第一章 第5节 角平分线知识点 练习题（2课时，含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用第5节角平分线
知识点
（1） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。
（2） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 。
（3） 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 。
练习题
第1 课时　角平分线的性质与判定
1.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB于D,PD=2,则点P到OA的距离是 ( )
A.4　　 B.3　　 C.2　　 D.1
2.把两个同样大小的含30°角的直角三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放,其中M是AB与CD的交点,则可以得到结论:MA的长度等于点M到BC的距离.请用一个你学过的数学定理解释这个结论:______________________.
3.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN.
4.将两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放,使三角尺的一条直角边分别落在△ABC的边AB,AC上,它们的一个顶点重合于点M,则点M一定在( )
A.∠A的平分线上 B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
5.如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,有下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( )

A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
6.如图,在△ABC中,∠A=73°,∠C=47°,点D是AC上一点,连接BD,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若DE=DF,则∠DBF的度数是___________.
7.如图,BE,CE分别为△ABC的外角的平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证:点E在∠NAM的平分线上.
8.如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为 ( )
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.5
9.如图,△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M,点M到BE的距离为4.若AB=7,BC=9,则四边形ABCM的面积为__________.
10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度向点A运动,设运动时间为t秒.当t=_________时,BP恰好平分∠ABC.
11.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)求证:AD垂直平分EF.
(2)若∠BAC=60°,猜想DG与AG有何数量关系,并说明理由.
12.我们定义:如图1,在四边形ABCD中,如果∠A=α,∠C=180°-α,对角线BD平分∠ABC,那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
(1)特例感知:如图1,在“分角对补四边形”ABCD中,当α=90°时,根据教材中一个重要知识直接可得DA=DC,这个知识是__________(填序号).
①垂线段最短;②垂直平分线的性质;③角平分线的性质;④三角形内角和定理.
(2)猜想论证:如图2,当α为任意角时,猜想DA与DC的数量关系,并给出证明.
(3)探究应用:如图3,在等腰△ABC中,∠A=100°,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC.
第2 课时　三角形三条内角的平分线
1.如图,为了促进黄浦区的旅游发展,某村要在三条公路围成的一块三角形平地(记作△ABC)上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应建在△ABC的 ( )
A.三条中线的交点处 B.三条角平分线的交点处
C.三条高线的交点处 D.以上都不对
2.如图,在△ABC中,∠A=100°,P是△ABC内一点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为 ( )

A.110°　　 B.120°　　 C.130°　　 D.140°
3.如图所示,点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,AB=15,BC=14,AC=13,OD⊥BC,OD=4,求△ABC的面积.
4.如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,连接OA,OB,OC,若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是 ( )
A.S1+S2=S3　　　 B.S1+S2>S3 C.S1+S25.如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F.
(1)求证:△BEO是等腰三角形.
(2)若AB=5,AC=4,求△AEF的周长.
(3)如图2,过点O作OG⊥BC于点G,连接OA,当∠BAC=60°时,求∠OAB的度数.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,过点D作DE⊥AB,垂足为E.求证:∠BAC=2∠BDE.
7.如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,过A点的直线EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB于点E.求证:∠CAD=∠BCE.
9.如图,BD与CE相交于点A,且AB=AC,AD=AE,△ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F,则AF与DE垂直吗 为什么
10.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AC上任意一点,延长BA到点D,使得AD=AE,连接DE,求证:DE⊥BC.
11.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF,交BF的延长线于点D,求证:BF=2CD.
12.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AC+CD=AB.
13.如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上,并说明理由.
14.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P沿射线OM滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证:PC=PD.
15.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,求△ABD与△ACD的面积之比.
16.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D是AB上一点,连接CD,作AE⊥CD交CD的延长线于点E,且AE=CD,BD=8 cm.求点D到AC的距离.
17.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线.求证:BE+CF>EF.
答案
第1 课时　角平分线的性质与判定
1.C
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
3.证明　∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
4.A
5.D
6.30°
7.∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平
分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN,
∴EP=ED,EQ=ED,
∴EP=EQ,
又∵EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
8.B
9.32
10.2.5
11.证明 (1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,
∴∠DEF=∠DFE,点D在EF的垂直平分线上,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
(2)AG=3DG.理由:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=30°,
∴AD=2DE,∠EDA=60°,
∵AD⊥EF,
∴∠EGD=90°,
∴∠DEG=30°,
∴DE=2DG,
∴AD=4DG,
∴AG=3DG.
12.解析 (1)∵BD平分∠ABC,∠BAD=90°,∠BCD=180°-90°=90°,
∴DA=DC.运用的数学知识是角平分线的性质.故答案为③.
（2）DA=DC.证明:如图1,过D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F,
∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,
∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°,
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠C,
∴△DEA≌△DFC(AAS),
∴DA=DC.
(3)证明:如图2,在BC上截取BG=BD,连接DG,由题意知AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBG=∠ABC=20°.
∵BD=BG,
∴∠BGD=∠BDG=×(180°-20°)=80°,
∴∠A+∠BGD=180°,
由(2)的结论得AD=DG,
∵∠BGD=∠C+∠GDC,
∴∠GDC=40°=∠C,
∴DG=CG,
∴AD=DG=CG,
∴BD+AD=BG+CG=BC.
第2 课时　三角形三条内角的平分线
1.B
2.D
3.如图,连接OC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,
∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,OD⊥BC,OE⊥
AB,OF⊥AC,
∴OD=OE=OF,
∵OD=4,
∴OE=OF=4,
∵AB=15,BC=14,AC=13,
∴S△ABC=×15×4+×14×4+×13×4=84.
4.B
5. (1)证明:∵BO平分∠ABC,
∴∠OBC=∠OBE,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EOB=∠OBE,
∴△BEO是等腰三角形.
∵∠EOB=∠OBE,
∴BE=OE,同理,CF=OF,
∴△AEF的周长=AE+OE+AF+OF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+4=9.
(3)如图,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OG⊥BC,
∴OM=OG,ON=OG,
∴OM=ON,
∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴AO平分∠BAC,
∴∠OAB=∠BAC=×60°=30°.
6.证明　如图,连接AD,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∠BAC=2∠BAD,
∴∠ADE+∠BDE=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠BAD+∠ADE=90°,
∴∠BDE=∠BAD,
∵∠BAC=2∠BAD,
∴∠BAC=2∠BDE.
7.证明　如图,连接AD.
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∵EF∥BC,
∴AD⊥EF,
∴∠DAE=∠DAF=90°,
又AE=AF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF,
∴DE=DF.
8.证明　在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠BEC=90°,
∴∠ECB+∠B=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
9.AF⊥DE.
理由:∵AB=AC,AG是中线,
∴AG平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG,
又∵∠EAF=∠CAG,∠DAF=∠BAG,
∴∠EAF=∠DAF,即AF平分∠EAD,
又∵AE=AD,
∴AF⊥DE.
10.证明　如图,过点A作AM⊥BC于点M,

