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《有余数的除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数量间的乘除关系》单元属于“数与代数”领域中“数量关系”的核心内容。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第一学段“数量关系”部分明确指出：“在具体情境中，理解乘法和除法的意义，能运用乘除法解决简单的实际问题。在解决实际问题中，理解‘倍’的含义，能解决‘求一个数是另一个数的几倍’‘求一个数的几倍是多少’的简单问题。”在“学业要求”中强调：“能在熟悉的生活情境中，运用乘除法解决简单的实际问题，形成初步的模型意识和应用意识。”
本单元以“倍”的概念为核心，将乘法与除法的意义进行深化拓展，帮助学生从“加法结构”的“差比”关系，跨越到“乘法结构”的“倍比”关系，是学生数量关系认知的一次重要飞跃。
（二）单元教材内容分析
（一）单元内容定位
本单元是人教版二年级下册“数量间的乘除关系”的起始单元，在小学数学学习中具有承前启后的关键地位。它承接二年级上册“表内乘法”和“表内除法”中“几个几”“平均分”的已有认知，首次系统地引出“倍”这一抽象的比率概念，将学生对数量关系的理解从“相差关系”提升到“倍数关系”。同时，它也为后续学习分数、百分数、比和比例等知识奠定了重要的思维模型和数量关系基础。
（二）教材内容结构
本单元内容按照 “概念建立→技能形成→综合应用→拓展提升” 的逻辑层层递进：
倍的认识：建立 “倍” 的概念，理解 “一个数是另一个数的几倍” 的含义，掌握用除法解决此类问题的方法。
解决问题：分为两类核心问题 ——“求一个数的几倍是多少”（乘法应用）和 “已知一个数的几倍是多少求这个数”（除法应用），初步渗透数量关系模型。
连续两问的实际问题：将两个关联的乘除问题组合，理解第一问的结果是第二问的条件，培养连贯的解题思维。
提问题与补条件：从 “解决给定问题” 转向 “主动构建问题”，先根据已知条件提不同运算的数学问题，再根据问题补充合理条件，发展逆向思维和问题意识。
（三）教材育人价值
本单元以“数量间的乘除关系”为主题，实现了数学学科与生活应用、逻辑思维、创新能力的多维融合。其育人价值体现在：
知识育人：系统构建“倍”的概念体系，掌握倍数问题的三类基本类型，形成完整的数量关系认知结构。
实践育人：通过画图、操作、小组合作等实践活动，在做中学，积累数学活动经验，培养动手能力和合作精神。
思维育人：从“差比”到“倍比”的认知跨越，培养抽象思维；从“解决问题”到“提出问题”“补充条件”的思维进阶，培养逆向思维和逻辑推理能力。
创新育人：在“提问题”“补条件”的开放性任务中，鼓励学生多角度思考、多样化表达，培养创新意识和批判思维能力。
（三）学生认知情况
（一）已有基础
经验基础：学生在生活中有大量“比多少”的经验，如“我的糖是你的2倍”“爸爸比我大几岁”等，对“倍”有模糊的感性认知。具备一定的动手操作（摆小棒、圈一圈）和合作交流能力。
知识基础：已熟练掌握表内乘法和表内除法（整除），理解“几个几”和“平均分”的含义，能用乘法口诀快速求积求商。能解决简单的加减法实际问题，具备初步的解题能力。
（二）认知难点
概念理解难点：“倍”是一个抽象的比率关系，学生容易与“差”混淆（如误将“多几”理解为“几倍”）。难以准确确定标准量（1倍量），尤其是当标准量变化时，倍数关系也随之变化。
运算选择难点：在“已知一个数的几倍是多少，求这个数”的问题中，学生易错用乘法（误以为“倍”就是“乘”），难以根据数量关系判断用除法。
逻辑关联难点：在连续两问问题中，学生易忽略第一问结果与第二问的关联，直接用原已知条件解第二问。
逆向思维难点：在“提问题”和“补条件”的开放性任务中，学生易出现盲目提问、补充条件与问题不匹配、条件不符合实际等问题，需要教师引导建立清晰的思考框架。
二、单元目标拟定
（一）知识与技能目标
1.理解 “倍” 的含义，能准确说出一个数是另一个数的几倍，掌握 “求一个数是另一个数的几倍” 的除法计算方法。
2.能区分 “求一个数的几倍是多少” 和 “已知一个数的几倍是多少求这个数” 两类问题，正确运用乘除法列式解答。
