第一章 第4节 线段的垂直平分线知识点 练习题（2课时，含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用第4节：线段的垂直平分线
知识点
（1） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
（2） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .
（3） 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .
练习题
第1 课时　线段垂直平分线的性质与判定
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC= ( )
A.25 cm　　 B.45 cm C.50 cm　　 D.55 cm
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE是AB的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,则∠EBC的度数为 ( )
A.40°　　 B.35°　　 C.32°　　 D.30°
3.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,交AC于点G,连接AD,AF.若BC=6,BD=2,∠DAF=90°,则DF的长为_________.
4.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC.
(2)若∠B=35°,求∠C的度数.
5.如图,AC=AD,BC=BD,则 ( )
A.AB与CD互相垂直平分 B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD D.以上答案都不对
6.如图,点D在△ABC的边BC上,连接AD,BC=BD+AD,则点D______线段AC的垂直平分线上的点.(填“是”或“不是”)
7.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
8.如图,y轴垂直平分线段AB,C为y轴正半轴上一点,D是线段OC上一点,且AD⊥BD,若C(0,4),AC=5,则阴影部分的面积是 ( )
A.　　 B.2　　 C. 　　 D.3
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,交AB于D,交BC于E,∠AEC=30°,BC=2,那么AC的长为____________.
10.如图,在△ABC中,边AC,BC的垂直平分线相交于点P.若∠C=110°,则∠APB=_________°.
11.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边顺时针运动,点M的速度为4 cm/s,点N的速度为6 cm/s,当点M,N第一次相遇时停止运动.设点M,N的运动时间为t(t>0)秒,当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时,t的值为_________________.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,过点B作AB的垂线,过点C作AC的垂线,两条垂线交于点P,作直线AP.
(1)求证:AP垂直平分BC.
(2)若AP=5,AB=4,求BC的长.
13.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相
等”,那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢
【自主研究】
(1)如图1,直线l是线段AB的垂直平分线,点P在直线l的左侧,经测量,PA【迁移研究】
(2)如图2,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点A在直线l的同侧,点D是直线l上的任意一点,连接AD,CD,BC,试判断BC和AD+CD之间的大小关系,并说明理由.
第2 课时　尺规作线段的垂线及三角形三边的垂直平分线
1.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交BC于点D,连接AD,若∠B=50°,则∠DAC= ( )
A.20°　　　 B.50° C.30°　　　 D.80°
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4.以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交BC于点D,再分别以点C和点D为圆心,大于DC的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则BF的长为 ( )
A.5　　　 B.6 C.7　　　 D.8
3.如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
4.如图,某居民小区在三栋住宅楼A,B,C之间修建了供居民散步的三条绿道,并在绿道内部修建了一个凉亭P.若点P到点A,B,C的距离相等,则点P是△ABC的 ( )
A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点 D.三条中线的交点
5.如图,将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,若点B的坐标为(3,-1),点C的坐标为(2,2),则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为____________.
6.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点P,连接AD,AE,PB,PC.
(1)判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.
(2)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.
7.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=75°,则∠BPC的度数为 ( )
A.150°　　 B.140°　　 C.130°　　 D.120°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于E,F两点,再以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交直线EF于点P,连接BP,则∠BPA的度数是____________.
9.设计院按实际情况构建平面直角坐标系,并标注A,B,C三镇的坐标,数据如图所示(单位:km),有一条笔直的河流经过A,B两镇,现计划修建一条从C镇到河流的最短公路l,并在l上建一个通讯站D,使通讯站D到B,C两镇的距离相等,则通讯站D的坐标为______________.
10.如图,已知线段a.
(1)求作等腰三角形ABC,使其底边BC的长为a,底边上的高为2a.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)如果a=2,求(1)中等腰三角形ABC的腰长.
11.利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形.
(1)如图1,在△ABC中,AB(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,那么图2中出现的等腰三角形是______.
(3)请利用上述方法,用尺规将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形,并说明理由.
答案
第1 课时　线段垂直平分线的性质与判定
1.C
2.D
3.2.5
4.(1)证明:如图,连接AE,
∵EF垂直平分AB,
∴BE=AE.
∵AC=BE,
∴AC=AE.
∵点D为线段CE的中点,
∴AD⊥BC.
(2)∵BE=AE,∴∠B=∠BAE=35°,
∴∠AEC=2∠B=70°,
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=70°.
5.C
6.四
7.证明　在△AOB与△COD中,
∠A=∠C,OA=OC,∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上,
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
8.D
9.4－2
10.140
11.或或或
12.(1)证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC,
∴∠ABP=∠ACP=90°.
在Rt△ABP和Rt△ACP中,AP=AP,AB=AC,
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL),
∴BP=CP,
∴点P在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上,
∴AP垂直平分BC.
(2)∵AP=5,AB=4,∠ABP=90°,
∴PB==3,
由(1)知Rt△ABP≌Rt△ACP,
∴S△ABP=S△ACP,
∴四边形ABPC的面积=2S△ABP,
∴AP·BC=2×AB·BP,
∴×5BC=4×3,
∴BC=.
13.(1)证明:如图1,连接PA,PB,设PB交直线l于点M,连接
AM,∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴AM=BM,
∴PB=PM+MB=PM+AM,
∵PM+AM>PA,
∴PA(2)AD+CD≥BC,
理由:如图2,当点D不在线段BC上时,连接BD,
∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∵BD+CD>BC,
∴AD+CD>BC.
当点D在线段BC上时,AD+CD=BD+CD=BC.
综上,AD+CD≥BC.
第2 课时　尺规作线段的垂线及三角形三边的垂直平分线
1.C
2.B
3.如图,△ABC即为所求作的三角形.(答案不唯一)
4.C
5.(1,0)
6.(1)点P在BC的垂直平分线上,理由:如图,连接AP,
∵l1是AB边的垂直平分线,
∴PA=PB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴PA=PC,
∴PB=PC,
∴点P在BC的垂直平分线上.
(2)∵∠BAC=100°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°,
∵l1是AB边的垂直平分线,l2是AC边的垂直平分线,
∴DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠BAD+∠EAC=80°,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°.
7.A
8.22.5°或67.5°
9.(-1,-7)
10.(1)如图,△ABC即为所求.
(2)由题意得BC=2,AF=4,
∵AF⊥BC,AB=AC,
∴BF=CF=1,
∴AC=AB==.
11.(1)∵AC的垂直平分线交BC于点D,
∴CD=AD,
∴△ACD是等腰三角形.
故答案为△ACD.
(2)∵AC的垂直平分线交BC于点D,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,△ACD是等腰三角形,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAC+∠DAB=90°,∠DCA+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠DAB,
∴DA=DB,
∴△ABD是等腰三角形,
∴题图2中出现的等腰三角形是△ABD,△ACD.
(3)如图,作AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,作AC的垂直平分线交AD于点E,连接CE,

由作图易知EA=EC,DA=DB,结合前两问可知图中共有3个等腰三角形,分别是△DAB,△EAC和△ECD.