人教版数学七年级下册专题训练1 对顶角及其性质 巩固练习卷
一、选择题
1．（2024七下·临海期中） 如图，直线相交于点，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.1.1相交线课时练习同步练习）下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
3．（2025七下·阳江期中）如图，直线，相交于点，射线平分，若，则等于（ ）
A．34° B．112° C．146° D．148°
4．（2025七下·德阳月考）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·德阳月考）如图，直线相交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·长春期末）如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝27°，则∠1的大小为（ ）
A．53° B．43° C．37° D．27°
7．如图，直线、交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七上·衡阳期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明同步练面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
10．（2023八上·西城开学考）为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ．
11．（2026七上·澄海期末）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数为 ．
12．（2025七下·杭州期中）如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 .
13．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为 ．
14．（2024七下·朝阳期中）如图，直线与相交于点，若，则的度数为 ．
三、解答题
15．（2024七上·新安期末）如图，直线相交于点平分．
（1）图中的余角是 ；
（2）如果，那么的大小为 ，理由是 ；
（3）如果，求和的大小．
16．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
17．（2024七下·常平期中）如图，直线AB相与CD相交于O，OF，OD分别是，平分线．
（1）写出∠DOE的两个补角：
（2）若．求∠BOC和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
18．（2021七上·绥棱期末）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 ；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
19．（北师大版数学七年级下册2.1两条直线的位置关系同步练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
20． 直线AB与直线CD 相交于点O，OE 平分∠BOD。
（1）如图1，若∠BOC=130°，求∠AOE的度数。
（2）射线OF 在∠AOD 的内部。
①如图2，若∠EOF=90°，判断OF 是否为∠AOD的平分线，并说明理由。
②如图3，若OF 平分 求∠BOD的度数。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】根据对顶角性质可得，再根据邻补角互补即可得解.
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：对顶角一定相等，不相等的角一定不是对顶角．但是，有些相等的角，并不是对顶角，所以选项A和B错误；对顶角相等，但并不一定互补，所以选项D错误；所以选C．
【分析】掌握对顶角和性质解答本题的关键．本题考查对顶角的性质．
3．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据对顶角相等，得：∠AOC＝∠BOD＝68°，∵射线OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝34°，
∠BOC＝180° ∠BOD＝112°，
∴∠BOE＝∠BOC＋∠EOC＝112°＋34°＝146°，
故答案为：C．
【分析】先利用对顶角的性质及角平分线的定义可得∠EOC＝∠AOC＝34°，再利用角的运算求出∠BOE＝∠BOC＋∠EOC＝112°＋34°＝146°即可.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，利用已知条件，可表示出∠AOC，∠COF的度数则，由此可得到关于x的方程，再解方程可得的值，即可算出，再根据对顶角相等可得答案．
5．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用对顶角相等可证得，再根据平角的定义解答即可．
6．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等得：，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的性质可得：，由可得，根据余角的性质可得。
7．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
又，
∴∠AOC=×180°=72°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=72°.
故选：B.
【分析】根据平角的定义及计算出∠AOC的度数，再根据“对顶角相等”得出∠BOD.
8．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，，
∵，
∴，故①正确；
平分，
，
又∵，
∴，
不一定等于，
不一定是的平分线，故②错误；
平分，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
综上所述，其中正确的结论为①③④，
故答案为：C．
【分析】先推出，，即可证明结论①正确；根据角平分线的定义得到，然后得不一定等于，即可证明结论②错误；结合角平分线的定义得到，即可证明结论③正确；根据角的运算求出，即可证明结论④正确.
9．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
【分析】能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
10．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案为：对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由邻补角的性质，结合得，再根据角平分线的定义，结合平分得，即可得.
12．【答案】130°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵与为邻补角，且 ，
∴、.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
故答案为：130° .
【分析】先根据与为邻补角的关系，结合比例条件，得出度数，从而得出对顶角度数. 另外，由垂直条件可知，然后用360°减去、即得到度数.
13．【答案】14°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，
∴∠1＝∠FDB＝50°，
∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，
即∠EDF的度数为14°，
故答案为：14°．
【分析】根据对顶角相等求出∠FDB=50°，再计算角的差即可.
