欧拉函数
一、回归教材
2019 人教 A 版高中数学选择性必修第二册第 8 页习题 4.1 第 1 题:
1. 写出下列数列的前 10 项，并作出它们的图象:
(1)素数按从小到大的顺序排列成的数列；
(2)欧拉函数 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如, .
二、挖掘考点
欧拉函数
欧拉函数 (Euler’s Totient Function),记作 ,是数论中一个核心的算术函数, 用于计算小于或等于正整数 且与 互质的正整数的个数。该函数最早由 18 世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)于1763年引入，因此得名。欧拉函数不仅在初等数论中扮演着重要角色，连接了互质、同余等基础概念，更是现代密码学的基石，特别是在基于大整数分解难题的 RSA 公钥加密算法中, 欧拉函数的计算直接决定了公钥和私钥的生成。此外, 其积性函数的性质也使其在算法优化和计算机科学领域有着广泛的应用。
1. 定义
对于任意正整数 ，欧拉函数 的定义为:在从 1 到 的正整数中，与 互质(即最大公约数为 1 )的数的总个数。例如，对于 ，1 到 8 中与 8 互质的数有 1、3、5、7，共 4 个，因此 .
2. 计算公式
(1)质数的欧拉函数公式
若 是质数，则 .
证明: 因为 是质数,其因数只有 1 和 . 在 1 到 的整数中,除了 本身,其余 个数都与 互质,因此, .
(2)质数幂的欧拉函数公式
若 是质数， 是正整数，则 .
证明: 在 1 到 的整数中,与 不互质的数是 的倍数,即 ,共有 个，因此，与 互质的数的个数为 ， .
(3)通用计算公式
欧拉公式的计算直接依赖于正整数 的质因数分解. 对于任意正整数 ,若其质因数分解式为 ,其中 是互不相同的质数, 是正整数, 则欧拉函数的计算公式为 .
该公式表明，欧拉函数的值等于 乘以所有不同质因数的 (1 减去该质因数的倒数) 的乘积. 例如，计算 ，首先对 12 进行质因数分解得到 ，代入公式可得
验证可知，1到12中与12互质的数有1、5、7、11，共4个，计算结果正确。
3. 核心性质
欧拉函数具有多项重要的数学性质, 使其在数论和计算中极具价值。
(1)积性函数性质
欧拉函数是一个积性函数，这意味着如果两个正整数 和 互质(即它们的最大公约数为 1 ),那么 。虽然它是积性函数，但它不是完全积性函数，即当 和 不互质时,该等式不一定成立。
(2)求和性质
欧拉函数在 的所有正因数上的求和结果恰好等于 本身。
数学表达式为:
其中,求和是对 的所有正因数 进行的。例如,对于 ,其正因数为 , 计算可得 ,与 的值相等。
此外,对于质数 ,其欧拉函数值为 ,因为除了 1 和 本身外,其他数都与 互质。对于质数的幂次形式 ，其欧拉函数值为 。
4. 应用
(1)数论定理
欧拉函数是数论中许多重要定理的核心组成部分。最著名的是欧拉定理, 它是费马小定理的推广。欧拉定理指出: 若 与 互质,则 。这一定理在处理模指数运算时非常有效，能够将大数的幂次运算简化为模 下的等价运算，是同余方程求解的重要工具。
(2)密码学
在现代密码学中，欧拉函数的应用尤为关键，其中最具代表性的是 RSA 公钥加密算法。RSA 算法的安全性基于大整数分解难题, 其密钥生成过程直接依赖于欧拉函数。 具体步骤为:
1) 选择两个大质数 和 ;
2) 计算 ,并计算 ;
3)选择一个与 互质的整数 作为公钥；
4)计算 关于 的模逆元 作为私钥。
由于分解大数 极其困难,攻击者难以从公钥中反推出私钥,从而保证了加密信息的安全性。欧拉函数在此过程中起到了连接模数 与密钥生成的桥梁作用。
(3)计算机科学
在计算机科学领域, 欧拉函数常被用于算法设计与优化。例如, 在解决循环赛日程表问题时, 可以利用欧拉函数的性质来构造比赛日程, 确保每个选手每天只进行一场比赛，且能与其他所有选手交锋。此外，在数据结构和算法分析中，欧拉函数也常被用于处理数论相关的计数问题和优化模运算的计算效率。
三、面向高考
欧拉函数在高考中的应用主要体现在以下几个方面:
1. 数列与新定义问题
高考常以欧拉函数为背景, 结合数列知识考查学生的逻辑推理和运算能力。例如, 给出欧拉函数的定义，要求计算特定值、推导通项公式或求和公式。如 2025 年雅礼中学高三月考题中，通过欧拉函数的性质求解数列前 项和，需结合等比数列求和公式及欧拉函数的积性特点进行推导。
2. 互质与素数相关问题
欧拉函数的核心是互质概念，高考会围绕互质关系设计题目。例如，判断两个数是否互质、求与给定数互质的数的个数，或利用互质性质简化计算。如 2022 年新高考 1 卷曾考查互质概念，需结合欧拉函数的定义和性质进行分析。
3. 密码学与实际应用背景
部分模拟题或创新题会以密码学为背景, 引入欧拉函数。例如, RSA 加密算法中, 欧拉函数用于计算密钥, 题目可能要求根据给定条件求解欧拉函数值, 或分析密钥生成过程中的数学原理。如 2025 年浙南名校联盟高三题中, 以编制密码的方法为切入点, 考查欧拉函数的应用。
4. 函数性质与不等式证明
欧拉函数的性质 (如积性、单调性等) 可能在函数综合题中出现, 要求学生证明不等式或分析函数行为。例如, 证明欧拉函数在特定区间内的取值范围, 或利用其性质解决与不等式相关的问题。
例 1 从 2 到 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
例 2 (2024 年九省联考 11)欧拉函数是初等数论中的重要内容. 对于一个正整数 , 欧拉函数 表示小于或等于 且与 互质的正整数的数目. 换句话说, 是所有不超过 且与 互素的数的总数. 如: . 则以下是真命题的有
A. 的定义域为 ,其值域也是
B. 在其定义域上单调递增,无极值点
C. 不存在 ,使得方程 有无数解
D. ，当且仅当 是素数时等号成立
四、模拟演练
1. 欧拉是 18 世纪最优秀的数学家之一, 几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字, 例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程, 以及数论中的欧拉函数等等) 小于或等于 的的正整数 (包括 1 ) 中与 互质的正整数的个数,记作 . 例如: 小于或等于 4 的正整数中与 4 互质的正整数有 1,3 这两个,即 . 记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. B. C. D.
