第一 章 第2节 等腰三角形知识点 练习题（2课时、含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用第2节：等腰三角形
知识点
（1） 等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 。
（2） 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。 。
（3） 等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角等于60° 。
（4） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 。
（5） 三个角都相等的三角形是等边三角形 。
（6） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 。
练习题
第1课时　等腰三角形的性质
1.若等腰三角形的一个内角是120°,则它的另外两个内角的度数分别是 ( )
A.60°和30°　　　 B.30°和30° C.120°和120°　　　 D.120°和30°
2.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和高线.若AB=AC,∠ACE=34°,则∠BAD的度数为 ( )
A.34°　　 B.56°　　 C.29°　　 D.28°
3.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠O=25°,则∠ODE的度数是____________.
4.等腰三角形的一个外角的度数是110°,则它的顶角的度数是__________.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=36°,DE交线段AC于点E,在点D的运动过程中,若△ADE是等腰三角形,则∠BDA的度数为____________.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上两点,AD=AE.求证:BE=CD.
7.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE交于点F,则∠AFE的度数是 ( )
A.60°　　 B.50°　　 C.40°　　 D.30°
8.如图,点P在边长为2的等边三角形ABC的边AC上移动,则BP长度的最小值是______.
9.图①是实验室利用过滤法除杂的装置图,图②是其简化示意图,在图②中,AB∥CD,AC∥OD,OD=OC,∠BAC=50°,则∠DOC的度数为 ( )
A.50°　　　 B.60° C.70°　　　 D.80°
10. 如图,等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,AH⊥BC于点H.小花放入一张等边三角形纸片BDE,点E在BC上,点F为AH与DE的交点,小都放一张等边三角形纸片EFG,点G在BC上.小花和小都量得EF=5,CE=3,那么等腰三角形纸片ABC的底边BC的长为 ( )
A.8　　　 B.10 C.11　　　 D.13
11. 如图,在△ABA1中,∠B=n°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到点A2,使得A1A2=A1C,在A2C上取一点D,延长A1A2到点A3,使得A2A3=A2D,……,按此作法进行下去,以点A2027为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为_______________.(用含n的式子表示)
12.如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有________(填序号).
13.如图,等腰直角三角形ABC和等边三角形ADE的顶点A重合(AC>AE,0°<∠BAE<90°且点E在直线AB的上方),当两个三角形有一组边互相平行时,∠BAE的度数为__________________.
14.在△ABC中,点D在BC上,且CD=CA,点E在CB的延长线上,且BE=BA.
(1)如图1,若∠BAC=120°,AB=AC,求∠DAE的度数.
(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系.
(3)如图2,若AB平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求∠DAE的度数.
第2 课时　等腰三角形的判定及反证法
1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则( )
A.AB=BC　　　 B.AB=AC C.BC=AC　　　 D.∠A=60°
2. 下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠A=20°,∠B=100° B.a∶b∶c=1∶1∶2
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 D.∠A=∠B+∠C
3.如图,在△ABC的边BC上截取BE=AB,连接AE,作△ABE的角平分线BD交AE于点D,若∠EAC=∠C,BC=9,AB=5,则AD=________.
4.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.若△ABC的周长为20,CD=6,则AC的长为________.
5.如图,AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点E.求证:△EAB是等腰三角形.
6.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,点F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
7.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”时,应先假设这个三角形中 ( )
A.至少有两个内角是直角 B.没有一个内角是直角
C.至少有一个内角是直角 D.每一个内角都不是直角
8.如图,在△ABC中,DE∥AC,分别交AB,BC于点D,E,连接CD,且∠ACD=∠BCD.若DE=9,BE=7.5,则BC的长为 ( )
A.16.5　 B.15.5　 C.14　 D.13
9.如图,在△ABC中,AB=10,AC=12,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过点D作平行于BC的直线,交AB,AC于点E,F,则△AEF的周长为__________.
10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D,过点D作ED∥BC,交AB于点E,交AC于点F,若BE=8,CF=6,则EF的长是_________.