14．【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：因为和为对顶角
所以
因为
所以，
所以，
故填：．
【分析】本题主要考查对顶角和邻补角的性质.利用对顶角相等求出，再结合求出，最后根据邻补角的性质求出的度数．
15．【答案】（1）
（2）；对顶角相等
（3）解：∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；
（2）∵，
∴．理由是：对顶角相等；
故答案为：，对顶角相等.
【分析】（1）利用余角的定义（ 互为余角的两个角的和等于90° ）分析求解即可；（2）利用对顶角的定义及性质分析求解即可；（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出∠3的度数即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；
（2）∵，
∴．理由是：对顶角相等；
故答案为：，对顶角相等；
（3）∵平分，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】（1）解：∵∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD，∴∠AOE=42°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=-∠BOE=-×138°=69°，∴∠AOD=∠BOC=69°；
（2）解：猜想OE⊥OF，理由如下：
设∠DOF=x，则∠AOE=2x.
∴∠BOE=180°-2x.
∵OC平分∠BOE，
∴.
∴∠AOD=∠BOC=90°-x.
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-2x.
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=2x+90°-2x=90°.
∴OE⊥OF.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）、要注意到∠AOD与∠BOC是对顶角，因此相等. 而∠BOC又间接可以通过求∠AOE来计算（因为∠AOE与∠BOC、∠COE的角度和为180°，而∠BOC=∠COE），然后∠AOE通过条件又可知等于2倍的∠FOD，而∠FOD已经给出了具体的度数，故从∠FOD出发一步步计算出∠AOD；（2）、从图片给到的直观感受就是垂直，因此猜想垂直. 而证明的核心在于证明∠EOF为直角，而∠EOF=∠AOE+∠AOF. 结合条件，以∠FOD为变量，分别表示出∠AOE与∠AOF，最后相加后发现角度为定值90°. 从而求证完毕.
17．【答案】（1）解：∠DOE 的补角为：∠COE，∠AOD，∠BOC．
（2）解：∵OD是∠BOE 的平分线，
∴∠DOE=∠BOD=30°，∠BOE＝60°；
∵∠BOC＝180°﹣∠BOD，
∴∠BOC＝150°；
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE，
∴∠AOE＝120°；
又∵OF是∠AOE 的平分线，
∴∠EOF=∠AOE＝60°
（3）解：射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝∠BOE+∠EOA＝（∠BOE+∠EOA）＝×180°＝90°．
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是垂直．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据补角的定义“和为180°的两个角互为补角”并结合图形即可求解；
（2）根据角平分线定义得∠BOE=2∠DOE，由平角的定义可分别求得∠BOC、∠AOE的度数，然后根据角平分线定义即可求解；
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：根据角平分线定义和角的构成即可求得∠DOF=90°，由垂线的定义即可求解.