2. (福建省泉州市安溪第一中学 2024 届高三下学期 4 月份质量检测 6) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如， . 若 ,且 ,则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (山东省德州市第一中学 2023-2024 学年高三上学期开学测试 12) 欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一. 在数学史上, 人们称 18 世纪为欧拉时代. 直到今天, 我们在数学及其应用的众多分支中, 常常可以看到欧拉的名字, 如著名的欧拉函数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数,例如 ，则下列说法正确的是 ( )
A. B. ,都有
C. 方程 有无数个根 D.
4. (湖北省宜荆荆 2024 届高三下学期五月高考适应性考试11) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目. 函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 (1,2,4,5,7,8 与 9 互质)，则()
A. 若 为质数，则 B. 数列 单调递增
C. 数列 的最大值为 1 D. 数列 为等比数列
5. (陕西省西安市长安区 2025 届高三第二次模拟考试 11 ) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目 (若两个正整数的最大公因数是 1,则称这两个正整数互质). 函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如 , (10 与1,3,7,9均互质) 则( )
A.
B. 数列 是单调递增数列
C. 若 为质数，则数列 为等比数列
D. 数列 的前 5 项和等于
6. 若正整数 m. n 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，对于正整数 ， 是不大于 的正整数中与 互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如: ， ， . 已知欧拉函数是积性函数，即如果 互质，那么 , 例如: ,则( )
A.
B. 数列 是等比数列
C. 数列 不是递增数列
D. 数列 的前 项和小于
7. (北京市通州区 2023 届高三模拟考试 15) 两个数互素是指两个正整数之间除了 1 之外没有其他公约数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如 .
关于欧拉函数给出下面四个结论:
① ；
② ，恒有 ；
③若 都是素数，则 ；
④若 ，其中 为素数，则 .
(注: 素数是指除了 1 和它本身以外不再有其他因数,且大于 1 的正整数.)
则所有正确结论的序号为_____.
8.(2024 届安徽合肥一中三模 14)欧拉函数 表示不大于正整数 n 且与 互素 (互素: 公约数只有 1 ) 的正整数的个数. 已知 ,其中 是 的所有不重复的质因数 (质因数: 因数中的质数). 例如 . 若数列 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 _____.
9. (河北省部分中学 2024 届高三下学期考点评估数学试卷(三)14) 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域,为纪念欧拉的成就,函数 就是以其名字命名的,称为欧拉函数. 人教 版新教材选择性必修二第 8 页指出: 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数个数. 欧拉函数有很多性质,比如欧拉函数是积性函数,即如果 互素,则 . 请计算数列 的前 项和 _____.
10. (湖北省 2025 届高三下学期新高考信息卷(三) 14) 已知正整数 ,欧拉函数 表示 中与 互素的整数的个数,例如, . 若小明从 、 7、11、13 中随机取一个数 ，小红从6、8、9、10、30中随机取一个数 ，则 的概率为_____.
11. (江苏省盐城市 2026 届高三 1 月阶段学业考核 14 ) 若正整数 的公约数只有 1,则称 互质. 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数. 函数 以其首名研究者欧拉的名字命名,称为欧拉函数,例如 ,若数列 的前 项和为 ,则 _____.
12.(2025 届安徽省合肥市集团校高三下学期月考前适应性训练 14)欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的个数 (公约数只有 1 的两个整数称为互质整数),例如: . 记 ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
13. (河北省部分学校 2025-2026 学年高三上学期 12 月份联考 16) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如: .
(1)写出数列 ， ， ， 的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象(单位网格边长为 1 );
(2)设 为素数，证明:数列 ， ， ， 为等比数列.
14. (山东省青岛市城阳区 2025-2026 学年高三上学期期中考试 17) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互质的正整数的个数. 例如: .
(1)求 ；
(2)若 ，证明: .
15. (河南省三门峡市 2025 届高三 1 月一练 19) 表示正整数 的最大公约数, 若 ,且 ,则将 的最大值记为 ,例如: .
(1)求 ， ， ；
( 2 )已知 时， .
( i ) 求 ;
(ii) 设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
16. (湖北省新高考协作 4024 届高三统一模拟考试(五)17)若正整数 ， 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，欧拉函数是指，对于一个正整数 ，小于或等于 的正整数中与 互质的正整数 (包括 1) 的个数，记作 ，例如 ， .
(1)求 ， ， ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
17. (云南省昆明市第一中学 2024-2025 学年高三上学期第六次联考(期末)19) 在密码学领域,著名的欧拉函数应用在数据加密算法中,设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素,对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 ,如: .
(1)求 的值；
(2)设 是两个素数，试用 表示 ，并证明: . ;
(3)数列 的通项公式为 ，设该数列的前 项的和为 ，是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由.
18.(河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测 19)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素. 对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 .
(1)试求 的值；
(2)设 是一个正整数， 是两个不同的素数. 试求 ， 与 和 的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥. 具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 ；
②计算 ，欧拉函数 ；
③ 求正整数 ，使得 除以 的余数是 1；
④其中 称为公钥， 称为私钥.
已知计算机工程师在某 加密算法中公布的公钥是 (187,17). 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
19. (湖北省 2024 届高中毕业生四月模拟考试 19) 欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数,集合 ,欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数; 记 表示 除以 的余数 和 均为正整数 ,
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数 ，存在正整数 满足 ；已知对素数 和 ,均有 ,证明: 若 ,则 ;
(3)设 为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ； 又 ,试用 和 求出 的值.
参考答案:
1.(河南省部分名校 2022-2023 学年高三下学期 5 月联考理科数学 11)欧拉是 18 世纪最优秀的数学家之一, 几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字, 例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程, 以及数论中的欧拉函数等等) 小于或等于 的的正整数 (包括 1 ) 中与 互质的正整数的个数,记作 . 例如: 小于或等于 4 的正整数中与 4 互质的正整数有 1,3 这两个，即 . 记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,若正整数 ,且与 不互质,则这个数为偶数或 3 的倍数,共有 个，所以 ，即数列 是首项为2，公比为6的等比数列,所以 .
故答案选 B.
2. (福建省泉州市安溪第一中学 2024 届高三下学期 4 月份质量检测 6) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如， . 若 ，且 ，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】与 2 互素且不超过 2 的正整数为 1 , 与 4 互素且不超过 4 的正整数为 1、3 , 与 6 互素且不超过 6 的正整数为 1、5，与 8 互素且不超过 8 的正整数为 1、3、5、7， 与 10 互素且不超过 10 的正整数为 1、3、7、9，
因为 ,
所以, ,则 ,
因为与 5 互素且不超过 5 的正整数为 1、2、3、4，所以， .
故答案选 B.
