第一章 三角形的证明及其应用 知识点总结 单元测试题（含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用知识点
第1节：三角形内角和定理
（1）三角形的内角和定理： 三角形三个内角的和等于180° 。
（2）定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 。
（3） 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 。
（4）外角定义： 三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角 。
（5） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 。
（6） 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 。
（7）多边形的内角和定理： 180°·（n－2） 。
（8）多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角；在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。
（9）多边形的外角和定理： 360° 。
第2节：等腰三角形
（1） 等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 。
（2） 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。 。
（3） 等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角等于60° 。
（4） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 。
（5） 三个角都相等的三角形是等边三角形 。
（6） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 。
第3节：直角等三角形
（1） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 。
（2） 直角三角形的两个锐角互余 。
（3） 有两个角互余的三角形是直角三角形 。
（4） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 。
（5） 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。
（6）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为逆命题。
（7） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） 。
第4节：线段的垂直平分线
（1） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
（2） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .
（3） 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .
第5节角平分线
（1） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。
（2） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 。
（3） 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 。
单元测试题
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知△ABC,AB=c,AC=b,BC=a,则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.∠A+∠B=∠C
C.a=2,b=2,c=3 D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
2.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ( )
A. 　　 B.2　　 C.3　　 D.
3.下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角是直角,那么它们相等 B.若a2>b2,则a>b
C.两直线平行,内错角相等 D.对顶角相等
4.如图,AB⊥AC,CD⊥BD,若直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等,则可以添加的条件是 ( )
A.AE=CE　　　　 B.AB=CD C.∠A=∠D　　　　 D.BE=CE
5.如图,一张多边形纸片的内角和为1 620°,按图示的剪法剪去一个内角后,所得新多边形的边数为( )

A.12　　 B.11　　 C.10　　 D.9
6.如图,将一个含30°角的直角三角尺OAB的斜边OA放在x轴上,O为坐标原点,观察尺规作图的痕迹,若点A的坐标为(-2,0),则点C的横坐标为 ( )

A.-　　 B.-1　　 C.1　　 D.
7.如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB的长为12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢 ( )
A.(24-12)m　　　 B.(24-8)m C.(24-6)m　　　 D.(24-4)m　
8.如图,已知△ABC,∠BAC>90°,AC>AB,DE垂直平分AC,垂足为D,交BC于点E,点F在BC上,且DF=DC,连接AE,AF.下面四个结论中,正确的是 ( )
A.DF=AE　　　 B.AF=BF C.∠FAE=∠C　　　 D.∠AFD=∠AED
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.用反证法证明“同位角不相等,两直线不平行”时应先假设_____________________.
10.若直角三角形的两个锐角的比是2∶1,斜边长为8,则较短的直角边长为_________.
11.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于 BE的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF=__________°.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D为AB边上一动点(不与点A,B重合),当△BCD为等腰三角形时,∠ACD的度数是______________.
三、解答题(共40分)
13.(10分)如图,在△ABC中,∠B=40°,AE是∠BAC的平分线,外角∠ACD=110°,求∠AEC的度数.
14.(14分)如图,已知直线l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.
15.(16分)【探究】
(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
【运用】
(2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=2.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.
答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.A
7.D
8.D
9.同位角不相等,两直线平行
10.4
11.10
12.30°或15°
13.解析　∵∠ACD是△ABC的外角,
∴∠ACD=∠B+∠BAC,
∵∠B=40°,∠ACD=110°,
∴∠BAC=70°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE= ∠BAC=35°,
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°.
14.解析 (1)如图1,直线l即为所求作的直线.
(2)①当∠BAC=90°,AB=AC时,如图2,已知l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,根据图形的对称性可知BC=2,∴AB=AC=,∴S△ABC=AB·AC=1.
②当∠ABC=90°,BA=BC时,如图3,分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足分别为M,N,∴∠AMB=∠BNC=90°,
∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,
∴CN=2,AM=1,
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2,
在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,
∴AB=,
∴S△ABC=AB·BC=2.5.
③当∠ACB=90°,CA=CB时,如图4,
同②可得S△ABC=2.5.
综上所述,△ABC的面积为1或2.5.
15.解析 (1)①CE+CD=CA.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中, ,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.
②CA+CD=CE.
理由:∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵CB+CD=BD,
∴CA+CD=CE.
(2)BD的长为6-或6+2.
详解:过E作EH∥AB,交BC于H,易知△EHC为等边三角形.分情况讨论:
①当点D在点H左侧时,如图1,
∵△EHC,△DEF为等边三角形,
∴ED=EF,EH=EC,∠DEF=∠HEC=60°,
∴∠DEF-∠HEF=∠HEC-∠HEF,
∴∠DEH=∠FEC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°,
此时△CEF不可能为直角三角形.
②当点D在点H右侧,且在线段CH上时,如图2,
∵△EHC,△DEF为等边三角形,
∴ED=EF,EH=EC,∠DEF=∠HEC=60°,
∴∠DEF-∠DEC=∠HEC-∠DEC,
∴∠DEH=∠FEC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠FCE=∠EHD=60°,
∵∠FEC=∠DEF-∠DEC<60°,
∴只有∠CFE有可能为90°,当∠CFE=90°时,∠EDH =90°,
∴ED⊥CH,∵CH=CE=2,
∴CD=CH=,又
∵AB=6,
∴BD=6-.
③当点D在H右侧,且在HC的延长线上时,如图3,此时只有∠CEF有可能为90°,
∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°,
∵∠ECH=60°,
∴∠EDC=30°=∠CED,
∴CD=CE=2,
∴BD=6+2.
综上,BD的长为6-或6+2.