象关于点 对称；
3. 函数的周期性
(1)若 ，则 的周期为 ；
(2)若 ，则 的周期为 ；
(3)若 ，则 的周期为 ；
(4)若 ，则 的周期为 ；
(5)若 ，则 的周期为 .
4. 函数的对称性与周期性之间的关系
(1)若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
(2)若函数 的图象关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ;
(3)若函数 的图象关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 .
5. 可导函数与原函数的对称性
(1)若可导函数 为奇函数，那么导函数 为偶函数；
(2)若 为偶函数，那么 不一定为奇函数；
(3)若可导函数 为偶函数，那么导函数 为奇函数；
(4)若 为奇函数，那么 一定为偶函数；
(5)若可导函数 的图象关于点 中心对称，那么导函数 的图象关于直线 对称;
(6)若导函数 的图象关于直线 对称,那么原函数 的图象关于 中心对称;
(7)若可导函数 的图象关于直线 对称，则其导函数 的图象关于 中心对称;
(8)若可导函数 的导函数 的图象关于 对称，则 的图象关于直线 对称.
三、面向高考
例 1 (多选) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 , 记 . 若 均为偶函数,则
A. B.
C. D.
例 2 设函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 1)为奇函数，则
A. B.
C. D.
例 3 设函数 的定义域为 为奇函数, 为偶函数,当 时, . 若 ,则
A. B. C. D.
例 4 已知 是定义域为 的奇函数,满足 . 若 ,则
A. -50 B. 0 C. 2 D. 50
四、模拟演练
1. (长沙市一中 2026 届高三月考试卷(一)5) 已知函数 满足 为奇函数, 为偶函数，则下列一定成立的是
A. B. C. D.
2. (湖北省黄冈市 2025 年高三 9 月调研考试 10) 定义在 上的函数 和 , 为奇函数, 为偶函数,且 ,则
A. B.
C. 的图象关于 对称 D. 8 为 的一个周期
3. (四川省内江市 2026 届高三 10 月月考 11) 已知函数 的定义域为 -1是奇函数， ， ，则()_____)
A. 的一个周期为 4
B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 中心对称
D.
4. (河南省信阳市 学年高三 10 月第一次质量检测 11) 已知函数 是定义域为 的偶函数, 是奇函数,则下列结论正确的是
A. B.
C. 是以 4 为周期的函数 D. 的图象关于 对称
5.(2024 届衡阳二模 11)已知函数 的定义域均为 是奇函数，且 ， ， ，则()_____
A. B. 为奇函数
C. 为偶函数 D.
6. (江西省金太阳 2024 年 3 月 28 日高三大联考 11) (多选) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 的图象关于直线 对称, ,且 ,则
A. 为偶函数
B. 的图象关于点 对称
C.
D.
7. (安徽省 A10 联盟 2025 届高三 12 月质检考 8) 已知可导函数 的定义域为 是 的导函数，且 ， 均为奇函数， ，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
8.(2025年湖北省七市州高三3月联合统一调研测试14)我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已知数列 满足 ,当 时,令 ,若函数 的图象关于点 成中心对称图形,则 _____.
9. (浙江省五校联盟 2024 届 3 月联考 14 ) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 均为偶函数,且当 时, ,则
10. (福建省三明一中 2025-2026 学年上学期高三 10 月月考 14) 已知函数 及其导函数 的定义域为 ,若 ，函数 和 均为偶函数，则 的值为_____.
11. (广东省佛山市顺德区第一中学 2023 届高三上学期 8 月月考) 已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)我们知道，函数 的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图像关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数. 依据推广结论,求函数 图像的对称中心，并说明理由.
(3)请利用函数 的对称性，求 的值.
12. (安徽省阜阳市2025届高三1月教学质量统测 17)已知函数 ，直线
(1)已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 是奇函数，利用上述条件，求函数 的对称中心;
(2)判断 “ ” 是否为 “ 与 的图象有 3 个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由.函数的奇偶性与对称性
一、回归教材
2019 人教版高中数学必修第一册第 87 页习题 3.2 拓广探索第 13 题:
我们知道,函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
(1)求函数 图象的对称中心;
(2)类比上述推广，写出 “函数 的图象关于 轴成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数”的一个推广结论.
【解析】(1) 设函数 的对称中心为 ,则函数 是奇函数,
由奇函数得定义知, ,
即 ,
,
即 ,
,解得 ,
函数 图象的对称中心为 .
(2)类比上述推广，函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数.
二、挖掘考点
1. 函数的奇偶性与对称性
(1)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.
(2)函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 a) 为偶函数.
2. 函数的对称性
(1)满足 的函数 的图象关于直线 对称;
( 2 )满足 的函数 的图象关于直线 对称；
(3)满足 的函数 的图象关于点 对称;
(4)满足 的函数 的图象关于点 对称；
3. 函数的周期性
(1)若 ，则 的周期为 ；
(2)若 ，则 的周期为 ；
(3)若 ，则 的周期为 ；
(4)若 ，则 的周期为 ；
(5)若 ，则 的周期为 .