3. (山东省德州市第一中学 2023-2024 学年高三上学期开学测试 12) 欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一. 在数学史上，人们称 18 世纪为欧拉时代. 直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中, 常常可以看到欧拉的名字, 如著名的欧拉函数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数,例如 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. ,都有
C. 方程 有无数个根 D.
【答案】ACD
【解析】对应 项,所有不超过正整数 3 且与 3 互素的正整数为 1,2 ,个数为 2 ,故 .
所有不超过正整数 5 且与 5 互素的正整数为 1,2,3,4 ,个数为 4 , 故 .
所有不超过正整数 15 且与 15 互素的正整数为1,2,4,7,8,11,13,14，个数为 8，故 .
故 , A 项正确;
对于 项,不妨令 ,满足 ,但 项错误;
对于 项,当 为素数时, ,而素数有无数个,故方程 有无数个根, 项正确;
对于 项，因为 7 为素数，所以当 时，只有 7 和 7 的倍数与 不互素，
即 ,共有 ,
所以 .
故答案选ACD.
4. (湖北省宜荆荆 2024 届高三下学期五月高考适应性考试11) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目. 函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 (1,2,4,5,7,8与 9 互质)，则()
A. 若 为质数,则 B. 数列 单调递增
C. 数列 的最大值为 1 D. 数列 为等比数列
【答案】ACD
【解析】对于 项，因为 为质数，故小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目为 ,此时 , A 项正确;
对于 项，因为 ， ，所以 ，故数列 不是单调递增， B 项错误;
对于 项，小于等于 的正整数中与 互质的数为 ，数目为 ，所以 在 时递减，故当 时，数列 的最大值为 1, C 项正确;
对于 项，小于等于 的正整数中与 互质的数的数为 ， 数目为 ,故 ,而 ,故数列 为等比数列, D 项正确.
故答案选ACD.
5.(陕西省西安市长安区2025届高三第二次模拟考试 11)对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目 (若两个正整数的最大公因数是 1,则称这两个正整数互质). 函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如 , (10 与1,3,7,9均互质) 则( )
A.
B. 数列 是单调递增数列
C. 若 为质数，则数列 为等比数列
D. 数列 的前 5 项和等于
【答案】AC
【解析】对于 项,12与1,5,7,11均互质,所以 与 , 15,16 均互质,所以 ,所以 , A 项正确;
对于 项，7 与1,2,3,4,5,6互质，则 与1,2,4,5,7,8互质，所以 ， ,所以数列 不是单调递增数列,故 错误;
对于 项，设 为质数，则小于等于 的正整数中与 互质的数为 . ,
即每 个数当中就有一个与 不互质,所以互质的数的数目为 ,
故 ，所以 为常数，
所以数列 为等比数列, 项正确;
对于 项，由选项 可知， ，数列 的前 5 项和为 ，D 项错误.
故答案选AC.
6. (江苏省泰州市 2022 届高三下学期第四次调研测试 12)若正整数 . 只有 1 为公约数,则称 互质,对于正整数 是不大于 的正整数中与 互质的数的个数,函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如: . 已知欧拉函数是积性函数,即如果 互质,那么 , 例如: ,则( )
A.
B. 数列 是等比数列
C. 数列 不是递增数列
D. 数列 的前 项和小于
【答案】ABD
【解析】对于 项, 项正确;
对于 项， 为质数， 在不超过 的正整数中，所有偶数的个数为 ,
为等比数列, 项正确;
对于 项, 与 互质的数为 .
共有 个, ,
又 一定是单调增数列, 项错误;
对于 项, ,
的前 项和为 , D 项正确.
故答案选 ABD.
7. (北京市通州区 2023 届高三模拟考试 15) 两个数互素是指两个正整数之间除了 1 之外没有其他公约数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如 .
关于欧拉函数给出下面四个结论:
① ；
② ，恒有 ；
③若 都是素数，则 ；
④若 ，其中 为素数，则 .
(注:素数是指除了 1 和它本身以外不再有其他因数,且大于 1 的正整数.)
则所有正确结论的序号为_____.
【答案】①③④
【解析】不超过 7 且与 7 互素的正整数有1,2,3,4,5,6,共 6 个,则 ,
故①正确；
不超过 8 且与 8 互素的正整数有1,3,5,7,共 4 个，则 ，则 ，
故②错误；
若 是素数， 与前 个正整数均互素，则 ；
同理,若 是素数,则 ,
故 ;
若 都是素数,则不超过 的正整数中,除去 与 及 外,其他的正整数均与 互素,共有 个，则 ，
所以 ，故③正确；
若 ，其中 为素数，不超过 的正整数共有 ，其中 的倍数有 个，则不超过 且与 互素的正整数有 个，则 ， 故④正确.
故答案为①③④.
8.(2024 届安徽合肥一中三模 14)欧拉函数 表示不大于正整数 n 且与 n 互素 (互素:公约数只有 1 ) 的正整数的个数. 已知 ,其中 是 的所有不重复的质因数 (质因数: 因数中的质数). 例如 . 若数列 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 _____.
【答案】
【解析】由题意得 ,
当 时， ,
当 时, ,
所以 .
9. (河北省部分中学 2024 届高三下学期考点评估数学试卷(三) 14) 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域,为纪念欧拉的成就,函数 就是以其名字命名的,称为欧拉函数. 人教 版新教材选择性必修二第 8 页指出: 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数个数. 欧拉函数有很多性质,比如欧拉函数是积性函数,即如果 互素,则 . 请计算数列 的前 项和 _____.
【答案】
【解析】由欧拉函数的定义知: 若 为素数,则 ,
若 为素数, ,则 ,
所以 ,得到 ,
所以 ①,
②,
①-②得到 ，
即 ,
整理得到 .
10. (湖北省 2025 届高三下学期新高考信息卷(三) 14) 已知正整数 ，欧拉函数 表示 中与 互素的整数的个数，例如， ， . 若小明从 、 7、11、13 中随机取一个数 ，小红从6、8、9、10、30中随机取一个数 ，则 的概率为_____.
【答案】
【解析】由题意可得 ,
因为 ,
满足 的数组 有: ,
故所求概率为 .
11. (江苏省盐城市 2026 届高三 1 月阶段学业考核 14) 若正整数 的公约数只有
1,则称 互质. 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数. 函数 以其首名研究者欧拉的名字命名,称为欧拉函数,例如 ,若数列 的前 项和为 ,则 _____.
【答案】
【解析】由题意可知,小于 的所有正奇数都与 互质,共有 个,所以 . 小于 且大于 0 的所有与 不互质的数是 3 的倍数,故与 互质的数共有 ,即 . 所以 ,
则其前 项和为 .
12.(2025 届安徽省合肥市集团校高三下学期月考前适应性训练 14)欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的个数 (公约数只有 1 的两个整数称为互质整数),例如: . 记 ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】在 的整数中与 不互质的数有 ,共有 个,所以与 互质的数有 个，因此 .
