广东省2026年中考数学第一次模拟卷 含解析

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广东省2026年中考数学第一次模拟卷
满分120分 时间120min
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列实数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．3
2．据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．高足碗是中国传统碗式样，造型与高足杯相似，由上方的碗和下方的高足组成，如图是它的主视图，则图中高足碗的俯视图是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．8种
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　）
A．3 B．6 C．2 D．4
10．如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
二、填空题（共15分）
11．____________．
12．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）．
13．已知a＞0，＜0，化简=_____________________．
14．如图，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，过点P作轴于点A，点B为的中点，连接、，若，则k的值为______．
15．如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______．
三、解答题（共75分）
16．（7分）计算：．
17．（7分）先化简，再求值：，其中．
18．（7分）如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点．
(1)填空：直线是的___________；
(2)求证：．
19．（9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率；
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率.
20．（9分）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
21．（9分）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
22．（13分）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，，，点D在上，．求证：；
(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值．
23．（14分）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2．
（ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标；
（ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A A D C A D B
1．A
【分析】利用“正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则即可求解.
【详解】解：∵ 所有正数都大于负数，和都是正数，
∴和都大于和；
∵
∴ ；
∴四个实数中最小的是.
2．B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数．
【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得，
∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为，
∴，
∴亿用科学记数法表示为，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看到图形，进行判断即可，注意看不见的线用虚线表示．
【详解】解：俯视图为：
故选D．
4．A
【详解】解：A、，计算正确，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
5．A
【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
【详解】解：由已知得：，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形．
6．D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为
，
故选：D．
7．C
【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】∵，，
∴，
又∵，
∴．
8．A
【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数．
【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数．
根据总费用为元，可列方程：，
将方程变形为用表示的形式：．
因为为正整数，所以必须是正偶数：
当时，，符合条件；
当时，，符合条件；
当时，，符合条件；
当时，，为负数，不符合条件；
综上，共有3种不同的购买方案．
9．D
【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论．
【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，，即，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
10．B
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，过点作，垂足为，利用等角的余角相等可得，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用等式的性质可得，进而可得，最后在中，求出，的长，再在中，利用等腰直角三角形的性质求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：连接，过点作，垂足为，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
，
，
的面积
，
故选：B．
11．
【分析】先计算零次幂，再合并即可.
【详解】解：.
12．甲
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．
【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．3
【分析】由已知确定出b<0，继而得出a-b+1＞0，b-a-4＜0，再根据二次根式的性质进行化简即可得.
【详解】∵a＞0，＜0，
∴b＜0，
∴a-b+1＞0，b-a-4＜0，
∴
=a+4-b-（a-b+1）
=3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简=，确定出a-b+1＞0，b-a-4＜0是解题的关键.
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的结合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积公式是解题的关键．
先设点的坐标，利用点是中点表示出的长度，再结合三角形面积公式求出的值，最后根据反比例函数的几何意义（结合的符号）确定的值．
【详解】解：设点的坐标为（，），
∵ 轴于点，
∴ ，，
∵ 点为的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即，
∵ 点在反比例函数上，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
15．
【分析】根据题意先求得，，，得出规律，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
∴直线与坐标轴的夹角为
∵，
∴
∵是等腰直角三角形，为斜边
∴，
∴，
设直线的解析式为，代入
∴
解得：，
∴直线的解析式为
联立，解得：，则
联立，解得：，则
∴
∴
∴
设直线的解析式为，代入
∴
解得：，
∴直线的解析式为
联立，解得：，则
联立，解得：，则
∴
∴
∴
……
∴
∴的坐标为
16．5
【分析】先算立方根，零指数幂，化简绝对值及乘方，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
17．，
【分析】将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
当时，
原式 ．
18．(1)垂直平分线
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由作图方法可得直线是的垂直平分线；
（2）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，再由（1）可得，据此证明，得到，则可证明结论．
【详解】（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（1）见解析；（2）P=；（3）P=．
【分析】（1）根据题意列出表格即可；
（2）找到点（x，y）落在反比例函数的图象上的坐标个数，再利用概率公式求解；
（3）根据xy＜4求出可能的情况即可用概率公式求解.
【详解】（1）（x，y）的所有可能出现的结果如下表
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
（2）依题意得P=
（3）依题意得P=
【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意把所有的可能情况列出表格.
20．(1)见解析；
(2)的半径为3．
【分析】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理．
（1）连接，根据等边对等角得到，，，则，可得，则，即，即可证明为的切线；
（2）设，根据勾股定理求出，进而得到，根据求出的值即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
即．
又点在上，
为的切线；
（2）解：，设，，
在中，．
，
，
，
，
∴，
∴．
即的半径为3．
21．(1)
(2)当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元
(3)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）分2段，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设销售利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可；
（3）根据该商品每天的销售利润不低于1200元，列出不等式，利用图象法解不等式即可．
【详解】（1）设段的解析式为：，
由图可知：图象经过，
则：，解得：，
∴；
设段的解析式为：，
由图可知：图象经过，
则：，解得：，
∴
∴．
（2）设销售利润为W元，则
①当时，，
∴时，元．
②当时，，
∵x为整数，
∴或43时，W取最大值，．
∵，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．
（3）由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴，
当，解得：，
∵，
∴的解集为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而证得结论；
（2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
∴；
（2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
∴，
，，
，
∴，
．
23．(1)；
(2)（ⅰ）坐标系见详解，与y轴的交点坐标为；（ⅱ）杯子内液体的最大深度为：；
【分析】（1）根据点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为得到，，，再将点代入求解即可得到答案；（2）（ⅰ）：过D作交于点E，过E作交于点M，求出点M，点E坐标得到l的解析式，结合平行求出的解析式即可得到答案；（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，设出点F的坐标，表示出点G的坐标，得到的解析式，结合函数性质即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为，
∴，，，
设杯体所在抛物线的解析式为：，
∴，，，
解得：，，，
∴杯体所在抛物线的解析式为：；
（2）解：坐标系如图所示，过D作交于点E，过E作交于点M，
∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为，
∴，，，
∵饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
设的解析式为，将，代入得，
，
解得：，
∵，
∴，
设的解析式为：，
将点D代入得，
，
解得：，
的解析式为：，
当时，
，
∴与y轴的交点坐标为：；
（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，如图所示，
设，则，
∴，
∵，
∴当时
∴此时杯子内液体的最大深度为：．