4. 函数的对称性与周期性之间的关系
(1)若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
(2)若函数 的图象关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ;
(3)若函数 的图象关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 .
5. 可导函数与原函数的对称性
(1)若可导函数 为奇函数，那么导函数 为偶函数；
(2)若 为偶函数，那么 不一定为奇函数；
(3)若可导函数 为偶函数，那么导函数 为奇函数；
(4)若 为奇函数，那么 一定为偶函数；
(5)若可导函数 的图象关于点 中心对称，那么导函数 的图象关于直线 对称;
(6)若导函数 的图象关于直线 对称,那么原函数 的图象关于 中心对称;
(7)若可导函数 的图象关于直线 对称，则其导函数 的图象关于 中心对称;
(8)若可导函数 的导函数 的图象关于 对称，则 的图象关于直线 对称.
三、面向高考
例 1 (多选) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 , 记 . 若 均为偶函数,则
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】 为偶函数,
的图象关于直线 对称,
且 ,
,
,
,
的图象关于点 对称,
均为偶函数,
的图象关于直线 对称,
且 ,
易知 2 是 的一个周期,
又 ,
项正确, 项错误;
的图象关于直线 对称,
的图象关于点 对称, ,
易知 2 是 的一个周期, , A 错误;
项正确;
故选 BC.
例 2 设函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 1)为奇函数，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 为偶函数,
函数 的图象关于直线 对称，
即 ,
为奇函数,
的图象关于点 对称,
即 ,
易知 4 是函数 的一个周期,
不一定为 0,故选 B.
例 3 设函数 的定义域为 为奇函数, 为偶函数,当 时, . 若 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 为奇函数,
函数 的图象关于点 对称,
,
为偶函数,
的图象关于直线 对称, ,
,
当 时, ,
,解得 ,
易知 4 是函数 的一个周期,
,故选 D.
例 4 已知 是定义域为 的奇函数,满足 . 若 ,则
A. -50 B. 0 C. 2 D. 50
【答案】C
【解析】 是定义域为 的奇函数,
,且 ,
,且 ,
,
,
是函数 的一个周期,
由 得
又 ,
,故选 C.
四、模拟演练
1. (长沙市一中 2026 届高三月考试卷(一)5) 已知函数 满足 为奇函数, 为偶函数，则下列一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 为奇函数, ,
令 得 ,
又 为偶函数, ,
令 得 ,故选 A.
2. (湖北省黄冈市 2025 年高三 9 月调研考试 10) 定义在 上的函数 和 , 为奇函数, 为偶函数,且 ,则
A. B.
C. 的图象关于 对称 D. 8 为 的一个周期
【答案】BCD
【解析】 为奇函数, ,即 ,
的图象关于点 中心对称,且 ,
为偶函数, ,
对于 ,①
用 替换①中的 得 ,
用 替换①中的 得 ,
两式相加得 ,②
的图象关于点 中心对称,且 , A 项错误;
用 替换②中的 得 ,
用 替换②中的 得 ，
两式相减得 ,
用 替换上式中的 得 ,
为 的一个周期, D 项正确;
用 替换①中的 得 ,
用 替换①中的 得 ,
两式相减得 ,③
的图象关于直线 对称, 项正确;
③中令 得 ， 项正确；
故答案选 BCD.
3. (四川省内江市 2026 届高三 10 月月考 11) 已知函数 的定义域为 -1是奇函数， ， ，则()_____)
A. 的一个周期为 4
B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 中心对称
D.
【答案】AC
【解析】对于 项,对于 ,①
用 替换①式中的 ,得
,②
①②两式相减得 ，
的一个周期为 4, A 项正确;
对于 项, 是奇函数,
,即 ,③
用 替换③式中的 得 ,
又 ,
两式相减得 ,
的图象关于直线 对称, 项错误;
对于 项, ,
,
的图象关于点 中心对称, 项正确;
对于 项, ,
在③中令 得 ，
在①中令 得 ，又 ，
, D 项错误;
故答案选AC.
4. (河南省信阳市 学年高三 10 月第一次质量检测 11) 已知函数 是定义域为 的偶函数, 是奇函数,则下列结论正确的是
A. B.
C. 是以 4 为周期的函数 D. 的图象关于 对称
【答案】ACD
【解析】对于 A 项,
是奇函数, ,
即 ,
用 替换上式中的 得 ,①
令①中的 得 ，A 项正确；
对于 项，
用 替换①式中的 得 ,
函数 是定义域为 的偶函数, ,
,
用 替换上式中的 得 ,
,②
的图象关于直线 对称,
令①中的 得 ，
不确定, 不能确定 的值, 项错误;
对于 项,
用 替换②中的 得 ，
是以 4 为周期的函数，C 项正确；
对于 项，
,
的图象关于 对称, 项正确;
故答案选ACD.