11.在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.(用反证法证明)
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为______.
13.如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA上的动点,点N为射线OB上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=___________.
14.如图,在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,AM是BC边上的中线.用反证法说明点M与点D不重合.
15.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点D在BC上,且AD=AB,过点C作AB的平行线,交AD的延长线于点E,过点C作CF⊥AE于点F.请你用等式表示线段AF,AB,AC之间的数量关系,并证明.
16.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G.
(1)求证:△AFG是等腰三角形.
(2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数.
第3 课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
1.如图,下列条件能推出△ABC是等边三角形的是 ( )
A.∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD
C.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30° D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件后不能判定△ABC是等边三角形的是 ( )
A.∠A=60° B.AC=BC
C.∠B与∠C互余 D.AB边上的高也是AB边上的中线
3. 如图,△ABC是等边三角形,与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E,若AD=2,则DE的长为_______.
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上,连接CE.若∠E=60°,CE平分∠BCD,求证:△BCE为等边三角形.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB交BC于点D,AD=2,则BC的长是 ( )
A.12　　 B.10　　 C.8　　 D.6
6.如图所示的是某商场一部手扶电梯的示意图,若∠ABC=150°,BC的长为8米,则乘电梯从点B到点C上升的高度h=_______米.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=1 cm.求AB的长.
8.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是 ( )
A.4 　　 B.6　　 C.2 　　 D.3
9.如图,四边形ABCD中,AD=7,BC=2,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,则CD的长为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE⊥AB,垂足为点E,交BC边于点D,若AE=BE, BD=6 cm,则AC的长为_________cm.
11.如图,在△ABC中,∠A=60°,D为AB上一点.若CD=CB,AD=2,BD=4,则CB的长为______.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为___________.
13.上午8时,一条渔船从港口A出发,以每小时15海里的速度向正北方向AN航行,上午10时到达海岛B处.从A,B处望海岛C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°(如图所示).
(1)求海岛B到海岛C的距离.
(2)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里(记为点D处)出现了故障,它向海岛B和海岛C都发出了求救信号.接到求救信号后,海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往,海岛C派出的救援队晚出发10分钟,速度为每小时25海里,通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12 cm.动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,点P,Q分别以2 cm/s,1 cm/s的速度同时出发,设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)t的值为多少时,△PBQ是等边三角形
(2)在点P,Q的运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t的值为多少时,△PBQ是直角三角形 请说明理由.
答案
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
1.B
2.D
3.105°
4.70°或40°
5.108°或72°
6.如图,过A点作AP⊥BC于点P,
∵AB=AC,AP⊥BC,
∴BP=CP,同理,DP=EP,
∴BP+EP=CP+DP,即BE=CD.
7.A
8.
9.D
10.C
11.
12.①②④
13.15°或60°或75°
14.(1)∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=(180°-∠BAC)=30°,
∵CD=CA,
∴∠CAD=∠CDA=(180°-∠C)=75°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°.
∵BE=BA,
∴∠E=∠BAE,
∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE,
∴2∠BAE=30°,
∴∠BAE=15°,
∴∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45°=60°.
(2)∠BAC=2∠DAE.
理由:∵CD=CA,
∴设∠CAD=∠CDA=α,
∵BE=BA,
∴设∠E=∠BAE=β,
∴∠ABD=∠E+∠BAE=2β,
∵∠CDA=∠ABD+∠DAB,
∴∠DAB=∠CDA-∠ABD=α-2β,
∴∠BAC=∠DAB+∠CAD=α-2β+α=2(α-β),
∵∠DAE=∠BAE+∠DAB=β+α-2β=α-β,
∴∠BAC=2∠DAE.
（3）∵AB平分∠DAE,
∴设∠BAE=∠BAD=θ,
∵BE=BA,
∴∠E=∠BAE=θ,
∴∠ABD=∠E+∠BAE=2θ,
∵CD=CA,AC⊥CD,
∴△CAD是等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,
又∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=3θ,
∴3θ=45°,
∴θ=15°,
∴∠DAE=2θ=30°.
