第一章 第3节 直角三角形知识点 练习题（2课时、含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用第3节：直角等三角形
知识点：
（1） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 。
（2） 直角三角形的两个锐角互余 。
（3） 有两个角互余的三角形是直角三角形 。
（4） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 。
（5） 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。
（6）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为逆命题。
（7） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL） 。
练习题
第1 课时　直角三角形的性质与判定
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=10°,则∠A的度数为 ( )
A.50°　　　 B.60° C.70°　　　 D.80
2.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶7∶4;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( )
A.①③　　　 B.①④ C.①②③　　　 D.①②③④
3.已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和2,则其斜边的长为_________.
4.一个三角形的三边长的比为3∶4∶5,且其周长为24 cm,则其面积为_____________.
5.如图1,小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长:一脚踩住绳子的中央,手肘靠近身体,两肘弯曲90°,小臂水平转向两侧,两手将绳拉直,绳长即为合适的长度.将图1抽象成图2,若两手握住的绳柄两端距离约为1米,小臂到地面的距离约为1.2米,则适合小明的绳长为__________米.
6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AB边上一点,CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求证:△AEM是直角三角形.
7.下列说法中正确的是 ( )
A.任何一个命题都有逆命题 B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理 D.若原命题是真命题,则它的逆命题也是真命题
8.写出下列各命题的逆命题,并判断其真假.
(1)全等三角形的对应角相等.
(2)如果两个数相等,那么它们的绝对值相等.
(3)两直线平行,内错角相等.
(4)如果两个角的度数都是45°,那么这两个角相等.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,则图中与∠C相等的角(∠C除外)的个数是 ( )
A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.6
10.如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为_______.
11. 研学实践:某校组织学生到当地乡村振兴示范点进行参观游学.如图,在点A处有一个游客饮水点,近期计划在点B处新建一个游客饮水点.需在原有供水管道AC的基础上新建供水管道BP,点P在AC上,因障碍物阻挡,BP的长度不能直接测得,现将测量BP长的任务交于参观游学的学生完成.
数据采集:小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数据.在直线AB上选取一点Q,且∠AQP=90°,AB=25 m,AP=20 m,PQ=12 m.数据应用:请根据以上数据,求BP的长.
12.综合与探究.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若以AM,
MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
数学思考:
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若AM=2,MN=3,NB=4,点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗 请说明理由.
深入探究:
(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
①“善思小组”提出问题:若MN为以AM,MN,NB为边的直角三角形的最长边,且AM=BN=1,求AB的长.
②“智慧小组”提出问题:若AM为以AM,MN,NB为边的直角三角形的直角边,且AM=4,AB=12,请直接写出BN的长.
第2 课时　直角三角形全等的判定
1.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等
2.如图,在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ( )
A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠AOB=∠DOC　　　 D.OB=OD
3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AD上一点,且DE=DC,AC=BE,若BD=4,则AD=_____.
4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,则图中全等的直角三角形有________对.
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC于点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE.求证:
(1)AB=AC.
(2)Rt△ABD≌Rt△BEC.
6.已知:如图,在Rt△ABC和Rt△DFE中,∠ACB=∠DEF=90°,CG⊥AB于点G,EH⊥DF于点H,AC=DE,CG=EH.求证:Rt△ABC≌Rt△DFE.

7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等
8.如图,∠D=∠E=∠ACB=90°,下列条件中,能使Rt△ADC≌Rt△CEB的有 ( )
①∠ABC=45°;②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE.
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
9.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在下图的基础上,运用“出入相补”原理完成的,即把一个几何图形分割成若干部分后,面积的总和保持不变.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE、四边形ACFG、四边形BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为____.
10.数学兴趣小组在解答一道数学题:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证:BD=AC.
小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等,进而推得BD=AC.”
小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL证明两个三角形全等,从而得到BD=AC.”
小雨说:“我可以根据三角形的面积相等,来证明BD=AC.”你认为他们的方法可行吗 并试着选择一种方法给出证明.
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F,与BD交于点O.
(1)求证:CE=AD.
(2)BD与AE有怎样的位置关系 证明你的结论.