3.识别连续两问的实际问题，理解两问之间的逻辑联系，能按 “先求什么、再求什么” 的顺序依次解答。
4.能根据已知条件提出用加、减、乘、除不同运算解决的数学问题，能根据问题补充合理的条件，掌握 “条件 — 问题 — 解法” 的匹配逻辑。
（二）数学思考目标
1.经历观察、操作、比较、归纳等活动，抽象出 “倍” 的概念模型，发展抽象思维和推理能力。
2.在分析数量关系、解决实际问题的过程中，初步形成 “标准量 — 比较量 — 倍数” 的思维框架，建立乘除关系的数学模型。
3.在提问题、补条件的过程中，培养逆向思维和逻辑辨析能力，能清晰表达思考过程。
（三）问题解决目标
1.能运用 “倍” 的知识和乘除法运算，解决生活中与数量乘除关系相关的简单实际问题，体验 “审题 — 分析 — 列式 — 检验” 的解题过程。
2.能在合作探究中，用画图、操作、交流等多种策略分析问题，提高问题解决的灵活性和有效性。
3.能主动从生活情境中发现数学问题、构建数学问题，培养问题意识和实践创新能力。
（四）情感态度目标
1.在动手操作、合作探究、问题解决的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心和主动性。
2.感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值，养成用数学眼光观察生活的习惯。
3.在交流思考过程中，培养合作意识和表达能力，养成严谨、求实的学习态度。
三、关键内容确定
（一）教学重点
（一）教学重点
1.理解 “倍” 的含义，建立 “倍” 的概念模型，掌握与 “倍” 有关的乘除法问题的解题方法。
2.理解连续两问问题中两问的逻辑关联，能按正确顺序解答。
3.能根据已知条件提出合理问题，根据问题补充合适条件，实现条件与问题的匹配。
（二）教学难点
1.准确确定 “倍” 的标准量，区分 “倍比关系” 与 “差比关系”。
2.辨析 “求一个数的几倍是多少” 与 “已知一个数的几倍是多少求这个数” 的运算逻辑，能根据情境灵活选择乘除法。
3.补条件时能兼顾条件的合理性与运算要求，提问题时能覆盖不同运算类型，避免盲目提问。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界——从生活情境中发现数量之间的倍数关系；
会用数学的思维思考现实世界——用画图、线段图建模分析倍数关系；
会用数学的语言表达现实世界——用算式、问题、条件表达数量关系
这是数学课程的核心素养内涵。依据《2022版义务教育数学课程标准》，核心领域对应要求：
数与代数领域：聚焦 “数的运算” 和 “常见的数量关系”，通过理解 “倍” 的意义、掌握乘除法应用方法，发展运算能力和模型观念，体会量的运算本质。
综合与实践领域：以 “元宵灯会”“农场养殖”“购物消费” 等真实情境为载体，引导学生经历 “发现问题 — 分析问题 — 解决问题 — 拓展延伸” 的完整过程，积累数学活动经验，培养应用意识和创新意识。
核心素养指向：重点发展运算能力（熟练进行表内乘除法运算）、模型观念（建立 “倍” 及乘除关系的数学模型）、推理意识（在辨析问题、推导解法中进行合情推理）、应用意识（将数学知识应用于生活实际）和问题意识（主动发现、提出和构建数学问题）。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
情境贯穿，贴近生活：以 “元宵灯会布置”“农场养殖”“购物消费” 等学生熟悉的生活情境为线索，将抽象的数量关系融入具体场景，降低理解难度，激发学习兴趣。
直观主导，循序渐进：大量设计 “摆一摆”“圈一圈”“画线段图” 等直观操作活动，从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维；内容编排从 “倍的认识” 到 “问题解决”，再到 “提问题与补条件”，梯度清晰，逐步提升思维难度。
问题驱动，重视探究：通过 “你发现了什么？”“为什么用乘法 / 除法？”“还能提出什么问题？” 等追问，引导学生主动探究、自主思考，培养独立分析问题的能力。
知行合一，素养导向：不仅注重知识技能的传授，更关注思维能力、问题意识和应用能力的培养，通过多样化的练习和实践活动，实现知识学习与素养发展的统一。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 数量间的乘除关系 倍的认识 1
