陕西省金太阳联考2025-2026学年下学期高三3月联考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 陕西省金太阳联考2025-2026学年下学期高三3月联考数学试卷（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 203.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-17 00:00:00 | ||
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文档简介
高 三 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点在第一象限,且 ,则
A. 3 B. 4 C. 5 D. -4
3. 已知 是偶函数，当 时， ，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 下列函数中, 定义域和值域相同的是
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若点 与点 关于直线 对称， 则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 已知函数 ,则
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
7. 已知某足球队共有 13 名球员，其中主力球员 11 名，替补球员 2 名. 假设主力球员定点射门的命中率为 0.8 , 替补球员定点射门的命中率为 0.6 . 现从该球队随机抽取 1 名球员进行定点射门, 连续射门 2 次, 则恰好命中 1 次的概率为
A. B. C. D.
8. 已知直线 交椭圆 于 两点,若 ,则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 的值可能为
A. -1 B. 1 C. D. 0
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 ( 为参数),其中 为蜥蜴的体温(单位:℃)， 为太阳落山后的时间(单位: ). 已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39℃，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于 15 °C
B. 太阳落山后的 内,蜥蜴的体温始终高于
C. 从 到 ，蜥蜴的体温下降了
D. 存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 、 轴正半轴均相切，且与圆 外切，则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则点 的坐标为
C. 若 ,则数列 的前 项和小于
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，若 ，则 _____▲_____.
13. 记等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _____▲_____.
14. 如图，在三棱锥 中， 是棱 上的点， ， ，三棱锥 的体积是 ，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱. 种植脐橙有较好的经济效益，某地近 5 年的脐橙产量 (单位:万吨)如下表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号 和脐橙产量 线性相关.
(1)用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程；
(2)试预测该地 2027 年的脐橙产量.
附:经验回归方程 中斜率和截距最小二乘的估计公式分别为
16. (15 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 及 ；
(2)求 周长的最大值.
17. (15 分)
如图，在圆台 中，下底面圆 的直径 点 在圆 上，且 ，上底面圆 的半径 ，且平面 平面 .
(1)证明: .
(2)若圆台 的高为 2，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18. (17分)
已知点 均在双曲线 上.
(1)求 的方程.
(2)设点 均在 上，且满足 .
( i ) 若 ,证明: .
(ii) 若直线 的斜率为 2,求 的值.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在原点处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)当 时，证明:当 时， .
高三数学参考答案
1. .
2.B 因为 ,所以 ,解得 . 因为 在复平面内对应的点在第一象限,所以 .
3.B 令 ,则 ,得 ,所以 .
4.D 函数 的定义域和值域均为 .
5.C 易知 . 由题意可得 ,解得 .
6. ,是偶函数.
7. C 记“恰好命中 1 次”为事件 ，记“抽取的球员为主力球员”为事件 . 由题意得 则 .
8. A 不妨设 . 由 得 . 因为 ,所以 ,即 ,化简得 ,所以 , 故椭圆 的离心率的取值范围是 .
9. BD 因为 ,所以 ,则 . 若 ,则 . 若 ,则 ,即 ,所以 , .
10. AC 因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 ,所以 ,解得 . 因为 ,所以 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 正确. 函数 在 上单调递减， ，所以太阳落山后的 内，蜥蜴的体温始终高于 ， 错误. ，从 到
15，蜥蜴的体温下降了 6 °C，C 正确. 令 ，即 15) ,化简得 ,该方程的两个根为负数,所以不存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降 ，D错误.
11. ACD 如图,过点 ， 分别作 A ， B ，垂足分别为 ,过点 作 ,垂足为 .
设 ,易得
由 ,得 ,所以 是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 ,点 的坐标为 . 由 ,得 ,所以 正确.
由 ,得 (负根舍去),则 ,所以 ,点 的坐标为 , B错误.
的前 项和为 正确. ,由 ,得 ,得 ,得 , 所以 正确.
12. -37 由 ，可得 ，则 .
13.4049 记等差数列 的公差为 . 易得 ,则数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 ,解得 4 049.
14.12 设 分别为棱 的中点,连接 .
在 中, . 因为 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 ,所以 . 在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 .
易得 ,则 .
因为 ,所以 ,解得 .
15. 解: (1) 由题意得 . 2 分因为 , 3 分 5 分所以 , 7 分 9 分故经验回归方程为 . 10 分 (2)令 . 12 分故预测该地 2027 年的脐橙产量为 35.2 万吨. 13 分
16. 解: (1) 由余弦定理得 , 3 分
则 ,得 . 4 分
由 ,得 ,则 . 6 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 9 分
则 , 12 分
所以 , 13 分
当且仅当 时,等号成立. 14 分
故 周长的最大值为 . 15 分
17. ( 1 )证明:作 ，垂足为 ，连接 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分因为 平面 ,所以 .
