最值函数及双重最值问题
一、回归教材
1. 普通高中教科书数学必修第一册 A 版第 68 页例 6:
例 6 给定函数 ,
(1)在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象；
(2) ，用 表示 ， 中的最大者，记为 .
例如,当 时, , .
请分别用图象法和解析法表示函数 .
解: (1) 在同一直角坐标系中画出函数 的图象(图 3.1-4).
(2)由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象 (图 3.1-5).
由 ,得 .
解得 ,或 .
结合图 3.1-5,得出函数 的解析式为
2. 普通高中教科书数学必修第一册 A 版第 69 页练习 3:
3. 给定函数 ,
(1)画出函数 的图象；
(2) ，用 表示 ， 中的最小者，记为 ,请分别用图象法和解析法表示函数 .
解: (1) 在同一直角坐标系中画出函数 的图象.
(2)结合函数 的定义，可得函数 的图象.
由 ,得 .
解得 ,或 .
结合图象，得出函数 的解析式为
二、挖掘考点
1. 最值函数
设
直观上来说, 的作用就是求 的最小值, 我们将其称为最小值函数，同样， 用来表示 的最大值，称作最大值函数.
2. 双重最值问题
求解最大值的最小值 或最小值的最大值 的问题称为“双重最值问题”. 这类题型的结构特点是求解一个最大值的最小值或者最小值的最大值问题,通常是设出内层函数最值,再根据最值的特点 (即最大值大于所有的值,最小值小于所有的值)建立最值与原式的不等式关系，然后利用均值不等式、柯西不等式亦或者是题目本身所带的范围，进行放缩， 求解出最后双重最值,但要检验等号是否成立.
“双重最值问题”按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.
3. 一元双重最值问题的求解策略
(1)分段函数法:分类讨论，将函数写成分段函数形式， 求函数值域即可;
(2)数形结合法:分别画出几个函数图象，结合图象直接观察出最值点，联立方程组求出最值.
4. 多元双重最值问题的求解策略
(1)利用不等式的性质
(2)利用绝对值不等式
(3)利用均值不等式
(4)利用柯西不等式
(5)分类讨论
(6)待定系数法
(7)利用韦达定理
(8)数形结合
三、面向高考
例 1 (2024 年 1 月九省联考 14) 以 表示数集 中的最大数,设 ,已知 或 ,则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
方法一:(消元法)
设 ,则
由 ,得
.
由 ,得
.
①若 ，则由 知， ,
所以 ;
②若 ，则
所以 .
当且仅当 ,即 , 时等号成立.
故 的最小值为 .
方法二:(待定系数法)
令 ,则
设 ,则
结合题设条件,令 ,则 ,所以
①若 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ,故 ,
当且仅当 ,即 , 时等号成立.
②若 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ,故 ,
当且仅当 ,即 , 时等号成立.
综上所述, ,即 的最小值为 .
方法三:(换元法)
集合内有三个元素 ,为了能够方便地比较它们的大小关系, 采取换元的策略, 这样会使分析的主体更加明确.
令 ,则 ,
于是, ,
①若 ，则
所以 ,
于是可得 ,故 ,
当且仅当 ,即 , 时等号成立.
②若 ，则
,即 ,
于是可得 ,故 ,
当且仅当 ,即 , 时等号成立.
综上所述, ,即 的最小值为 .
【点评】通过等价换元,将原问题转化为一个更容易分析和解决的新问题; 通过不等式放缩,将求最值问题转化为解不等式问题. 本题实质上是一道已知条件求最值的问题, 解决这类问题的基本策略就是消元, 有两种方式, 一种是等量消元, 另一种是不等消元. 所谓不等消元, 就是通过不等式, 将条件当中目标函数之外的变量消去, 只保留目标函数, 将求最值问题转化为解关于目标函数的不等式.