在 的整数中,2的倍数共有 个,5 的倍数共有 个,10 的倍数共有 个,所以 .
所以 ,所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 ,
则 即 恒成立等价于 恒成立,即 恒成立,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,且 ,
所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 .
13.(河北省部分学校)2025-2026学年高三上学期12月份联考 16)欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如: .
(1)写出数列 ， ， ， 的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象(单位网格边长为 1);
(2)设 为素数，证明:数列 ， ， ， 为等比数列.
【解析】(1) 由题意可得 ,
该数列图象如图所示
(2)证明:设 为素数，则不超过 且与 不互质的正整数只有 的倍数，
所以互质的数的数目为 .,
故 ,
故数列 为公比为 的等比数列.
14. (山东省青岛市城阳区 2025-2026 学年高三上学期期中考试 17) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互质的正整数的个数. 例如: .
(1)求 ；
(2)若 ，证明: .
【解析】(1)根据题意，1 与 2 互质，所以 ，
1,3,5,7与 8 互质,所以 ,
1,3,5,7,9,11,13,15与 16 互质,所以 ;
(2)因为不超过正整数 ，且与 互质的正整数为不超过 的奇数，
所以 ,则 ,
则 ，所以 是等比数列，且 ，
则 ,
所以 ,问题得证.
15.(河南省三门峡市2025届高三1月一练刊)(a，b)表示正整数 ， 的最大公约数， 若 ,且 ,则将 的最大值记为 ,例如: .
(1)求 ， ， ；
(2)已知 时， .
( i ) 求 ;
(ii) 设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
【解析】(1)依题意得 表示所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，
不超过 2 且与 2 互质的正整数为 ,
不超过 3 且与 3 互质的正整数为 ,
不超过 6 且与 6 互质的正整数为 .
(2)(i) 中不超过 且与 互质的正整数只有奇数，
中不超过 且与 互质的正整数的个数为 ,
中不超过 且与 互质的正整数只有 1,
中不超过 且与 互质的正整数的个数为 ,
,
.
(ii) 由 (2) (i) 知， ,
即 ,(当且仅当 时等号成立)
.
16. (湖北省新高考协作体 2024 届高三统一模拟考试(五)17)若正整数 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，欧拉函数是指，对于一个正整数 ，小于或等于 的正整数中与 互质的正整数 (包括 1) 的个数，记作 ，例如 ， .
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
【解析】(1) 1到6中与6互质的只有1和5,所以 ;
1 到 中,被 3 整除余 1 和被 3 整除余 2 的数都与 互质,所以 .
1 到 中,所有奇数都与 互质,所以 .
(2) ,
从而
(3)证明: ，
从而 ,证毕.
17. (云南省昆明市第一中学 2024-2025 学年高三上学期第六次联考(期末)19)在密码学领域,著名的欧拉函数应用在数据加密算法中,设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素,对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 ,如: .
(1)求 的值；
(2)设 是两个素数，试用 表示 ，并证明: . ;
(3)数列 的通项公式为 ，设该数列的前 项的和为 ，是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)不超过 6 且与 6 互素的正整数有1,5,所以 ,
不超过 8 且与 8 互素的正整数有1,3,5,7，所以 .
(2)在不大于 的正整数中，只有 的倍数不与 互素，而 的倍数有 个，
则 ,
由 是两个素数,得 ,
在不大于 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个,
因此 ,
所以 .
(3)由(2)得 ，
,则
两式相减得:
因此 ,而 ,
所以存在整数 ,使 对任意正整数 都成立,且 的最小值为 8 .
18. (河南省开封市 2024 届高三下学期第二次质量检测 19)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素. 对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 .
(1)试求 的值；
(2)设 是一个正整数， 是两个不同的素数. 试求 与 和 的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥. 具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 ；
②计算 ，欧拉函数 ；
③ 求正整数 ，使得 除以 的余数是 1 ；
④其中 称为公钥, 称为私钥.
已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 . 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ,数列 满足 ,求数列 的前 项和 .
【解析】(1)由欧拉函数的定义知，不越过 3 且与 3 互素的正整数有 1,2 ，则 ，
不越过 9 且与 9 互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则 ,
不越过 7 且与 7 互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则 ,
不越过 21 且与 21 互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则 ,
所以 .
(2)在不大于 的正整数中，只有 3 的倍数不与 互素，而 3 的倍数有 个，
因此 .
由 是两个不同的素数,得 ,
在不超过 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个,
于是 ,
所以 .
(3)计算机工程师在某 加密算法中公布的公钥是 ，则 ， 从而
由(2)得， ，
即正整数 满足的条件为: ,
,令 ,则 ,
令 ,则 ,
取 ,则 ,于是 ,
因此 ,即 ,
【点评】数列 求和,利用差角的正切变式 进行裂项是求解的关键.
19. (湖北省 2024 届高中毕业生四月模拟考试 19)欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数,集合 ,欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数; 记 表示 除以 的余数 和 均为正整数 ,
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数 ，存在正整数 满足 ；已过知对素数 和 ,均有 ,证明: 若 ,则 ;
(3)设 为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ； 又 ,试用 和 求出 的值.
【解析】(1) 中,与 6 互质的数有 1 和 5,则 ;
中,与 15 互质的数有 和 14,则 .
(2)因为 和 为素数，则对 ，仅当 或 时， 和 不互质,
又 ,则 ,或 时, 与 不互质,
则 ,
设 ,可知 不全为 0,下证 时, ;
由题知, ,
又
所以 ,同理有 ;
于是记 ,
即 ,同理 ,记 ,于是 ,
则 ,因为 ,所以 ,所以 ,
即 ;
(i) 时,记 ,则 ,
记 ,又 ,而 ,则 ,
即 ,即 ;
(ii) 若 ,不妨设 ,于是 ,
所以 ,又 ,
所以
综上, ,得证:
(3)因为 ，所以 ，则 ，则 ,
假设存在 ,使得 ; 记 ,
令 ,那么 ,且 ,于是 ,使 ,则 ,
从而数列 有且仅有 项，
考虑使 成立,
则对于相邻项有 ,
将两式相加并整理得: ,
令 ,得 ,又由于 及 均由 和 确定,
则数列 的各项也可根据 和 确定,
由上知 ,
则 ,
即 ,其中 是根据 和 唯一确定的.欧拉函数
一、回归教材
2019 人教 A 版高中数学选择性必修第二册第 8 页习题 4.1 第 1 题:
1. 写出下列数列的前 10 项，并作出它们的图象:
(1)素数按从小到大的顺序排列成的数列；
(2)欧拉函数 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如, .