18．【答案】（1）120；150
（2）30°
（3）30；＝
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°，
故答案为120；150；
（2）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠MOB=，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°，
故答案为30°；
（3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°，
∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠DOC=∠BON．
故答案为＝．
【分析】（1）由邻补角的定义可得∠AON=180°-∠MON=90°，∠BOC=180°-∠AOC=120°，利用∠CON=∠AOC+∠AON即可求解；
（2）由邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，由角平分线的定义可得∠MOB=∠BOC=60°，利用∠BON=∠MON-∠MOB即可求解；
（3）根据角的和差关系可求出∠COD=∠AOD=30°，由对顶角相等可得∠AOD=∠BON，从而求出
∠DOC=∠BON．
19．【答案】（1）解：如图①两条直线交于一点，图中共有 =2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有 =6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有 =12对对顶角；
…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有： =90，
故答案为：90
（2）解：由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有： =n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；（2）利用（1）中规律得出答案即可．
20．【答案】（1）解：∵∠BOC=130°
∴∠AOD=∠BOC=130°
∠BOD=180° 130°=50°
又∵OE 平分∠BOD
∴∠DOE=∠BOD=×50°=25°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
（2）解： ①∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠AOF=180° ∠EOF=180° 90°=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠DOE+∠AOF=90°，
又∵∠DOE+∠DOF=∠EOF=90°，
∴∠AOF=∠DOF，
∴OF是∠AOD的平分线。
② 设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=5x。
∴∠DOE=∠EOF ∠DOF=5x 3x=2x。
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=4x，
∵∠AOF+∠DOF+∠BOD=180°，
即5x+3x+4x=180°，
12x=180°，
解得x=15°，
∴∠BOD=4x=4×15°=60°。
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义，两个角之和为180°，已知∠BOC的度数，可求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质，角平分线将一个角分成两个相等的角，已知∠BOD的度数，可求出∠DOE的度，再利用对顶角的性质，对顶角是相等的，已知∠BOC的度数，可得到∠AOD的度数，最后根据∠AOE由∠AOD和∠DOE组成，已求出∠AOD与∠DOE的度数，将二者相加即可得到∠AOE的度数；
（2） ①∠BOE、∠AOF与∠EOF组成一个平角，平角为180°，已知∠EOF的度数，可求出∠BOE+∠AOF的度数，然后根据角平分线的定义得到∠BOE与∠DOE相等，再通过等量代换，将∠BOE换成∠DOE，从而得出∠AOF与∠DOF相等，最后根据角平分线的定义判断OF是∠AOD的平分线；
（3）根据∠AOF与∠DOF的数量关系，设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，根据角平分线的定义得到
∠AOF=∠EOF，进而可求得∠DOE=∠EOF-∠DOF=2x，再根据角平分线的性质得到∠BOD=2∠DOE=4x，最后由∠AOF、∠DOF与∠BOD组成平角∠AOB，根据平角的度数列出方程并解方程求出x的值，进而可求出∠BOD的度数。
1 / 1人教版数学七年级下册专题训练1 对顶角及其性质 巩固练习卷
一、选择题
1．（2024七下·临海期中） 如图，直线相交于点，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
【分析】根据对顶角性质可得，再根据邻补角互补即可得解.
2．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.1.1相交线课时练习同步练习）下列语句正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．不是对顶角的角都不相等.
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共点且和为180°的两个角是对顶角.
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：对顶角一定相等，不相等的角一定不是对顶角．但是，有些相等的角，并不是对顶角，所以选项A和B错误；对顶角相等，但并不一定互补，所以选项D错误；所以选C．
【分析】掌握对顶角和性质解答本题的关键．本题考查对顶角的性质．
3．（2025七下·阳江期中）如图，直线，相交于点，射线平分，若，则等于（ ）
A．34° B．112° C．146° D．148°
【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据对顶角相等，得：∠AOC＝∠BOD＝68°，∵射线OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝34°，
∠BOC＝180° ∠BOD＝112°，
∴∠BOE＝∠BOC＋∠EOC＝112°＋34°＝146°，
故答案为：C．
【分析】先利用对顶角的性质及角平分线的定义可得∠EOC＝∠AOC＝34°，再利用角的运算求出∠BOE＝∠BOC＋∠EOC＝112°＋34°＝146°即可.
4．（2025七下·德阳月考）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，利用已知条件，可表示出∠AOC，∠COF的度数则，由此可得到关于x的方程，再解方程可得的值，即可算出，再根据对顶角相等可得答案．
5．（2025七下·德阳月考）如图，直线相交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用对顶角相等可证得，再根据平角的定义解答即可．
6．（2022七下·长春期末）如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝27°，则∠1的大小为（ ）
A．53° B．43° C．37° D．27°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等得：，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据对顶角的性质可得：，由可得，根据余角的性质可得。
7．如图，直线、交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
又，
∴∠AOC=×180°=72°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=72°.
故选：B.
【分析】根据平角的定义及计算出∠AOC的度数，再根据“对顶角相等”得出∠BOD.