四、模拟演练
1. (湖北圆创教育联盟 2025 届高三 3 月联合测评 10) 已知 表示 中的最大者,则下列区间中是函数 的单调递增区间的是
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】先作出正弦函数 与余弦函数 的图象,由定义得 的图象,如图所示
由图象知,答案选 .
【点评】此题利用数形结合,先画出 2 个函数的图象,结合图象直接观察出单调区间.
2.(2024 届贵州省六校联盟高考实用性联考卷(三) 14) 以 表示数集 中的最大 (小) 的数. 设 ,已知 ,则 _____.
【答案】
【解析】由 ,得 ,
设 ,则
由 ,得
(当且仅当 时等号成立),
.
【点评】此题利用三个正数的均值不等式进行放缩, 求解出双重最值,注意检验等号是否成立.
3. (山西省卓越联盟 2025 届高三 2 月开学质量检测卷 14) 用 表示 中最大的数,设 ,若 ,则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】 ,
,
(当且仅当 时等号成立),
的最小值为 .
【点评】此题利用绝对值三角不等式进行放缩, 求解出双重最值,注意检验等号是否成立.最值函数及双重最值问题
一、回归教材
1. 普通高中教科书数学必修第一册 A 版第 68 页例 6:
例 6 给定函数 ,
(1)在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象；
(2) ，用 表示 ， 中的最大者，记为 .
例如,当 时, , .
请分别用图象法和解析法表示函数 .
解: (1) 在同一直角坐标系中画出函数 的图象(图 3.1-4).
(2)由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象 (图 3.1-5).
由 ,得 .
解得 ,或 .
结合图 3.1-5,得出函数 的解析式为
2. 普通高中教科书数学必修第一册 A 版第 69 页练习 3:
3. 给定函数 ,
(1)画出函数 的图象；
(2) ，用 表示 ， 中的最小者，记为 ,请分别用图象法和解析法表示函数 .
解: (1) 在同一直角坐标系中画出函数 的图象.
(2)结合函数 的定义，可得函数 的图象.
由 ,得 .
解得 ,或 .
结合图象，得出函数 的解析式为
二、挖掘考点
1. 最值函数
设
直观上来说, 的作用就是求 的最小值, 我们将其称为最小值函数，同样， 用来表示 的最大值，称作最大值函数.
2. 双重最值问题
求解最大值的最小值 或最小值的最大值 的问题称为“双重最值问题”. 这类题型的结构特点是求解一个最大值的最小值或者最小值的最大值问题,通常是设出内层函数最值,再根据最值的特点 (即最大值大于所有的值,最小值小于所有的值)建立最值与原式的不等式关系，然后利用均值不等式、柯西不等式亦或者是题目本身所带的范围，进行放缩， 求解出最后双重最值,但要检验等号是否成立.
“双重最值问题”按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.
3. 一元双重最值问题的求解策略
(1)分段函数法:分类讨论，将函数写成分段函数形式， 求函数值域即可;
(2)数形结合法:分别画出几个函数图象，结合图象直接观察出最值点，联立方程组求出最值.
4. 多元双重最值问题的求解策略
(1)利用不等式的性质
(2)利用绝对值不等式
(3)利用均值不等式
(4)利用柯西不等式
(5)分类讨论
(6)待定系数法
(7)利用韦达定理
(8)数形结合
三、面向高考
例 1 (2024 年 1 月九省联考 14) 以 表示数集 中的最大数,设 ,已知 或 ,则 的最小值为_____.
四、模拟演练
1. (湖北圆创教育联盟 2025 届高三 3 月联合测评 10) 已知 表示 中的最大者,则下列区间中是函数 的单调递增区间的是
A.
B.
C.
D.
2.(2024 届贵州省六校联盟高考实用性联考卷(三) 14) 以 表示数集 中的最大 (小) 的数. 设 ,已知 ,则 _____.
3. (山西省卓越联盟 2025 届高三 2 月开学质量检测卷 14) 用 表示 中最大的数,设 ,若 ,则 的最小值为_____.