二、挖掘考点
欧拉函数
欧拉函数 (Euler’s Totient Function),记作 ,是数论中一个核心的算术函数, 用于计算小于或等于正整数 且与 互质的正整数的个数。该函数最早由 18 世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)于1763年引入，因此得名。欧拉函数不仅在初等数论中扮演着重要角色，连接了互质、同余等基础概念，更是现代密码学的基石，特别是在基于大整数分解难题的 RSA 公钥加密算法中, 欧拉函数的计算直接决定了公钥和私钥的生成。此外, 其积性函数的性质也使其在算法优化和计算机科学领域有着广泛的应用。
1. 定义
对于任意正整数 ，欧拉函数 的定义为:在从 1 到 的正整数中，与 互质(即最大公约数为 1 )的数的总个数。例如，对于 ，1 到 8 中与 8 互质的数有 1、3、5、7，共 4 个，因此 .
2. 计算公式
(1)质数的欧拉函数公式
若 是质数，则 .
证明: 因为 是质数,其因数只有 1 和 . 在 1 到 的整数中,除了 本身,其余 个数都与 互质,因此, .
(2)质数幂的欧拉函数公式
若 是质数， 是正整数，则 .
证明: 在 1 到 的整数中,与 不互质的数是 的倍数,即 ,共有 个，因此，与 互质的数的个数为 ， .
(3)通用计算公式
欧拉公式的计算直接依赖于正整数 的质因数分解. 对于任意正整数 ,若其质因数分解式为 ,其中 是互不相同的质数, 是正整数, 则欧拉函数的计算公式为 .
该公式表明，欧拉函数的值等于 乘以所有不同质因数的 (1 减去该质因数的倒数) 的乘积. 例如，计算 ，首先对 12 进行质因数分解得到 ，代入公式可得
验证可知，1到12中与12互质的数有1、5、7、11，共4个，计算结果正确。
3. 核心性质
欧拉函数具有多项重要的数学性质, 使其在数论和计算中极具价值。
(1)积性函数性质
欧拉函数是一个积性函数，这意味着如果两个正整数 和 互质(即它们的最大公约数为 1 ),那么 。虽然它是积性函数，但它不是完全积性函数，即当 和 不互质时,该等式不一定成立。
(2)求和性质
欧拉函数在 的所有正因数上的求和结果恰好等于 本身。
数学表达式为:
其中,求和是对 的所有正因数 进行的。例如,对于 ,其正因数为 , 计算可得 ,与 的值相等。
此外,对于质数 ,其欧拉函数值为 ,因为除了 1 和 本身外,其他数都与 互质。对于质数的幂次形式 ，其欧拉函数值为 。
4. 应用
(1)数论定理
欧拉函数是数论中许多重要定理的核心组成部分。最著名的是欧拉定理, 它是费马小定理的推广。欧拉定理指出: 若 与 互质,则 。这一定理在处理模指数运算时非常有效，能够将大数的幂次运算简化为模 下的等价运算，是同余方程求解的重要工具。
(2)密码学
在现代密码学中，欧拉函数的应用尤为关键，其中最具代表性的是 RSA 公钥加密算法。RSA 算法的安全性基于大整数分解难题, 其密钥生成过程直接依赖于欧拉函数。 具体步骤为:
1) 选择两个大质数 和 ;
2) 计算 ,并计算 ;
3)选择一个与 互质的整数 作为公钥；
4)计算 关于 的模逆元 作为私钥。
由于分解大数 极其困难,攻击者难以从公钥中反推出私钥,从而保证了加密信息的安全性。欧拉函数在此过程中起到了连接模数 与密钥生成的桥梁作用。
(3)计算机科学
在计算机科学领域, 欧拉函数常被用于算法设计与优化。例如, 在解决循环赛日程表问题时, 可以利用欧拉函数的性质来构造比赛日程, 确保每个选手每天只进行一场比赛，且能与其他所有选手交锋。此外，在数据结构和算法分析中，欧拉函数也常被用于处理数论相关的计数问题和优化模运算的计算效率。
三、面向高考
欧拉函数在高考中的应用主要体现在以下几个方面:
1. 数列与新定义问题
高考常以欧拉函数为背景, 结合数列知识考查学生的逻辑推理和运算能力。例如, 给出欧拉函数的定义，要求计算特定值、推导通项公式或求和公式。如 2025 年雅礼中学高三月考题中，通过欧拉函数的性质求解数列前 项和，需结合等比数列求和公式及欧拉函数的积性特点进行推导。
2. 互质与素数相关问题
欧拉函数的核心是互质概念，高考会围绕互质关系设计题目。例如，判断两个数是否互质、求与给定数互质的数的个数，或利用互质性质简化计算。如 2022 年新高考 1 卷曾考查互质概念，需结合欧拉函数的定义和性质进行分析。
3. 密码学与实际应用背景
部分模拟题或创新题会以密码学为背景, 引入欧拉函数。例如, RSA 加密算法中, 欧拉函数用于计算密钥, 题目可能要求根据给定条件求解欧拉函数值, 或分析密钥生成过程中的数学原理。如 2025 年浙南名校联盟高三题中, 以编制密码的方法为切入点, 考查欧拉函数的应用。
4. 函数性质与不等式证明
欧拉函数的性质 (如积性、单调性等) 可能在函数综合题中出现, 要求学生证明不等式或分析函数行为。例如, 证明欧拉函数在特定区间内的取值范围, 或利用其性质解决与不等式相关的问题。
例 1 从 2 到 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从 2 到 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数有 (种)结果,其中这 2 个数互质的结果有 , ,共 14 种,所以所求概率为 ,故选 D.
例 2 (2024 年九省联考 11)欧拉函数是初等数论中的重要内容. 对于一个正整数 , 欧拉函数 表示小于或等于 且与 互质的正整数的数目. 换句话说, 是所有不超过 且与 互素的数的总数. 如: . 则以下是真命题的有
A. 的定义域为 ,其值域也是
B. 在其定义域上单调递增,无极值点
C. 不存在 ,使得方程 有无数解
D. ，当且仅当 是素数时等号成立
【答案】ACD
【解析】对于 项，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为 ，其值域也是 , A 项正确;
对于 项，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如 ， ， 项错误；
对于 项，由于 的值域为 ，所以不存在 ，使方程 有无数解， 项正确;
对于 项，因为 的素因数都是大于 1，，所以 ，当且仅当 时素数时等号成立，D 项正确.
故答案选ACD.
四、模拟演练
1. 欧拉是 18 世纪最优秀的数学家之一, 几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字, 例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程, 以及数论中的欧拉函数等等) 小于或等于 的的正整数 (包括 1 ) 中与 互质的正整数的个数,记作 . 例如: 小于或等于 4 的正整数中与 4 互质的正整数有 1,3 这两个,即 . 记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. B. C. D.