8．（2025七上·衡阳期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，，
，
，，，
，，
∵，
∴，故①正确；
平分，
，
又∵，
∴，
不一定等于，
不一定是的平分线，故②错误；
平分，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
综上所述，其中正确的结论为①③④，
故答案为：C．
【分析】先推出，，即可证明结论①正确；根据角平分线的定义得到，然后得不一定等于，即可证明结论②错误；结合角平分线的定义得到，即可证明结论③正确；根据角的运算求出，即可证明结论④正确.
9．（新人教版数学七年级下册 第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明同步练面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】每两条直线相交构成2对对顶角，三条直线两两相交构成 对对顶角，故选B．
【分析】能够运用所学知识加以拓展，从而判断不同情况下对顶角的对数．
二、填空题
10．（2023八上·西城开学考）为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ．
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案为：对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等即可得出结论．
11．（2026七上·澄海期末）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由邻补角的性质，结合得，再根据角平分线的定义，结合平分得，即可得.
12．（2025七下·杭州期中）如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 .
【答案】130°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵与为邻补角，且 ，
∴、.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
故答案为：130° .
【分析】先根据与为邻补角的关系，结合比例条件，得出度数，从而得出对顶角度数. 另外，由垂直条件可知，然后用360°减去、即得到度数.
13．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为 ．
【答案】14°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，
∴∠1＝∠FDB＝50°，
∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，
即∠EDF的度数为14°，
故答案为：14°．
【分析】根据对顶角相等求出∠FDB=50°，再计算角的差即可.
14．（2024七下·朝阳期中）如图，直线与相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：因为和为对顶角
所以
因为
所以，
所以，
故填：．
【分析】本题主要考查对顶角和邻补角的性质.利用对顶角相等求出，再结合求出，最后根据邻补角的性质求出的度数．
三、解答题
15．（2024七上·新安期末）如图，直线相交于点平分．
（1）图中的余角是 ；
（2）如果，那么的大小为 ，理由是 ；
（3）如果，求和的大小．
【答案】（1）
（2）；对顶角相等
（3）解：∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；
（2）∵，
∴．理由是：对顶角相等；
故答案为：，对顶角相等.
【分析】（1）利用余角的定义（ 互为余角的两个角的和等于90° ）分析求解即可；（2）利用对顶角的定义及性质分析求解即可；（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出∠3的度数即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的余角是．
故答案为：；
（2）∵，
∴．理由是：对顶角相等；
故答案为：，对顶角相等；
（3）∵平分，
∴，
∴，
∴．
16．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD，∴∠AOE=42°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=-∠BOE=-×138°=69°，∴∠AOD=∠BOC=69°；
（2）解：猜想OE⊥OF，理由如下：
设∠DOF=x，则∠AOE=2x.
∴∠BOE=180°-2x.
∵OC平分∠BOE，
∴.
∴∠AOD=∠BOC=90°-x.
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-2x.
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=2x+90°-2x=90°.
∴OE⊥OF.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）、要注意到∠AOD与∠BOC是对顶角，因此相等. 而∠BOC又间接可以通过求∠AOE来计算（因为∠AOE与∠BOC、∠COE的角度和为180°，而∠BOC=∠COE），然后∠AOE通过条件又可知等于2倍的∠FOD，而∠FOD已经给出了具体的度数，故从∠FOD出发一步步计算出∠AOD；（2）、从图片给到的直观感受就是垂直，因此猜想垂直. 而证明的核心在于证明∠EOF为直角，而∠EOF=∠AOE+∠AOF. 结合条件，以∠FOD为变量，分别表示出∠AOE与∠AOF，最后相加后发现角度为定值90°. 从而求证完毕.
17．（2024七下·常平期中）如图，直线AB相与CD相交于O，OF，OD分别是，平分线．
（1）写出∠DOE的两个补角：
（2）若．求∠BOC和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：∠DOE 的补角为：∠COE，∠AOD，∠BOC．
（2）解：∵OD是∠BOE 的平分线，
∴∠DOE=∠BOD=30°，∠BOE＝60°；
∵∠BOC＝180°﹣∠BOD，
∴∠BOC＝150°；
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE，
∴∠AOE＝120°；
又∵OF是∠AOE 的平分线，
∴∠EOF=∠AOE＝60°
（3）解：射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝∠BOE+∠EOA＝（∠BOE+∠EOA）＝×180°＝90°．
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是垂直．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据补角的定义“和为180°的两个角互为补角”并结合图形即可求解；
（2）根据角平分线定义得∠BOE=2∠DOE，由平角的定义可分别求得∠BOC、∠AOE的度数，然后根据角平分线定义即可求解；
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：根据角平分线定义和角的构成即可求得∠DOF=90°，由垂线的定义即可求解.