因为圆台的上、下底面平行,所以 圆 ,则 . 3 分
因为 平面 ,所以 ,即点 共面. 4 分
因为 平面 ,所以 ,所以四边形 为矩形,
所以 . 5 分
在 中, .
在 中, ,解得 ,所以 . 6 分
在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 8 分所以 , 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 13 分
因为 ,所以 ,
所以平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:由题意可得 解得 3 分所以 的方程为 . 4 分
(2)(j)证明:设 ， ，则 , 5 分
化简得 ,所以 . 6 分
同理,由 ,可得 , 7 分所以 . 8 分
(ii)解:由 (i) 可得点 均在圆 上.
设直线 的方程为 . 9 分
由 得 . ( 11 分
由 得 . ② 13 分
方程①②的解均为点 的横坐标，所以 ， 15 分
解得 ,即 的值为 . 17 分
19. ( 1 )解: 当 时， ， ， 1 分
, 2 分
所以曲线 在原点处的切线方程为 . 4 分
(2)解:(解法一) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
① 当 时， 在 上恒成立. 6 分
令函数 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递增.
当 时,函数 取得最小值,最小值为 1,所以 , 7 分 ,符合题意. 8 分
② 当 时，令函数 ， .
因为 在 上单调递增, ,所以当 时, ,当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 9 分
要使得 在 上恒成立,则 ,解得 ,结合 ,得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(解法二) . 若 在 上单调递增,则 在 上恒成立.
由 ,得 . 6 分
令 ,则 , . 7 分
令 ,则 .
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 . 8 分
当 时, ,所以 ,即 9 分
当 时, ,所以 ,即 .
在 上单调递减，在 上单调递增， 10 分
所以 ,所以 ,即 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:令 ，则 .
令 ,则 . 12 分
当 时， ，当 时， ，所以 在(一∞， 0) 上单调递减，在 上单调递增.
,所以 是增函数. 13 分
因为 ,所以 在 上恒成立,
即当 时， 在 上恒成立. 14 分
令 ,则 ,所以 是增函数.
因为 ,所以当 时, ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,所以 , 所以当 时, . 17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点在第一象限,且 ,则
A. 3 B. 4 C. 5 D. -4
3. 已知 是偶函数，当 时， ，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 下列函数中, 定义域和值域相同的是
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若点 与点 关于直线 对称， 则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 已知函数 ,则
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
7. 已知某足球队共有 13 名球员，其中主力球员 11 名，替补球员 2 名. 假设主力球员定点射门的命中率为 0.8 , 替补球员定点射门的命中率为 0.6 . 现从该球队随机抽取 1 名球员进行定点射门, 连续射门 2 次, 则恰好命中 1 次的概率为
A. B. C. D.
8. 已知直线 交椭圆 于 两点,若 ,则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 的值可能为
A. -1 B. 1 C. D. 0
10. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 ( 为参数),其中 为蜥蜴的体温(单位:℃)， 为太阳落山后的时间(单位: ). 已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为 39℃，下列结论正确的是
A. 太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于 15 °C
B. 太阳落山后的 内,蜥蜴的体温始终高于
C. 从 到 ，蜥蜴的体温下降了
D. 存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降
11. 已知半径为 的圆 与射线 轴正半轴均相切,半径为 的圆 与射线 、 轴正半轴均相切，且与圆 外切，则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则点 的坐标为
C. 若 ,则数列 的前 项和小于
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ，若 ，则 _____▲_____.
13. 记等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _____▲_____.
14. 如图，在三棱锥 中， 是棱 上的点， ， ，三棱锥 的体积是 ，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱. 种植脐橙有较好的经济效益，某地近 5 年的脐橙产量 (单位:万吨)如下表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号 和脐橙产量 线性相关.
(1)用最小二乘法求出 关于 的经验回归方程；
(2)试预测该地 2027 年的脐橙产量.
附:经验回归方程 中斜率和截距最小二乘的估计公式分别为
16. (15 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 及 ；
(2)求 周长的最大值.
17. (15 分)
如图，在圆台 中，下底面圆 的直径 点 在圆 上，且 ，上底面圆 的半径 ，且平面 平面 .
(1)证明: .
(2)若圆台 的高为 2，求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18. (17分)
已知点 均在双曲线 上.
(1)求 的方程.
(2)设点 均在 上，且满足 .
( i ) 若 ,证明: .
(ii) 若直线 的斜率为 2,求 的值.
19. (17分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在原点处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)当 时，证明:当 时， .
高三数学参考答案
1. .
2.B 因为 ,所以 ,解得 . 因为 在复平面内对应的点在第一象限,所以 .
3.B 令 ,则 ,得 ,所以 .
4.D 函数 的定义域和值域均为 .
