第一章 第1节 三角形的内角和定理知识点 练习题（3课时，含答案）北师大版八年级下学期数学

三角形的证明及其应用第1节：三角形内角和定理
知识点
（1）三角形的内角和定理： 三角形三个内角的和等于180° 。
（2）定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 。
（3） 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 。
（4）外角定义： 三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角 。
（5） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 。
（6） 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 。
（7）多边形的内角和定理： 180°·（n－2） 。
（8）多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角；在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。
（9）多边形的外角和定理： 360° 。
第1课时　三角形内角和及全等三角形
1.如图,△ABC缺了一个角(∠C),若∠A=76°,∠B=20°,则∠C的度数是 ( )
A.96°　　 B.86°　　 C.84°　　 D.66°
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形　　　 B.直角三角形 C.钝角三角形　　　 D.不确定
3.如图,在△ABC中,将∠B和∠C按如图所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上的点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=100°,则∠MGE=__________°.
4.如图,已知小岛B在基地A的南偏东20°方向上,与基地A相距10海里,货轮C在基地A的南偏西70°方向、小岛B的北偏西60°方向上,则∠C= ______°.
5.如图,AC,BD相交于点O.求证:∠A+∠B=∠C+∠D.
6.放风筝是人们喜爱的户外活动之一.在如图所示的“风筝”图案中,∠B=∠D,AB=AD,BC=DE,可以直接判定 ( )
A.△ABC≌△AEG B.△ACF≌△AEG C.△ABF≌△ADG D.△ABC≌△ADE
7.如图,点C是AB的中点,且CD=BE,请添加一个条件___________,使得△ACD≌△CBE.
8.如图,在△ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△CFE.
(2)若AB=5,CF=3,求BD的长.
9.如图,OM,ON是两块平面镜,一束光线AB照射到平面镜ON上,反射光线为BC,点C在平面镜OM上,再次反射后反射光线为CD.若∠MON=110°,∠ABN=30°,则∠DCM的度数为(提示:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角) ( )
A.35°　　　 B.40° C.45°　　　 D.50°
10.如图,在△ABC中,BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,∠BDC=110°,则∠BAC=__________°.
11. 如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是_____________.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动___________s时,CF=AB.
13.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=80°,求∠EDC的度数.
14.为了证明三角形的内角和是180°,小明给出了下列三种作辅助线的方法.
方法①:点P在△ABC的边BC上,过点P作PE∥AB交AC于点E,PF∥AC交AB于点F;
方法②:点P在△ABC的内部,过点P作EF∥AB交AC,BC于点E,F,DG∥AC交AB,BC于点D,G,MN∥BC交AC,AB于点M,N;
方法③:点P在△ABC的外部,过点P作EF∥AB交AC,BC于点E,F,DP∥AC交BC于点D,MN∥BC.
(1)小明的三种作辅助线的方法中,能证明三角形的内角和是180°的是_______.(只填写序号)
(2)请从你在(1)中填写的方法里选择一种方法,证明三角形的内角和是180°.
第2课时　三角形的外角及三角形内角和定理的推论
1.关于三角形的外角,下列说法错误的是 ( )
A.一个三角形只有三个外角
B.三角形的每个顶点处都有两个外角
C.三角形的每个外角是与它相邻内角的补角
D.一个三角形共有六个外角
2.如图,下列关于外角的说法正确的是 ( )
A.∠FBA是△ABC的外角你 B.∠FBG是△ABC的外角
C.∠DCE是△ABC的外角 D.∠GBA是△ABC的外角
3.如图,在△ABC中,D是AB边上一点,连接CD.下列角中,大小等于∠B+∠BCD的是 ( )
A.∠ADC B.∠BDC C.∠A D.∠ACB
4.如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,则∠2=__________°.
5.如图,∠2=2∠1,∠3=70°,∠4=120°,则∠1的度数是__________°.
6.如图,在△ABC中,D点在AC上,E点在BC的延长线上.求证:∠ADB>∠CDE.
7.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°,李师傅量得∠DCB=142°,就判断这个零件不合格,试用三角形的有关知识说明这种判断的理由.