第2 课时　等腰三角形的判定及反证法
1.B
2. C
3.2
4.8
5.在△ADB和△BCA中,AD=BC,BD=AC,AB=BA,
∴△ADB≌△BCA(SSS),
∴∠DBA=∠CAB,
∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形.
6.(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵DE∥CB,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠ABD=∠EDB,
∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
（2）∵BD平分∠ABC,∠ABC=50°,
∴∠ABD=∠ABC=25°.
∵EB=ED,点F是BD的中点,
∴∠BEF=∠DEF,∠EFB=90°,
∴∠DEF=∠BEF=90°-∠ABD=65°.
7.A
8.A
9.22
10.2
11.证明　假设∠B≥90°,在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B+∠C≥180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾,
∴假设不成立,
∴∠B<90°.
12.2
13.80
14.证明　假设点M与点D重合,延长AM到点N,使MN=AM,连接BN,如图.
∵AM是BC边上的中线,∴BM=CM,
在△AMC和△NMB中,AM=NM,∠AMC=∠NMB,MC=MB,
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴∠MAC=∠MNB,BN=AC,
∵AM(AD)是∠BAC的平分线,
∴∠BAM=∠MAC,
∴∠MNB=∠BAM,
∴BN=AB,
∴AC=AB,这与AB>AC相矛盾,
∴假设点M与点D重合不成立,
∴点M与点D不重合.
15.2AF=AB+AC.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB∥CE,
∴∠B=∠BCE,∠BAD=∠E,
∴∠CAD=∠E,
∴CA=CE,
∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB,
∵∠ADB=∠CDE,
∴∠BCE=∠CDE,
∴EC=ED,
∴AC=EC=ED,
∵CF⊥AE,
∴AE=2AF,
∵AE=AD+ED,
∴AE=AB+AC,
∴2AF=AB+AC.
16.(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EG∥AD,∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,
∴∠G=∠AFG,∴AG=AF,
∴△AFG是等腰三角形.
(2)∵CE=EF,∴∠CFE=∠C.
∵∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,
∴∠C=∠CAD.
∵∠BAC=80°,AD平分∠BAC,
∴∠C=∠CAD=40°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
第3 课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
1.C
2.C
3. 2
4.证明　∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,
∵∠B=∠D,
∴∠D=∠EAD,
∴BE∥CD,
∴∠ECD=∠E.
∵∠E=60°,
∴∠ECD=∠E=60°.
又∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠ECD=60°,
∴∠EBC=60°,
∴∠E=∠B=∠BCE,
∴△BCE为等边三角形.
5.D
6.4
7.2
8.B
9.3
10.2
11.B
12.6或12
13. (1)由题意得AB=15×2=30(海里),
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NAC,
∴BC=AB=30海里,
∴海岛B到海岛C的距离为30海里.
(2)∵∠NBC=60°,BC=BD=30海里,
∴△BCD是等边三角形,
∴CD=BC=30海里.海岛B派出的救援队所用的时间为=小时=90分钟,海岛C派出的救援队所用的时间为10+×60=82分钟,
∵82<90,
∴海岛C派出的救援队先到达渔船处.
14.(1)∵△PBQ是等边三角形,∴PB=BQ.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12 cm,
∴AB=24 cm,∠B=180°-90°-30°=60°,
∵点P,Q分别以2 cm/s,1 cm/s的速度同时出发,
∴PB=(24-2t)cm,BQ=t cm,
∴24-2t=t,解得t=8.故当t=8时,△PBQ是等边三角形.
(2)当t=6或 时,△PBQ是直角三角形.
理由:易知BP=(24-2t)cm,BQ=t cm,
∵△PBQ是直角三角形,∠B=60°,
∴BP=2BQ或BQ=2BP,
当BP=2BQ时,24-2t=2t,解得t=6;
当BQ=2BP时,t=2(24-2t),解得t=.
综上,当t=6或时,△PBQ是直角三角形.