18．（2021七上·绥棱期末）在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 ；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】（1）120；150
（2）30°
（3）30；＝
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°，
故答案为120；150；
（2）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠MOB=，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°，
故答案为30°；
（3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°，
∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠DOC=∠BON．
故答案为＝．
【分析】（1）由邻补角的定义可得∠AON=180°-∠MON=90°，∠BOC=180°-∠AOC=120°，利用∠CON=∠AOC+∠AON即可求解；
（2）由邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，由角平分线的定义可得∠MOB=∠BOC=60°，利用∠BON=∠MON-∠MOB即可求解；
（3）根据角的和差关系可求出∠COD=∠AOD=30°，由对顶角相等可得∠AOD=∠BON，从而求出
∠DOC=∠BON．
19．（北师大版数学七年级下册2.1两条直线的位置关系同步练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…
（1）10条直线交于一点，对顶角有多少对？
（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有多少对？
【答案】（1）解：如图①两条直线交于一点，图中共有 =2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有 =6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有 =12对对顶角；
…；
按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有： =90，
故答案为：90
（2）解：由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有： =n（n﹣1）．
故答案为：n（n﹣1）．
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；（2）利用（1）中规律得出答案即可．
20． 直线AB与直线CD 相交于点O，OE 平分∠BOD。
（1）如图1，若∠BOC=130°，求∠AOE的度数。
（2）射线OF 在∠AOD 的内部。
①如图2，若∠EOF=90°，判断OF 是否为∠AOD的平分线，并说明理由。
②如图3，若OF 平分 求∠BOD的度数。
【答案】（1）解：∵∠BOC=130°
∴∠AOD=∠BOC=130°
∠BOD=180° 130°=50°
又∵OE 平分∠BOD
∴∠DOE=∠BOD=×50°=25°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
（2）解： ①∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠AOF=180° ∠EOF=180° 90°=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠DOE+∠AOF=90°，
又∵∠DOE+∠DOF=∠EOF=90°，
∴∠AOF=∠DOF，
∴OF是∠AOD的平分线。
② 设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=5x。
∴∠DOE=∠EOF ∠DOF=5x 3x=2x。
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=4x，
∵∠AOF+∠DOF+∠BOD=180°，
即5x+3x+4x=180°，
12x=180°，
解得x=15°，
∴∠BOD=4x=4×15°=60°。
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义，两个角之和为180°，已知∠BOC的度数，可求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质，角平分线将一个角分成两个相等的角，已知∠BOD的度数，可求出∠DOE的度，再利用对顶角的性质，对顶角是相等的，已知∠BOC的度数，可得到∠AOD的度数，最后根据∠AOE由∠AOD和∠DOE组成，已求出∠AOD与∠DOE的度数，将二者相加即可得到∠AOE的度数；
（2） ①∠BOE、∠AOF与∠EOF组成一个平角，平角为180°，已知∠EOF的度数，可求出∠BOE+∠AOF的度数，然后根据角平分线的定义得到∠BOE与∠DOE相等，再通过等量代换，将∠BOE换成∠DOE，从而得出∠AOF与∠DOF相等，最后根据角平分线的定义判断OF是∠AOD的平分线；
（3）根据∠AOF与∠DOF的数量关系，设∠DOF=3x，则∠AOF=5x，根据角平分线的定义得到
∠AOF=∠EOF，进而可求得∠DOE=∠EOF-∠DOF=2x，再根据角平分线的性质得到∠BOD=2∠DOE=4x，最后由∠AOF、∠DOF与∠BOD组成平角∠AOB，根据平角的度数列出方程并解方程求出x的值，进而可求出∠BOD的度数。
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