8.如图,一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 ( )
A.75°　　 B.65°　　 C.55°　　 D.45°
9.平面上A,B,C,D,E,F六点构成如图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ( )
A.180°　　　 B.360° C.540° D.720°
10. 如图,起重机在工作时,起吊物体前,机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°,支撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后,机械臂AB的位置不变,支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短,此时∠CBD=2∠ABD,∠BDC增大了5°,则∠DCE的变化情况为 ( )
A.增大10° B.减小10° C.增大25°　 D.减小25°
11.如图,△ABC沿EF折叠,点A落在点A'处,A'F交AB于点G,BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线,若∠P=30°,∠A'EB=16°,则∠A'FC=______°.
12.如图,AD是△ABC的角平分线,BE平分∠ABD,交AD于点E.
(1)若∠BED=52°,求∠C的度数.
(2)直接写出∠C与∠BED之间的数量关系.
13.如图1,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)若∠A=60°,则∠BPC=_______.
(2)如图2,在图1的基础上作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线,交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系.
(3)如图3,在图2的基础上延长线段BP,QC交于点E,试探索∠E,∠A之间的数量关系.

第3课时　多边形的内角和
1.已知一个多边形的内角和为2 160°,这个多边形的边数是 ( )
A.12　　 B.13　　 C.14　　 D.15
2.如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=____________.
3.已知n边形的内角和θ=(n-2)·180°.
(1)嘉嘉同学认为θ能取900°,琪琪同学认为θ也能取600°.嘉嘉和琪琪的说法对吗 若对,求出边数n.若不对,请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程的方法确定x的值.
4.若一个正六边形的每个内角都是x°,则x的值为 ( )
A.60　　 B.90　　 C.120　　 D.150
5.若正多边形的每个内角都是140°,则这个正多边形的边数为_________.
6.如图,在正六边形ABCDEF中,作正五边形HKCDG,连接BK,则∠ABK的度数为( )

A.45°　　 B.36°　　 C.30°　　 D.27°
7.已知两个多边形的内角总和为1 080°,且边数之比为2∶3,则这两个多边形的边数分别是___________.
8.如图,已知∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°,则∠A+∠B的度数为___________.
9.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.

(1)这个“多加的锐角”是_______度.
第4课时　多边形的外角和
1.某县为创建全国文明城市,园林工人要在社区公园铺设一个正多边形花坛,为了美观,施工时要求正多边形花坛的每个外角都为45°,故正多边形花坛是__________边形 ( )
A.六　　 B.七　　 C.八　　 D.九
2.C60的发现使人类了解到一个全新的碳世界.如图所示的是C60的分子结构图,包括20个正六边形和12个正五边形,其中正五边形的一个外角的度数是_______.
3.一个多边形的内角和是它外角和的2倍,这个多边形是_____边形.
4.已知:如图,四边形ABCD,∠1,∠2,∠3,∠4是它的外角.求证:∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
5.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案看起来像坚冰出现裂纹并开始消融,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形,已知∠3+∠4=180°,∠2=61°,∠5=52°,则∠1的度数为 ( )
A.57°　　 B.66°　 C.63°　　 D.67°
6.一个机器人以2 m/s的速度在平地上按如下程序行走.
(1)该机器人从开始到停止所走过的路径组成的图形是 ___________.
(2)该机器人从开始到停止行走时间为__________s.
(3)若机器人还差4 m就第n次回到点O处,则它走过的路程为_____________m.
7.已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和,求这个多边形的边数.
答案
第1课时　三角形内角和及全等三角形
1.C
2.A
3.100
4.50
5.∵∠A+∠B+∠AOB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠AOB.
同理可得∠C+∠D=180°-∠COD,
∵∠AOB=∠COD,
∴180°-∠AOB=180°-∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
6.D
7.AD=CE
8.(1)证明:∵点E是边AC的中点,
∴AE=CE,
∵CF∥AB,
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F.
在△ADE和△CFE中,∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∵△ADE≌△CFE,CF=3,
∴AD=CF=3,
∵AB=5,
∴BD=AB-AD=5-3=2.
9.B
10.40
11. 100°
12.2或5
13.在△ABC中,∠A=62°,∠B=80°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-62°-80°=38°,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠BCD=∠ACB=×38°=19°,
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD=19°.
14.(1)结合平行线的性质可知①②③均能证明三角形的内角和是180°.
(2)答案不唯一,如选择方法①.