解决问题 1
连续两问的实际问题 1
提问题 1
补条件 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
1.《倍的认识》 结合具体情境和操作活动，理解“倍”的含义，能解决“求一个数是另一个数的几倍”的问题。 探究 1：摆一摆、圈一圈，感知 “倍” 的含义。 → 探究 2：对比辨析，区分 “倍” 与 “差”。 → 探究 3：列式计算，解决 “求一个数是另一个数的几倍” 问题。 → 1. 能将标准量看成 1 份，准确圈出比较量的份数，说出 “谁是谁的几倍”。 2. 能清晰区分 “求一个数比另一个数多多少” 与 “求一个数是另一个数的几倍” 的不同。 3. 能正确列出除法算式，计算 “一个数是另一个数的几倍”，结果准确。
2.《解决问题》 掌握“求一个数的几倍是多少”和“已知一个数的几倍是多少，求这个数”两类问题的解题方法，能正确列式计算。 探究 1：情境分析，区分两类问题的特征。 → 探究 2：画线段图，梳理数量关系。 → 探究 3：列式解答，检验结果合理性。 → 1. 能根据问题情境，准确判断是 “求几倍量” 还是 “求 1 倍量”。 2. 能画出简单的线段图表示数量关系，标注清晰。 3. 能正确选择乘除法列式，计算结果准确，能简单说明解题思路。
3.《连续两问的实际问题》 理解连续两问中两个问题的逻辑关联，能按照正确的顺序依次解决问题。 探究 1：分析例题，找出两问的关联。 → 探究 2：分步解答，明确解题顺序。 → 探究 3：对比错误解答，强化逻辑意识。 → 1. 能说出第一问的结果是第二问的条件，明确两问的依赖关系。 2. 能按顺序分步列式解答，步骤完整，结果准确。 3. 能检验答案是否合理，发现并改正 “直接用已知条件解答第二问” 的错误。
4.《提问题》 能根据已知信息提出用加、减、乘、除不同运算解决的数学问题，并判断问题的合理性。 探究1：分析已知信息间的和、差、倍数关系。 → 探究2：提出不同运算的数学问题。→ 探究3：判断所提问题是否合理、能否解决。 → 1. 能根据已知信息分析数量间的多种关系。 2. 能提出用加法、减法、除法（倍数）解决的问题。 3. 能解释为什么不能提出用乘法解决的问题（当没有倍数关系时）。
5.《补条件》 能根据所求问题和部分已知信息，补充合理的条件并列式解答，判断条件的合理性。 探究1：分析问题缺少什么条件。→ 探究2：从合并、相差、倍数关系等角度补充条件。→ 探究3：判断所补充条件是否合理、是否符合实际。 → 1. 能说出解决问题还需要什么信息。 2. 能从不同角度补充合理条件并列式解答。 3. 能判断所补充条件是否合理（如总数不能小于部分数，差不能为负数等）。
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2.1倍的认识教学设计
学科 数学 年级 二年级 课型 新授课 单元 第二单元
课题 倍的认识 课时 第1课时
教材分析 本课是人教版二年级下册第二单元《数量间的乘除关系》中的起始课时 “倍的认识”，是在学生已经掌握了 “几个几” 和 “平均分” 的基础上进行教学的。《数学课程标准》要求在 “数与代数” 的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，初步形成模型思想。“倍” 是一个新的数学概念，是对两个数量之间关系的一种比较，它将学生对数量关系的认识从加法、减法的 “差比” 关系，提升到乘法、除法的 “倍比” 关系，是后续学习 “一个数是另一个数的几倍”、“求一个数的几倍是多少” 等除法应用问题的核心基础，起到了承上启下的关键作用。
学情分析 二年级学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们好奇心强，乐于动手操作和参与游戏化的学习活动。在知识储备上，学生已经熟练掌握了 2-6 的乘法口诀，并能运用乘法解决 “求几个几是多少” 的问题，也能运用除法解决 “平均分” 的问题，这为理解 “倍” 的概念提供了知识基础。然而，“倍” 作为一个表示两个量之间比率关系的抽象概念，对于以具体形象思维为主的二年级学生来说，理解起来存在一定困难。他们可能会混淆 “倍” 与 “差” 的概念，或者在比较两个量时，难以确定谁是标准量（1 倍量）。因此，教学中需要通过大量的、直观的、贴近生活的情境和动手操作活动，引导学生在 “几个几” 的旧知基础上，逐步感知和理解 “倍” 的本质，帮助他们建立清晰的 “倍” 的数学模型。