2. (福建省泉州市安溪第一中学 2024 届高三下学期 4 月份质量检测 6) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如， . 若 ,且 ,则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (山东省德州市第一中学 2023-2024 学年高三上学期开学测试 12) 欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一. 在数学史上, 人们称 18 世纪为欧拉时代. 直到今天, 我们在数学及其应用的众多分支中, 常常可以看到欧拉的名字, 如著名的欧拉函数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数,例如 ，则下列说法正确的是 ( )
A. B. ,都有
C. 方程 有无数个根 D.
4. (湖北省宜荆荆 2024 届高三下学期五月高考适应性考试11) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目. 函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 (1,2,4,5,7,8 与 9 互质)，则()
A. 若 为质数，则 B. 数列 单调递增
C. 数列 的最大值为 1 D. 数列 为等比数列
5. (陕西省西安市长安区 2025 届高三第二次模拟考试 11 ) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目 (若两个正整数的最大公因数是 1,则称这两个正整数互质). 函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如 , (10 与1,3,7,9均互质) 则( )
A.
B. 数列 是单调递增数列
C. 若 为质数，则数列 为等比数列
D. 数列 的前 5 项和等于
6. 若正整数 m. n 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，对于正整数 ， 是不大于 的正整数中与 互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如: ， ， . 已知欧拉函数是积性函数，即如果 互质，那么 , 例如: ,则( )
A.
B. 数列 是等比数列
C. 数列 不是递增数列
D. 数列 的前 项和小于
7. (北京市通州区 2023 届高三模拟考试 15) 两个数互素是指两个正整数之间除了 1 之外没有其他公约数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如 .
关于欧拉函数给出下面四个结论:
① ；
② ，恒有 ；
③若 都是素数，则 ；
④若 ，其中 为素数，则 .
(注: 素数是指除了 1 和它本身以外不再有其他因数,且大于 1 的正整数.)
则所有正确结论的序号为_____.
8.(2024 届安徽合肥一中三模 14)欧拉函数 表示不大于正整数 n 且与 互素 (互素: 公约数只有 1 ) 的正整数的个数. 已知 ,其中 是 的所有不重复的质因数 (质因数: 因数中的质数). 例如 . 若数列 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 _____.
9. (河北省部分中学 2024 届高三下学期考点评估数学试卷(三)14) 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域,为纪念欧拉的成就,函数 就是以其名字命名的,称为欧拉函数. 人教 版新教材选择性必修二第 8 页指出: 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数个数. 欧拉函数有很多性质,比如欧拉函数是积性函数,即如果 互素,则 . 请计算数列 的前 项和 _____.
10. (湖北省 2025 届高三下学期新高考信息卷(三) 14) 已知正整数 ,欧拉函数 表示 中与 互素的整数的个数,例如, . 若小明从 、 7、11、13 中随机取一个数 ，小红从6、8、9、10、30中随机取一个数 ，则 的概率为_____.
11. (江苏省盐城市 2026 届高三 1 月阶段学业考核 14 ) 若正整数 的公约数只有 1,则称 互质. 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数. 函数 以其首名研究者欧拉的名字命名,称为欧拉函数,例如 ,若数列 的前 项和为 ,则 _____.
12.(2025 届安徽省合肥市集团校高三下学期月考前适应性训练 14)欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的个数 (公约数只有 1 的两个整数称为互质整数),例如: . 记 ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
13. (河北省部分学校 2025-2026 学年高三上学期 12 月份联考 16) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如: .
(1)写出数列 ， ， ， 的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象(单位网格边长为 1 );
(2)设 为素数，证明:数列 ， ， ， 为等比数列.
14. (山东省青岛市城阳区 2025-2026 学年高三上学期期中考试 17) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互质的正整数的个数. 例如: .
(1)求 ；
(2)若 ，证明: .
15. (河南省三门峡市 2025 届高三 1 月一练 19) 表示正整数 的最大公约数, 若 ,且 ,则将 的最大值记为 ,例如: .
(1)求 ， ， ；
( 2 )已知 时， .
( i ) 求 ;
(ii) 设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
16. (湖北省新高考协作 4024 届高三统一模拟考试(五)17)若正整数 ， 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，欧拉函数是指，对于一个正整数 ，小于或等于 的正整数中与 互质的正整数 (包括 1) 的个数，记作 ，例如 ， .
(1)求 ， ， ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
17. (云南省昆明市第一中学 2024-2025 学年高三上学期第六次联考(期末)19) 在密码学领域,著名的欧拉函数应用在数据加密算法中,设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素,对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 ,如: .
(1)求 的值；
(2)设 是两个素数，试用 表示 ，并证明: . ;
(3)数列 的通项公式为 ，设该数列的前 项的和为 ，是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由.
18.(河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测 19)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素. 对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 .
(1)试求 的值；
(2)设 是一个正整数， 是两个不同的素数. 试求 ， 与 和 的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥. 具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 ；
②计算 ，欧拉函数 ；
③ 求正整数 ，使得 除以 的余数是 1；
④其中 称为公钥， 称为私钥.
已知计算机工程师在某 加密算法中公布的公钥是 (187,17). 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
19. (湖北省 2024 届高中毕业生四月模拟考试 19) 欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数,集合 ,欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数; 记 表示 除以 的余数 和 均为正整数 ,
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数 ，存在正整数 满足 ；已知对素数 和 ,均有 ,证明: 若 ,则 ;
(3)设 为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ； 又 ,试用 和 求出 的值.
参考答案:
1.(河南省部分名校 2022-2023 学年高三下学期 5 月联考理科数学 11)欧拉是 18 世纪最优秀的数学家之一, 几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字, 例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程, 以及数论中的欧拉函数等等) 小于或等于 的的正整数 (包括 1 ) 中与 互质的正整数的个数,记作 . 例如: 小于或等于 4 的正整数中与 4 互质的正整数有 1,3 这两个，即 . 记 为数列 的前 项和,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,若正整数 ,且与 不互质,则这个数为偶数或 3 的倍数,共有 个，所以 ，即数列 是首项为2，公比为6的等比数列,所以 .
故答案选 B.
2. (福建省泉州市安溪第一中学 2024 届高三下学期 4 月份质量检测 6) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如， . 若 ，且 ，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】与 2 互素且不超过 2 的正整数为 1 , 与 4 互素且不超过 4 的正整数为 1、3 , 与 6 互素且不超过 6 的正整数为 1、5，与 8 互素且不超过 8 的正整数为 1、3、5、7， 与 10 互素且不超过 10 的正整数为 1、3、7、9，
因为 ,
所以, ,则 ,
因为与 5 互素且不超过 5 的正整数为 1、2、3、4，所以， .