证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠CPE=∠B,∠EPF=∠PFB,∠FPB=∠C,∠PFB=∠A,
∴∠EPF=∠A,
∵点B,P,C在同一直线上,
∴∠EPF+∠CPE+∠FPB=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
第2课时　三角形的外角及三角形内角和定理的推论
1.A
2.D
3.A
4.30
5.25
6.∵∠DCB是△DCE的一个外角,
∴∠DCB>∠CDE,
∵∠ADB是△BCD的一个外角,
∴∠ADB>∠DCB,
∴∠ADB>∠CDE.
7.【解法一】如图1,延长BC,交AD于点E,
∵∠1是△ABE的外角,∠A=90°,∠B=20°,
∴∠1=∠B+∠A=20°+90°=110°,
同理,∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140°,
∵李师傅量得∠BCD=142°,不是140°,
∴这个零件不合格.
【解法二】如图2,连接AC并延长到E.
∵∠DCE是△ACD的外角,
∴∠DCE=∠D+∠DAC,
∵∠BCE是△ACB的外角,∴∠BCE=∠B+∠CAB.
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=∠D+∠DAC+∠B+∠CAB
=∠B+∠D+∠BAD=20°+30°+90°=140°.
∵李师傅量得∠BCD=142°,不是140°,
∴这个零件不合格.
8.C
9.B
10.C
11.136
12.(1)∵∠BED是△ABE的外角,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE.
∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠BAD=∠BAC,∠ABE=∠ABC,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE=∠BAC+∠ABC,
∵∠BED=52°,
∴∠BAC+∠ABC=104°,
∴∠C=180°-(∠ABC+∠BAC)=76°.
(2)∠BED=90°-∠C.
详解:∵∠BED是△ABE的外角,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE.
∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠BAD=∠BAC,∠ABE=∠ABC,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE
=∠BAC+∠ABC=(∠BAC+∠ABC)
=(180°-∠C)=90°-∠C.
13.(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°,
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°.
(2)由题图可知∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A,
∵点Q是∠MBC和∠NCB的平分线的交点,
∴∠QBC=∠MBC,∠QCB=∠NCB,
∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(180°+∠A)=90°+∠A,
∴∠ Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-(90+∠A)=90°-∠A.
(3)延长BC至点F,如图,
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线,
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,
∴∠ACF=2∠ECF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC,
∵∠ECF=∠EBC+∠E,
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,
即∠ACF=∠ABC+2∠E,
又∵∠ACF=∠ABC+∠A,
∴∠A=2∠E,
∴∠E=∠A.
第3课时　多边形的内角和
1.C
2.205°
3. (1)嘉嘉的说法对,琪琪的说法不对.
理由:当θ取900°时,
900°=(n-2)·180°,解得n=7.当θ取600°时,600°=(n-2)·180°,
解得n=.
∵n为整数,∴θ不能取600°,
∴嘉嘉的说法对,琪琪的说法不对.
(2)依题意得(n-2)·180°+540°=(n+x-2)·180°,解得x=3,
∴x的值为3.
4.C
5.9
6. B
7.4,6
8.72°
9. (1)十二边形的内角和为(12-2)×180°=1 800°,十三边形的内角和为(13-2)×180°=1 980°,∵小红说:“多边形的内角和不可能是1 830°,你一定是多加了一个锐角”,∴这个“多加的锐角”是1 830°-1 800°=30°.故答案为30.
第4课时　多边形的外角和
1.C
2.72°
3.六
4.【证法一】∵∠1+∠BAD=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°,
∴∠1+∠BAD+∠2+
∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°,
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
【证法二】如图,连接BD,∵∠1=∠ABD+∠ADB,∠3=∠CBD+∠CDB,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4=180°×2=360°.
5.D
6.(1)由题意得该机器人走过的路径是一个正多边形,正多边形的边数为360°÷45°=8,∴该机器人从开始到停止所走过的路径组成的图形是正八边形.
(2)该机器人所走的路程是4×8=32(m),所用时间是32÷2=16(s).
(3)机器人还差4 m就第n次回到点O处,则它走过的路程为(32n-4)m.
7.设这个多边形的边数为n,根据题意得(n-2)·180°-360°=(10-2)×180°,解得n=12,
∴这个多边形的边数为12.