∵AB=AC,
∴∠BAC=2∠BAM,
∵AD=AE,
∴∠D=∠AED,
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D,
∴∠BAM=∠D,
∴DE∥AM,
∵AM⊥BC,
∴DE⊥BC.
11.如图,延长CD交BA的延长线于点T.

易知∠ABF+∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠FCB+∠FCD=90°,
∴ ∠ABF=∠FCD,
在△BAF和△CAT中,∠ABF=∠ACT,BA=CA,∠BAF=∠CAT=90°,
∴△BAF≌△CAT(ASA),
∴BF=CT,
∵BD平分∠CBT,
∴∠CBD=∠TBD,易知∠CBD+∠BCD=90°,∠TBD+∠T=90°,
∴∠BCT=∠T,
∴BC=BT,
∴DC=DT,
∴BF=CT=2CD.
12.证明　如图,在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴ED=CD,∠AED=∠C.
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠C=∠B+∠EDB.
又∵∠C=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴BE=DE,
∴BE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB.
13.解析　点P在∠AOB的平分线上.
理由:如图,过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.

∵S△PFG=FG·PD,S△PMN=MN·PE,S△PFG=S△PMN,
∴FG·PD=MN·PE.
又∵FG=MN,∴PD=PE,
14.证明　如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∴∠PEC=∠PFD=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.
∵∠PDO+∠PDF=180°,
∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE和△PDF中,
∴△PCE≌△PDF(AAS),
∴PC=PD.
15.如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF.
∵S△ABD=AB·DE=×4DE=2DE,
S△ACD=AC·DF=×3DF=DF,
∴S△ABD∶S△ACD=2DE∶DF=4∶3,
即△ABD与△ACD的面积之比为4∶3.
16.在△ABF和△CBD中,
∴△ABF≌△CBD(ASA),
∴AF=CD.
∵AE=CD,
∴AE=AF=EF.
在△ACE和△FCE中,
∴△ACE≌△FCE(SAS),
∴∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB.
又∵DM⊥AC,∠ABC=90°,BD=8 cm,
∴DM=DB=8 cm,即点D到AC的距离为8 cm.
17.证明　如图,在AD上截取DH,使DH=BD,连接EH,FH.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,即BD=CD=DH.
∵DE平分∠ADB,
∴∠BDE=∠HDE.
又∵DE=DE,
∴△BDE≌△HDE(SAS),
∴BE=HE.
同理可得△CDF≌△HDF(SAS),
∴CF=HF.
在△HEF中,∵HE+HF>EF,
∴BE+CF>EF.