5.C 易知 . 由题意可得 ,解得 .
6. ,是偶函数.
7. C 记“恰好命中 1 次”为事件 ，记“抽取的球员为主力球员”为事件 . 由题意得 则 .
8. A 不妨设 . 由 得 . 因为 ,所以 ,即 ,化简得 ,所以 , 故椭圆 的离心率的取值范围是 .
9. BD 因为 ,所以 ,则 . 若 ,则 . 若 ,则 ,即 ,所以 , .
10. AC 因为太阳刚落山时,蜥蜴的体温为 ,所以 ,解得 . 因为 ,所以 ,所以太阳落山后,蜥蜴的体温始终高于 正确. 函数 在 上单调递减， ，所以太阳落山后的 内，蜥蜴的体温始终高于 ， 错误. ，从 到
15，蜥蜴的体温下降了 6 °C，C 正确. 令 ，即 15) ,化简得 ,该方程的两个根为负数,所以不存在太阳落山后的 时刻，使得从 到 ，蜥蜴的体温下降 ，D错误.
11. ACD 如图,过点 ， 分别作 A ， B ，垂足分别为 ,过点 作 ,垂足为 .
设 ,易得
由 ,得 ,所以 是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 ,点 的坐标为 . 由 ,得 ,所以 正确.
由 ,得 (负根舍去),则 ,所以 ,点 的坐标为 , B错误.
的前 项和为 正确. ,由 ,得 ,得 ,得 , 所以 正确.
12. -37 由 ，可得 ，则 .
13.4049 记等差数列 的公差为 . 易得 ,则数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 ,解得 4 049.
14.12 设 分别为棱 的中点,连接 .
在 中, . 因为 ,所以 .
在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 ,所以 . 在 中, ,所以 . 因为 ,所以 平面 .
易得 ,则 .
因为 ,所以 ,解得 .
15. 解: (1) 由题意得 . 2 分因为 , 3 分 5 分所以 , 7 分 9 分故经验回归方程为 . 10 分 (2)令 . 12 分故预测该地 2027 年的脐橙产量为 35.2 万吨. 13 分
16. 解: (1) 由余弦定理得 , 3 分
则 ,得 . 4 分
由 ,得 ,则 . 6 分
因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 9 分
则 , 12 分
所以 , 13 分
当且仅当 时,等号成立. 14 分
故 周长的最大值为 . 15 分
17. ( 1 )证明:作 ，垂足为 ，连接 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分因为 平面 ,所以 .
因为圆台的上、下底面平行,所以 圆 ,则 . 3 分
因为 平面 ,所以 ,即点 共面. 4 分
因为 平面 ,所以 ,所以四边形 为矩形,
所以 . 5 分
在 中, .
在 中, ,解得 ,所以 . 6 分
在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 8 分所以 , 9 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,得 . 13 分
因为 ,所以 ,
所以平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 . 15 分
18.(1)解:由题意可得 解得 3 分所以 的方程为 . 4 分
(2)(j)证明:设 ， ，则 , 5 分
化简得 ,所以 . 6 分
同理,由 ,可得 , 7 分所以 . 8 分
(ii)解:由 (i) 可得点 均在圆 上.
设直线 的方程为 . 9 分
由 得 . ( 11 分
由 得 . ② 13 分
方程①②的解均为点 的横坐标，所以 ， 15 分
解得 ,即 的值为 . 17 分
19. ( 1 )解: 当 时， ， ， 1 分
, 2 分
所以曲线 在原点处的切线方程为 . 4 分
(2)解:(解法一) .
若 在 上单调递增,则 在 上恒成立. 5 分
① 当 时， 在 上恒成立. 6 分
令函数 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, , 单调递增.
当 时,函数 取得最小值,最小值为 1,所以 , 7 分 ,符合题意. 8 分
② 当 时，令函数 ， .
因为 在 上单调递增, ,所以当 时, ,当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 9 分
要使得 在 上恒成立,则 ,解得 ,结合 ,得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(解法二) . 若 在 上单调递增,则 在 上恒成立.
由 ,得 . 6 分
令 ,则 , . 7 分
令 ,则 .
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 . 8 分
当 时, ,所以 ,即 9 分
当 时, ,所以 ,即 .
在 上单调递减，在 上单调递增， 10 分
所以 ,所以 ,即 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:令 ，则 .
令 ,则 . 12 分
当 时， ，当 时， ，所以 在(一∞， 0) 上单调递减，在 上单调递增.
,所以 是增函数. 13 分
因为 ,所以 在 上恒成立,
即当 时， 在 上恒成立. 14 分
令 ,则 ,所以 是增函数.
因为 ,所以当 时, ,即 . 16 分
因为 ,所以 ,所以 , 所以当 时, . 17 分
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