5.(2024 届衡阳二模 11)已知函数 的定义域均为 是奇函数，且 ， ， ，则()_____
A. B. 为奇函数
C. 为偶函数 D.
【答案】ACD
【解析】 是奇函数, ,
,
令 得 ，故 项正确；
在 中,令 得 ,
又 ,
不是奇函数，故 项错误；
由 ,得 ①
由 得 ,
又 ,
②
由①②得
是偶函数，故 项正确；
由 得 ,
又 ,
,
是周期函数,且周期为 8 .
又 ,
,故 D 项正确;
综上所述，答案选ACD.
6. (江西省金太阳 2024 年 3 月 28 日高三大联考 11) (多选) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 的图象关于直线 对称, ,且 ,则
A. 为偶函数
B. 的图象关于点 对称
C.
D.
【答案】BCD
【解析】由 得
又 ,
,即 ,
是奇函数, 的图象关于原点对称, 项错误;
的图象关于直线 对称,
,
即 ,
,
的图象关于直线 对称,
是周期函数，且周期为 4 .
由 得 ,
又 ,
的图象关于点 对称, 项正确;
由 得 ,令 得
由 得 是周期函数,且周期为 4 .
由 ,得 ,
, C 项正确;
,
又 ,
又 ,
由 得 ,
, D 项正确;
故答案选 BCD.
7. (安徽省 A10 联盟 2025 届高三 12 月质检考 8) 已知可导函数 的定义域为 是 的导函数，且 ， 均为奇函数， ，则
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】 为奇函数,
,即 ,
两边求导得 ,
的图象关于直线 对称,即 ,
为奇函数,
,即 ,
的图象关于点 对称,即 ,
,
,即 ,
是函数 的一个周期,
又
,
故选 D.
8.(2025年湖北省七市州高三3月联合统一调研测试14)我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已知数列 满足 ,当 时,令 ,若函数 的图象关于点 成中心对称图形,则 _____.
【答案】-1
【解析】 ,或 ,
又 ,
设 2025 个差中有 个 2 和 个 -2 , 则
,解得 ,
即数列 前 2026 项成等差数列,公差为 ,
,
令 ,
即
函数 为奇函数,
.
9. (浙江省五校联盟 2024 届 3 月联考 14 ) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 均为偶函数,且当 时, ,则
【答案】-6
【解析】 为偶函数, ,
,
即 ,
又 ,①
的图象关于点 对称, .
为偶函数, ,
的图象关于直线 对称, ,
,
,
是周期为 4 的周期函数,
当 时, 当 时, ,
① 中令 得 ,又 ,
,即 ,解得 .
.
10. (福建省三明一中 2025-2026 学年上学期高三 10 月月考 14) 已知函数 及其导函数 的定义域为 ,若 ，函数 和 均为偶函数，则 的值为_____.
【答案】0
【解析】 函数 为偶函数, ,
两边同时求导得 ,
用 替换上式中的 得 ,①
函数 均为偶函数, ,
用 替换上式中的 得 ,②
由①②得 ,
用 替换上式中的 得 ,
,
是周期为 4 的周期函数,又 ,
在①中令 得 ,令 得 ,
在②中令 得 ,令 得 ,
故答案为 0 .
11. (广东省佛山市顺德区第一中学 2023 届高三上学期 8 月月考) 已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)我们知道，函数 的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图像关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数. 依据推广结论,求函数 图像的对称中心，并说明理由.
(3)请利用函数 的对称性，求 的值.
【解析】(1) ,则 ,
令 得 ,或 ,
当 或 时, 的单调递增区间是 ;
当 时, 的单调递减区间是 ;
综上,函数 的单调递增区间是 ; 单调递减区间是
(2)设 的图象的对称中心为 ，则
为奇函数,
,即 ,
,
即 ,
整理得 ,(对函数 定义域内的任意 都成立),
,解得 ,
函数 的图象的对称中心为 ;
(3)由(2)知函数 图象的对称中心为 ，
,
,
又
12. (安徽省阜阳市2025届高三1月教学质量统测 17)已知函数 ，直线
(1)已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 是奇函数，利用上述条件，求函数 的对称中心;
(2)判断 “ ” 是否为 “ 与 的图象有 3 个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由.
【解析】(1) 设 关于 对称，
令 ,则 ,
即 ,
即 ,
化简得 ,
则有 ,解得 ,
函数 的对称中心为 .
(2) “ ” 是 “ 与 的图象有 3 个交点，且交点的横坐标依次成等差数列” 的必要不充分条件，证明如下:
先证必要性:
若 与 图象交于 ,则方程 有 3 个不相等的实数根,即 有 3 个不相等的零点 ,
由于 ,
得 ,
所以 ,
因为 为公差不为 0 的等差数列,所以 ,
所以 ,得 ,
即 ,
由题意得, 有三个零点的一个必要条件是 至少存在三个单调区间,
( i ) 当 ,即 ,函数 在 上单调递增, 最多一个零点,不符合题意,舍去;
(ii) 当 ,即 时,
由 得 ,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
综上, 符合题意,即 为 在 上存在三个零点的必要条件.
再证充分性不成立,令 ,显然 与 仅有二个交点,所以充分性不成立.
综上所述，“ ” 是 “ 与 的图象有 3 个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件.