数学试卷- 河南省郑州外国语学校2025-2026学年下期高三调研6考试试卷（含答案）

郑州外国语学校 2025-2026 学年下期高三调研 6 考试试卷 数 学
(120 分钟 150 分)
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. 直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 ,则 ( )
A. B. ln2 C. 2 D. 4
3. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若点 在圆 外,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
5. 已知三次函数 ,若不等式 的解集为 ,则 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6. 已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上, 若圆柱的表面积是球的表面积的一半, 则圆柱的底面半径与球的半径的比值为( )
A. B. C. D.
7. 在 中,且 为 的中点, 与 交于点 . 若 ,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
8. 若 使得不等式 对任意 恒成立,则实数 的最大值为( )
A. 1 B. e C. 4 D. 2e
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。
9. 设复数 在复平面内对应的点为 ，原点为 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若 ,则 或
D. 若 ,则点 的集合所构成的图形的面积为
10. 在某次联考中,全体物理方向高三学生数学成绩 ,此次联考物理方向数学一本线为 80 分,清北线为 140 分. 已知: 若 ,则 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 若随机变量 ，则 服从标准正态分布
B.
C. 从参考学生中依次抽取两名学生, 则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
11. 已知数列 满足 为 的前 项和,则下列结论正确的是( )
A. 存在 ,使得 成立
B. 存在 ,使得 且 对任意 成立
C. 对任意 ,存在 ,使得 成立
D. 对任意奇数 ,存在 和 ,使得 成立
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 在 的二项展开式中,各项系数的和是_____.
13. 已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，点 是两曲线的一个公共点，0为坐标原点. 若 ，则 的离心率为_____.
14. 把 5 个相同的乒乓球放入编号为 1-7 号的盒子里, 其中编号为 1-5 号的盒子, 每个盒子至多放 1 个球, 编号为 6-7 号的盒子, 每个盒子至多放 3 个球, 则不同的放法有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤。
15. (13 分) 已知 分别是锐角 三个内角 的对边,且 , .
(1)求 ， 的值； (2)求 面积的取值范围.
16. (15 分) 已知 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 ，且函数 有三个零点，求 的取值范围.
17. (15 分) 在三棱锥 中， ， ， 与平面 所成的角为 .
(1)若 ，如图，过点 作平面 ，分别交 ， 于点 ， . 求证: 平面 ;
(2)若 ， ，求二面角 的取值范围.
18.(17 分)已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、 蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为 ,现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1 轮对抗. 经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束. 假定各轮结果相互独立. 记在 1 轮对抗中,红方击中蓝方目标为事件 ，蓝方击中红方目标为事件 .
(1)求概率 、 ；
(2)设随机变量 表示经过 1 轮对抗后红方击中对方目标次数减去蓝方击中对方目标次数的差,求 的分布列和数学期望;
(3)求恰好经过 3 轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19.(17 分)已知离心率相同的椭圆 与椭圆 分别是同一矩形(两组对边分别与对称轴平行)的内切椭圆和外接椭圆.
(1)求
(2)设直线 与椭圆 相交于 两点，与椭圆 相交于 、 两点，且 在线段 上
( i ) 求证: .
(ii) 若 恰为 的三等分点，求坐标原点 0 到直线 距离的取值范围.
郑州外国语学校 2025-2026 学年下期高三调研 6 考试 数 学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B D A C C AD BCD
题号 11
答案 ABC
12. -1 13. 14. 98
15.解: (1) 在锐角 中,由正弦定理得 ,
又 ,
,所以 ,
则 ,
在锐角 中, ,
,即 . 4 分
,
6 分
(2)由(1)得 ，由正弦定理: ，得
8 分
因为 为锐角三角形,所以 ,所以 , 9 分
所以 ,所以 , 10 分
所以 , 12 分
故 面积的取值范围为 . 13 分
答案第 1 页，共 6 页
16.解: (1) 因为 的定义域为 ,且 , -2 分当 时， 恒成立，
当且仅当 时等号成立,所以 在 上单调递减; 3 分
当 时, ,令 ,解得 或 ,
令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减; 5 分
当 时, ,令 ,解得 或 ,
令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减. 7 分
综上,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减. 8 分
(2)若 ，由(1)得 在 上单调递减，在(-1,2)上单调递增，在 上单调递减, 9 分
且当 无限趋向于正无穷大时, 无限趋向于 0,且 ,
当 无限趋向于负无穷大时, 无限趋向于正穷大, 11 分
因为函数 有三个零点,则方程 有三个根,所以函数 与直线 有三个交点,
又 ,由图可知: , 14 分
答案第 2 页，共 6 页即 的取值范围为 . 15 分
17.(1)证明: 由 平面 平面 ,可得 ,
与平面 所成的角为 ，且 ，所以 平面 ，
因为 平面 ,可得 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,则 ,
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 5 分
(2)解:因为 ，可得 与平面 所成的角为 ， 以 为坐标原点,以 所在直线为 轴,平行 的直线为 轴, 垂直于 平面的直线为 轴,建立空间直角坐标系,
因为 ,可得 , 因为 与平面 所成的角 ,
可得点 在平面 的投影为以 为圆心, 为半径的圆,设 分 ,
设平面 的法向量为 ,
令 ,可得 ,所以 , 9 分
又由平面 的法向量为 , 10 分
设二面角 的大小为 ,由图形知,二面角 是锐二面角,即 ,
则 , 12 分
令 ,则 ,
又因为 在 上单调递减,可得 , 14 分
所以二面角 的取值范围为 . 15 分
18.解: (1) 记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件 ,
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件 .
2 分
4 分
(2)经过 1 轮对抗，红方击中对方目标次数减去蓝方击中对方目标次数的差 的可能取值为 . 5 分
6 分 7 分 8 分 的概率分布为: 9 分
-1 0 1
1 6 1 1
所以 的数学期望 . 10 分
(3)记3轮对抗后训练结束为事件 ，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件 . 记 3 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为 ,
12 分
14 分
所以 , 15 分
所以 . 16 分
所以在 3 轮对抗后训练结束的条件下, 红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 17 分
19.解: (1) 由题知点 ,
,
又因为两椭圆离心率相同,因此 ,即 ,
. 4 分
(2)由(1)知 , 5 分
当斜率 不存在时,显然成立;
当斜率 存在时,设直线 为 ,
联立 得, ,
韦达定理 ,
设 中点为 ,则 ,
, 7 分
联立 得, ,
韦达定理 ,
设 中点为 ,则 ,
, 9 分
和 重合,
, 10 分
(ii) ① 当斜率 不存在时, ,
联立 得, ,
联立 得, ,
所以 ,计算得 ,所以 . 11 分
② 当斜率 存在时,
,
平方化简得, , 13 分
直线 ,所以原点到直线的距离为 14 分
,
,
,
综上,坐标原点 到直线 距离的取值范围是 . 17 分