(3)若BD平分∠ABC,求证:AD=CF.
答案
第1 课时　直角三角形的性质与判定
1.A
2.D
3.3
4.24cm2
5.2.6
6.证明　∵AD是BC边上的高,
∴∠DMC+∠DCM=90°,
∵∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,
∴∠AME+∠MAE=90°,
∴△AEM是直角三角形.
7.A
8.(1)逆命题:角分别相等的两个三角形全等(假命题).
(2)逆命题:如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等(假命题).
(3)逆命题:内错角相等,两直线平行(真命题).
(4)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角的度数都是45°(假命题).
9.A
10.60
11. 解析　在Rt△APQ中,∠AQP=90°,AP=20 m,PQ=12 m,由勾股定理得AQ==16 m,
∴BQ=AB-AQ=25-16=9(m),在Rt△BPQ中,由勾股定理得BP= =15 m.
12.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.
理由:∵AM=2,MN=3,NB=4,
∴AM2+MN2=22+32=13≠NB2,
∴以AM,MN,NB为边的三角形不是直角三角形,
∴点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.
①由题意可知MN2=AM2+NB2,
∵AM=BN=1,
∴MN=,
∴AB=AM+BN+MN=+2.
②BN的长为3或5.
详解:设BN=x,则MN=AB-AM-BN=12-4-x=8-x,
根据题意分情况讨论:当BN为直角三角形的斜边时,BN2=MN2+AM2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BN=5.
当BN为直角三角形的直角边时,MN2=AM2+BN2,∴(8-x)2=42+x2,
解得x=3,即BN=3.
综上所述,BN的长为3或5.
第2 课时　直角三角形全等的判定
1.D
2.A
3.4
4.3
5.证明 (1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=
∠ADC,
∴△ADB≌△ADC(ASA),
∴AB=AC.
（2）∵△ADB≌△ADC,
∴BD=CD,
∵CD=CE,
∴BD=CE.
∵EC⊥BC,
∴∠BCE=90°.
在Rt△ABD和Rt△BEC中,AB=BE,BD=EC,
∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).
6.证明:∵EH⊥DF,CG⊥AB,∴∠DHE=∠AGC=90°.在Rt△ACG与Rt△DEH中,AC=DE,CG=EH,
∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL),
∴∠A=∠D,
在Rt△ABC与Rt△DFE中,∠A=∠D,AC=DE,∠ACB=∠DEF,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA).
7.∵AO⊥AC,
∴∠PAQ=90°=∠C,
当AP=BC=5时,
∵PQ=AB,AP=BC,
∴Rt△QAP≌Rt△ACB(HL).
当AP=AC=10时,
∵PQ=AB,AP=AC,
∴Rt△PAQ≌Rt△ACB(HL).
综上,当AP的长为5或10时,△ABC与△PQA全等.
8.C
9.2
10.他们的方法都可行.
选择小丽的方法,证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,
∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(AAS),
∴AO=BO,DO=CO,
∴AO+CO=BO+DO,
∴BD=AC.
选择小贾的方法,证明:如图,连接AB,
∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABD和Rt△BAC中,AB=BA,AD=BC,
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),
∴BD=AC.
选择小雨的方法,证明:如图,连接AB,
∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°.
在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(AAS),
∴S△AOD=S△BOC,
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB,
∴S△ABD=S△ABC,
∴AD·BD=BC·AC.
∵AD=BC,
∴BD=AC.
11. (1)证明:∵EC⊥AC,
∴∠ACE=90°,在Rt△ABD与Rt△CAE中,BD=AE,AB=AC,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴CE=AD.
(2)BD⊥AE.证明:∵Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠ABD=∠CAE,
∵∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠CAE+∠ADB=90°,
∴∠AOD=90°,
∴BD⊥AE.
(3)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
又∵∠ABD=∠CAE,
∴∠CBD=∠CAE,
又∵∠AOD=∠BOF,
∴∠ADB=∠OFB=∠CFE,
∵Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠ADB=∠E,
∴∠CFE=∠E,∴CE=CF,
∵AD=CE,
∴AD=CF.