核心素养目标 1.通过具体情境和动手操作，理解 “倍” 的含义，能说出一个数是另一个数的几倍，建立 “倍” 的概念模型。2.能运用 “倍” 的概念，结合乘法口诀解决简单的 “求一个数的几倍是多少” 的问题，发展初步的推理能力。3.在解决问题的过程中，感受 “倍” 在生活中的广泛应用，体验从具体情境中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
教学重点 理解 “倍” 的含义，建立 “倍” 的概念。
教学难点 理解 “倍” 的本质是两个数量之间的比率关系，能准确找到标准量（1 倍量）。
教学准备 课件、磁扣或卡片（代表鹅、鸡、苹果、梨等）、学习单、不同颜色或形状的小棒、圆片等学具。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、导（创境导课，引出问题） 师：苗苗要去商店买酸奶和笔袋，我们一起去看看她遇到了哪些数学问题。 看图并自主思考。 通过学生熟悉的购物情境导入，激发学习兴趣。
二、联（新旧联系，找出重点） 课件出示。师：你从中获得了哪些数学信息？师：你会用乘除法解决这些问题吗？追问：这两个问题为什么用乘法计算呢？师：这两道题大家会算吗？追问：为什么选择除法解决呢？ 学生自主完成习题，集体订正答案。生：他们都是求几个几的和的问题，所以用乘法计算。生：这两个问题都是知道几个几的和，求相同加数或相同加数的个数的问题，要用除法解决。 结合具体情境，自然地复习 “求几个几是多少” 的乘法知识，为新知 “倍” 的学习做好铺垫。
三、探（提出设想，探究证实） 课件出示主题图。师：这是苗苗奶奶家养的一群鸡和鹅，你从中获得了哪些数学信息呢？师：大家有什么好的方法能比较它们的数量吗？师：这是我们以前学过的“相差关系”。除了这样说，还有其他比较的方法吗？今天我们就来认识一种新的比较方法——倍。师：请同学们用圆形卡片摆出鹅的数量，用三角形卡片摆出鸡的数量。师：如果把2只鹅看成1份，你能想出什么好的办法得到鸡有这样的几份？师：我们通过摆一摆、圈一圈或算式都能得到把2只鹅看成1份，鸡有这样的3份。1份是1个2只，3份也就是有3个2只。师：我们一起来数一数，1个2只，2个2只，3个2只。（边数，课件边呈现过程）像这样，鹅有2只，鸡有3个2只，我们就可以说鸡的只数是鹅的3倍。师：谁能完整地说一说？师小结：鹅有2只，鸡有几个2只，我们就说鸡的只数是鹅的几倍。师：现在老师要变个小魔术。课件演示：少了2只鸡师：现在，鸡有几只了？师：那么现在鸡的只数是鹅的几倍？师：要是多2只鸡呢？ 师：要是在原来的基础上多了1只鹅呢？现在，鸡的只数还是鹅的 3 倍吗？师：有不同意见了，这可怎么办？别着急，小组讨论一下，现在应该把几只鹅看成 1 份？鸡的数量里有这样的几份？再用学具摆一摆，验证你的想法。师：哪个小组愿意分享你们的发现？师：你们真是善于思考的孩子！这个发现太重要了。它告诉我们，当标准量（也就是我们说的 1 倍量）发生变化时，两个量之间的倍数关系也会跟着变化。师：掌握了“倍”的知识，下面的问题你会解决吗？课件出示例题。师：从题中你们发现了哪些数学信息？要解决的问题是什么？师：你能用画图的方法表示多肉植物的盆数是月季花的几倍吗？ 生：有2只鹅和6只鸡。生1：鸡比鹅多4只。生2：鹅比鸡少4只。学生自主操作，摆出鹅和鸡的数量。 教师引导学生把代表鹅和鸡的卡片摆成两行。学生自主操作进行比较，小组讨论方法。 预设1：摆一摆。每2只鸡摆成1份，有这样的3份。预设2：圈一圈。每份2只，有这样的3份。预设3：用算式。鸡6只，每2只为1份，6÷2＝3，所以有这样的3份。生：鹅有2只，鸡有3个2只，鸡的只数就是鹅的3倍。生：4只。生：2倍。生：鸡的只数就是鹅的4倍了。学生答案出现分歧。小组讨论，动手操作。生：我们把 3 只鹅看成 1 份，发现 6 只鸡能圈出这样的 2 份，所以现在鸡的只数是鹅的 2 倍。生：月季花和多肉植物的盆数分别是4盆和12盆，要解决的问题是“多肉植物的盆数是月季花的几倍？”自主尝试画一画。 通过操作活动，引导学生从“一一对应”过渡到“整体份数”思维，初步感知“份”的概念。通过创设认知冲突，引导学生在 “做数学” 的过程中主动探究，经历猜想、验证、结论的过程。通过对比不同标准量下的倍数关系，让学生深刻理解 “倍” 的相对性，从而准确建立 “倍” 的数学模型。