故答案选 B.
3. (山东省德州市第一中学 2023-2024 学年高三上学期开学测试 12) 欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一. 在数学史上，人们称 18 世纪为欧拉时代. 直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中, 常常可以看到欧拉的名字, 如著名的欧拉函数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数,例如 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. ,都有
C. 方程 有无数个根 D.
【答案】ACD
【解析】对应 项,所有不超过正整数 3 且与 3 互素的正整数为 1,2 ,个数为 2 ,故 .
所有不超过正整数 5 且与 5 互素的正整数为 1,2,3,4 ,个数为 4 , 故 .
所有不超过正整数 15 且与 15 互素的正整数为1,2,4,7,8,11,13,14，个数为 8，故 .
故 , A 项正确;
对于 项,不妨令 ,满足 ,但 项错误;
对于 项,当 为素数时, ,而素数有无数个,故方程 有无数个根, 项正确;
对于 项，因为 7 为素数，所以当 时，只有 7 和 7 的倍数与 不互素，
即 ,共有 ,
所以 .
故答案选ACD.
4. (湖北省宜荆荆 2024 届高三下学期五月高考适应性考试11) 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目. 函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 (1,2,4,5,7,8与 9 互质)，则()
A. 若 为质数,则 B. 数列 单调递增
C. 数列 的最大值为 1 D. 数列 为等比数列
【答案】ACD
【解析】对于 项，因为 为质数，故小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目为 ,此时 , A 项正确;
对于 项，因为 ， ，所以 ，故数列 不是单调递增， B 项错误;
对于 项，小于等于 的正整数中与 互质的数为 ，数目为 ，所以 在 时递减，故当 时，数列 的最大值为 1, C 项正确;
对于 项，小于等于 的正整数中与 互质的数的数为 ， 数目为 ,故 ,而 ,故数列 为等比数列, D 项正确.
故答案选ACD.
5.(陕西省西安市长安区2025届高三第二次模拟考试 11)对于正整数 ， 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目 (若两个正整数的最大公因数是 1,则称这两个正整数互质). 函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如 , (10 与1,3,7,9均互质) 则( )
A.
B. 数列 是单调递增数列
C. 若 为质数，则数列 为等比数列
D. 数列 的前 5 项和等于
【答案】AC
【解析】对于 项,12与1,5,7,11均互质,所以 与 , 15,16 均互质,所以 ,所以 , A 项正确;
对于 项，7 与1,2,3,4,5,6互质，则 与1,2,4,5,7,8互质，所以 ， ,所以数列 不是单调递增数列,故 错误;
对于 项，设 为质数，则小于等于 的正整数中与 互质的数为 . ,
即每 个数当中就有一个与 不互质,所以互质的数的数目为 ,
故 ，所以 为常数，
所以数列 为等比数列, 项正确;
对于 项，由选项 可知， ，数列 的前 5 项和为 ，D 项错误.
故答案选AC.
6. (江苏省泰州市 2022 届高三下学期第四次调研测试 12)若正整数 . 只有 1 为公约数,则称 互质,对于正整数 是不大于 的正整数中与 互质的数的个数,函数 以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如: . 已知欧拉函数是积性函数,即如果 互质,那么 , 例如: ,则( )
A.
B. 数列 是等比数列
C. 数列 不是递增数列
D. 数列 的前 项和小于
【答案】ABD
【解析】对于 项, 项正确;
对于 项， 为质数， 在不超过 的正整数中，所有偶数的个数为 ,
为等比数列, 项正确;
对于 项, 与 互质的数为 .
共有 个, ,
又 一定是单调增数列, 项错误;
对于 项, ,
的前 项和为 , D 项正确.
故答案选 ABD.
7. (北京市通州区 2023 届高三模拟考试 15) 两个数互素是指两个正整数之间除了 1 之外没有其他公约数. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如 .
关于欧拉函数给出下面四个结论:
① ；
② ，恒有 ；
③若 都是素数，则 ；
④若 ，其中 为素数，则 .
(注:素数是指除了 1 和它本身以外不再有其他因数,且大于 1 的正整数.)
则所有正确结论的序号为_____.
【答案】①③④
【解析】不超过 7 且与 7 互素的正整数有1,2,3,4,5,6,共 6 个,则 ,
故①正确；
不超过 8 且与 8 互素的正整数有1,3,5,7,共 4 个，则 ，则 ，
故②错误；
若 是素数， 与前 个正整数均互素，则 ；
同理,若 是素数,则 ,
故 ;
若 都是素数,则不超过 的正整数中,除去 与 及 外,其他的正整数均与 互素,共有 个，则 ，
所以 ，故③正确；
若 ，其中 为素数，不超过 的正整数共有 ，其中 的倍数有 个，则不超过 且与 互素的正整数有 个，则 ， 故④正确.
故答案为①③④.
8.(2024 届安徽合肥一中三模 14)欧拉函数 表示不大于正整数 n 且与 n 互素 (互素:公约数只有 1 ) 的正整数的个数. 已知 ,其中 是 的所有不重复的质因数 (质因数: 因数中的质数). 例如 . 若数列 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 _____.
【答案】
【解析】由题意得 ,
当 时， ,
当 时, ,
所以 .
9. (河北省部分中学 2024 届高三下学期考点评估数学试卷(三) 14) 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域,为纪念欧拉的成就,函数 就是以其名字命名的,称为欧拉函数. 人教 版新教材选择性必修二第 8 页指出: 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数个数. 欧拉函数有很多性质,比如欧拉函数是积性函数,即如果 互素,则 . 请计算数列 的前 项和 _____.
【答案】
【解析】由欧拉函数的定义知: 若 为素数,则 ,
若 为素数, ,则 ,
所以 ,得到 ,
所以 ①,
②,
①-②得到 ，
即 ,
整理得到 .
10. (湖北省 2025 届高三下学期新高考信息卷(三) 14) 已知正整数 ，欧拉函数 表示 中与 互素的整数的个数，例如， ， . 若小明从 、 7、11、13 中随机取一个数 ，小红从6、8、9、10、30中随机取一个数 ，则 的概率为_____.
【答案】
【解析】由题意可得 ,
因为 ,
满足 的数组 有: ,
故所求概率为 .
11. (江苏省盐城市 2026 届高三 1 月阶段学业考核 14) 若正整数 的公约数只有
1,则称 互质. 对于正整数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的个数. 函数 以其首名研究者欧拉的名字命名,称为欧拉函数,例如 ,若数列 的前 项和为 ,则 _____.
【答案】
【解析】由题意可知,小于 的所有正奇数都与 互质,共有 个,所以 . 小于 且大于 0 的所有与 不互质的数是 3 的倍数,故与 互质的数共有 ,即 . 所以 ,
则其前 项和为 .
12.(2025 届安徽省合肥市集团校高三下学期月考前适应性训练 14)欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的个数 (公约数只有 1 的两个整数称为互质整数),例如: . 记 ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】在 的整数中与 不互质的数有 ,共有 个,所以与 互质的数有 个，因此 .
在 的整数中,2的倍数共有 个,5 的倍数共有 个,10 的倍数共有 个,所以 .
所以 ,所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 ,
则 即 恒成立等价于 恒成立,即 恒成立,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,且 ,
所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 .
13.(河北省部分学校)2025-2026学年高三上学期12月份联考 16)欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如: .
(1)写出数列 ， ， ， 的各项，并在如图的坐标系中作出该数列的图象(单位网格边长为 1);
(2)设 为素数，证明:数列 ， ， ， 为等比数列.
【解析】(1) 由题意可得 ,
该数列图象如图所示
(2)证明:设 为素数，则不超过 且与 不互质的正整数只有 的倍数，
所以互质的数的数目为 .,
故 ,
故数列 为公比为 的等比数列.
14. (山东省青岛市城阳区 2025-2026 学年高三上学期期中考试 17) 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互质的正整数的个数. 例如: .
(1)求 ；
(2)若 ，证明: .
【解析】(1)根据题意，1 与 2 互质，所以 ，
1,3,5,7与 8 互质,所以 ,
1,3,5,7,9,11,13,15与 16 互质,所以 ;
(2)因为不超过正整数 ，且与 互质的正整数为不超过 的奇数，
所以 ,则 ,
则 ，所以 是等比数列，且 ，
则 ,
所以 ,问题得证.
15.(河南省三门峡市2025届高三1月一练刊)(a，b)表示正整数 ， 的最大公约数， 若 ,且 ,则将 的最大值记为 ,例如: .
(1)求 ， ， ；
(2)已知 时， .
( i ) 求 ;
(ii) 设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
【解析】(1)依题意得 表示所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，
不超过 2 且与 2 互质的正整数为 ,
不超过 3 且与 3 互质的正整数为 ,
不超过 6 且与 6 互质的正整数为 .
(2)(i) 中不超过 且与 互质的正整数只有奇数，
中不超过 且与 互质的正整数的个数为 ,
中不超过 且与 互质的正整数只有 1,
中不超过 且与 互质的正整数的个数为 ,
,
.
(ii) 由 (2) (i) 知， ,
即 ,(当且仅当 时等号成立)
.
16. (湖北省新高考协作体 2024 届高三统一模拟考试(五)17)若正整数 只有 1 为公约数，则称 ， 互质，欧拉函数是指，对于一个正整数 ，小于或等于 的正整数中与 互质的正整数 (包括 1) 的个数，记作 ，例如 ， .
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，证明: .
【解析】(1) 1到6中与6互质的只有1和5,所以 ;
1 到 中,被 3 整除余 1 和被 3 整除余 2 的数都与 互质,所以 .
1 到 中,所有奇数都与 互质,所以 .
(2) ,
从而
(3)证明: ，
从而 ,证毕.
17. (云南省昆明市第一中学 2024-2025 学年高三上学期第六次联考(期末)19)在密码学领域,著名的欧拉函数应用在数据加密算法中,设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素,对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 ,如: .
(1)求 的值；
(2)设 是两个素数，试用 表示 ，并证明: . ;
(3)数列 的通项公式为 ，设该数列的前 项的和为 ，是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)不超过 6 且与 6 互素的正整数有1,5,所以 ,
不超过 8 且与 8 互素的正整数有1,3,5,7，所以 .
(2)在不大于 的正整数中，只有 的倍数不与 互素，而 的倍数有 个，
则 ,
由 是两个素数,得 ,
在不大于 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个,
因此 ,
所以 .
(3)由(2)得 ，
,则
两式相减得:
因此 ,而 ,
所以存在整数 ,使 对任意正整数 都成立,且 的最小值为 8 .
18. (河南省开封市 2024 届高三下学期第二次质量检测 19)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素. 对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 .
(1)试求 的值；
(2)设 是一个正整数， 是两个不同的素数. 试求 与 和 的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥. 具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 ；
②计算 ，欧拉函数 ；
③ 求正整数 ，使得 除以 的余数是 1 ；
④其中 称为公钥, 称为私钥.
已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 . 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ,数列 满足 ,求数列 的前 项和 .
【解析】(1)由欧拉函数的定义知，不越过 3 且与 3 互素的正整数有 1,2 ，则 ，
不越过 9 且与 9 互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则 ,
不越过 7 且与 7 互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则 ,
不越过 21 且与 21 互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则 ,
所以 .
(2)在不大于 的正整数中，只有 3 的倍数不与 互素，而 3 的倍数有 个，
因此 .
由 是两个不同的素数,得 ,
在不超过 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个,
于是 ,
所以 .
(3)计算机工程师在某 加密算法中公布的公钥是 ，则 ， 从而
由(2)得， ，
即正整数 满足的条件为: ,
,令 ,则 ,
令 ,则 ,
取 ,则 ,于是 ,
因此 ,即 ,
【点评】数列 求和,利用差角的正切变式 进行裂项是求解的关键.
19. (湖北省 2024 届高中毕业生四月模拟考试 19)欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数,集合 ,欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数; 记 表示 除以 的余数 和 均为正整数 ,
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数 ，存在正整数 满足 ；已过知对素数 和 ,均有 ,证明: 若 ,则 ;
(3)设 为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ； 又 ,试用 和 求出 的值.
【解析】(1) 中,与 6 互质的数有 1 和 5,则 ;
中,与 15 互质的数有 和 14,则 .
(2)因为 和 为素数，则对 ，仅当 或 时， 和 不互质,
又 ,则 ,或 时, 与 不互质,
则 ,
设 ,可知 不全为 0,下证 时, ;
由题知, ,
又
所以 ,同理有 ;
于是记 ,
即 ,同理 ,记 ,于是 ,
则 ,因为 ,所以 ,所以 ,
即 ;
(i) 时,记 ,则 ,
记 ,又 ,而 ,则 ,
即 ,即 ;
(ii) 若 ,不妨设 ,于是 ,
所以 ,又 ,
所以
综上, ,得证:
(3)因为 ，所以 ，则 ，则 ,
假设存在 ,使得 ; 记 ,
令 ,那么 ,且 ,于是 ,使 ,则 ,
从而数列 有且仅有 项，
考虑使 成立,
则对于相邻项有 ,
将两式相加并整理得: ,
令 ,得 ,又由于 及 均由 和 确定,
则数列 的各项也可根据 和 确定,
由上知 ,
则 ,
即 ,其中 是根据 和 唯一确定的.