四、展（展示结果，解决问题） 师：你认为哪种画法更好？结合学生展示的和讨论的选出最优方法课件展示：师：通过画图，我们发现多肉植物有3个这样的一份。你能列出算式吗？师：为什么用除法？师小结：说得太好了！以月季花的盆数为标准，看多肉植物的盆数里面包含几份月季花的盆数，包含了3份，所以是3倍。求12盆是4盆的几倍，也就是求12里面有几个4，用除法计算。“倍”表示两个数量之间的倍数关系，结果不带单位。 小组讨论最优画法。预设1：画12个圆，每4个圈在一起，得到了3个4盆。预设2：先画4个圆，表示月季花的盆数；再画12个圆，表示多肉植物的盆数，最后将表示多肉植物的盆数的圆每4个一份分开，得到了3个4盆。生：12÷4=3。生：因为求12是4的几倍，就是求12里面有几个4，所以用除法。 用图示表征数量关系，为抽象算式做铺垫。 帮助学生实现从直观图示到抽象算式的转化，理解除法在倍数问题中的应用。
五、建（总结认知，建构模型） 引导学生表达回顾反思的基本思路，并组织学生进行回顾反思。师：同桌之间互相说一说。师小结：一个数是另一个数的几倍＝一个数÷另一个数。 生1：把一个量看作1份，另一个量有这样的几份就是它的几倍。 生2：求甲数是乙数的几倍，就是求甲数里面有几个乙数，用除法计算。 提炼数学模型，形成结构化认知
六、提（实践应用，评价提升） 课堂练习：1. 2.第一行摆： 第二行摆：第一行的4倍。第二行摆（ ）个5根，一共有（ ）根。3.长跳绳的长度是短跳绳的（ ）倍。4.(1)桃的个数是香蕉的（ ）倍。(2)苹果的个数是梨的（ ）倍。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？师：这节课大家表现得非常出色，积极思考，踊跃发言，为自己鼓掌！ 生1： 比较两个量时，可以说“谁比谁多（少）多少”，也可以用“谁是谁的几倍来表达。”生2： 我还知道了把一个量看作1份，另一个量有这样的几份就是它的几倍。生3： 我了解了求甲数是乙数的几倍，就是求 甲数里面有几个乙数。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 倍的认识 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标1.圈一圈，填一填。仔细观察： 有（ ）个， 有（ ）个。我是这样圈的：以（ ）个为一份， 可以分成这样的（ ）份。 所以说， 的个数是 的（ ）倍。2.数一数，画一画，填一填。（1）把（ ）的个数看作一份，圈一圈下边的水果。（2）的个数里面有（ ）份这样的 。（3）的个数是 的（ ）倍。3.看图写算式。 （1）第一行有（ ）条鱼，第二行有（ ）条鱼。（2）第二行的鱼数是第一行的（ ）倍。 算式___________________________能力提升1.判断对错（对的打“√”，错的打“×”）： （1）6是3的2倍，列式为6÷3=2。 （ ） （2）9里面有3个3，所以9是3的3倍。 （ ）（3）24是6的4倍。 （ ）（4） 8是4的2倍 （ ） 2. 填空并列式：（1）8里面有（ ）个2，所以8是2的（ ）倍。 算式是：____________________（2）12里面有（ ）个4，所以12是4的（ ）倍。 算式是：____________________3. 妈妈买了10个苹果，5个梨，苹果的个数是梨的几倍？如果梨的个数不变，再买几个苹果，苹果的个数就是梨的3倍？拓展迁移1.用12个一样的水果（如葡萄）摆成一盘。请你设计两种不同的摆法，使得其中一种水果的数量是另一种的整数倍（可以准备两种不同颜色的水果）。请画出草图并写出算式。2.有一堆糖果，分给小明3颗，分给小红6颗，分给小刚9颗。 （1）小红的糖果数是小明的几倍？ （2）小刚的糖果数比小明的3倍少几颗？ （3）如果把这些糖果重新分，使小红的糖果数是小明的2倍，小刚的糖果数是小明的4倍，应该怎么分？
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